第4课时 推理案例赏析
图片预览
文档简介
课件31张PPT。第89课时 推理案例赏析合情推理与演绎推理的区别:①归纳推理是由特殊到一般的推理;
②类比推理是由特殊到特殊的推理;
③演绎推理是由一般到特殊的推理.
从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确. 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.例1.正整数平方和公式的推导.提出问题:
我们知道,前n个正整数的和为
那么,前n个正整数的平方和
S2(n)=12+22+32+…+n2=? 阅读课本第40页至42中例题1
全部内容并思考后面的问题.学习感悟例1.正整数平方和公式的推导.思路1:(归纳的方案)
思路2:(演绎的方案)思考:在例1中,数学活动是由哪些
环节构成的?在这个过程中提出了
哪些猜想?提出猜想时使用了哪些
推理方法?合情推理和演绎推理分
别发挥什么作用?四个环节:
(1)确定类比对象(2)观察分析(3)猜想(4)演绎.(猜想---验证猜想---调整再猜想---演绎再验证猜想)
两次对公式的猜想
猜想时应用了类比推理和演绎推理
合情推理(类比推理)为演绎推理指明了目标和方向,演绎推理为合情推理(类比推理)的猜想作出了证明例2 棱台体积公式的推导提出问题
能通过类比推测出棱台的体积公式吗?
数学活动
思路:试图以四棱台为例,通过和梯形的类比推测公式．
(1)确定类比对象.对梯形和四棱台作比较,如表所示.例2 棱台体积公式的推导(P43阅读) 据此,使我们产生了把梯形选为类比对象的念头．例3在等差数列{an}中,若a10=0,则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19－n (n<19且n∈N*)成立,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若b9=1,则存在怎样的等式? 例4 判断函数y= 在区间[0,+∞)上的单调性,并加以证明. 同学们.再见! (2)对类比对象的进一步分析．
梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的,而棱台则可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的.据此,应该有如下的对应关系：进而有:(3)通过类比推理,建立猜想. 求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.于是由梯形的面积公式: 其中a,b分别表示梯形上、下底的长度,h表示高.猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式:( 4 )验证猜想．的形式，其中 S 。应该是表示面积的量．它究竟是多少还有待进一步确定． 与⑤式相比,公式⑥的分母从2变为3,相
应的分子从2项变为3项,这些都恰如其分
地反映了2维和3维的差异,因此,公式⑥从
整体结构上就给人以一种协调的美感.应
该说,公式,⑥比公式⑤更合理． 既然⑥式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中 S .的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当 S上=0时,S0= 0.因此, S0应含有S上的因子;第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,S上和S下在公式中应该具有同等地位,据此,我们可以猜想S0具有 形式;第三,进一步确定 k 的值.仍然使用特殊化的方法,当S上= S下时,棱台变为棱柱,则三归纳总结 上面的案例说明：
( 1 )数学发现活动是一个探索创造的过程．这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．
( 2 )合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．
( 3 )演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．四数学应用证明：数列 12 ,1122 , 111222 ， … 的各项都是两个连续正整数的积．证明：因为 12 = 3X4 , 1122 = 33X34 , 111222 = 333 X 334 … 1下面提供了一道习题的证明过程,阅读后请说明在证明过程中数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？三环节:( 1 )观察分析 (2) 猜想 ( 3)演绎
对通项是3m（3m+1）的猜想
猜想时应用了归纳推理
合情推理(归纳推理)为演绎推理指明了目标和方向,演绎推理为合情推理(归纳推理)的猜想作出了“判断”和证明 2下面提供的是０５年江苏省一道高考题的解答过程,阅读后请说明在解答过程中数学活动分别使用了哪些推理方法？ 通过“假设---验证”逐个排除的推理方法，可确定苹果在黄箱子里。 至多三个环节都是“假设---验证”，分别猜想在红、黄、蓝三只箱子里，再逐个用演绎推理验证。 3 例如：红黄蓝三只箱子，有一个苹果在其中一个箱子里。红箱子上写着：“苹果在这个箱子里”；黄箱子上写着；“苹果不在这个箱子里”，蓝箱子写着：“苹果不在红箱子里”。这三句话只有一句是真的．
我们怎么能一次就准确地找出苹果来呢？请说明你的判断过程是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？ 4下面提供的是０６年全国２卷一道高考题的解答过程,阅读后请说明在解答过程中数学活动分别使用了哪些推理方法？ 合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理，合情推理所得到的结论不一定正确，其正确性需要加以证明或实践的验证．而演绎推理则是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格逻辑法则得到新结论的推理过程，演绎推理中只要前提和推理的形式都是正确的，那么它所推演出的结论是正确的，因而演绎推理可以用于对问题的证明．
在实际问题的解决之中，合情推理和演绎推理相辅相成，相互作用，共同推动着发现活动的发展，合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，而演绎推理则是形式化较高的必然推理，在数学发现中，它有类似实验的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出判决和证明，因而为调控探索活动提供依据．使数学中的猜想成为真理，它们既有区别又有联系，共同作用，才能发挥其最大作用．课本78页T7 :试分析合情推理与演绎推理的联系和区别．五本课时总结 对这两种推理在数学活动中的作用，著名的数学教育家 G ．波利亚作了精辟的论述：“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前，先得猜测这个定理的内容；在完成详细的证明之前，先得推测证明的思路．创造过程是一个艰苦曲折的过程．数学家创造性的工作是论证推理，即证明．但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的．”六写 在 最 后 的 话 事先准备三白二黑五顶帽子，老师先出示全部帽子，而后让三名学生闭上眼睛，由他替每位学生戴上白帽子，把两顶黑帽子藏起来，之后让学生睁眼说出自己头上帽子的颜色，三个同学互相看了一下，略踌躇，即异口同声地说自己头上戴的是白帽子。你知道是怎么推理的吗？
由前提可知只有三种情况出现：（A） 黑、黑、白； （B ）黑、白，白； （c ）白、白、白．分别对三种情况进行分析就可推断出来，领会其中的推理过程，对我们既是一种思维的锻炼，又是一种理性的熏陶．帽 子 问 题七课外思考
②类比推理是由特殊到特殊的推理;
③演绎推理是由一般到特殊的推理.
从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确. 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.例1.正整数平方和公式的推导.提出问题:
我们知道,前n个正整数的和为
那么,前n个正整数的平方和
S2(n)=12+22+32+…+n2=? 阅读课本第40页至42中例题1
全部内容并思考后面的问题.学习感悟例1.正整数平方和公式的推导.思路1:(归纳的方案)
思路2:(演绎的方案)思考:在例1中,数学活动是由哪些
环节构成的?在这个过程中提出了
哪些猜想?提出猜想时使用了哪些
推理方法?合情推理和演绎推理分
别发挥什么作用?四个环节:
(1)确定类比对象(2)观察分析(3)猜想(4)演绎.(猜想---验证猜想---调整再猜想---演绎再验证猜想)
两次对公式的猜想
猜想时应用了类比推理和演绎推理
合情推理(类比推理)为演绎推理指明了目标和方向,演绎推理为合情推理(类比推理)的猜想作出了证明例2 棱台体积公式的推导提出问题
能通过类比推测出棱台的体积公式吗?
数学活动
思路:试图以四棱台为例,通过和梯形的类比推测公式．
(1)确定类比对象.对梯形和四棱台作比较,如表所示.例2 棱台体积公式的推导(P43阅读) 据此,使我们产生了把梯形选为类比对象的念头．例3在等差数列{an}中,若a10=0,则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19－n (n<19且n∈N*)成立,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若b9=1,则存在怎样的等式? 例4 判断函数y= 在区间[0,+∞)上的单调性,并加以证明. 同学们.再见! (2)对类比对象的进一步分析．
梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的,而棱台则可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的.据此,应该有如下的对应关系：进而有:(3)通过类比推理,建立猜想. 求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.于是由梯形的面积公式: 其中a,b分别表示梯形上、下底的长度,h表示高.猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式:( 4 )验证猜想．的形式，其中 S 。应该是表示面积的量．它究竟是多少还有待进一步确定． 与⑤式相比,公式⑥的分母从2变为3,相
应的分子从2项变为3项,这些都恰如其分
地反映了2维和3维的差异,因此,公式⑥从
整体结构上就给人以一种协调的美感.应
该说,公式,⑥比公式⑤更合理． 既然⑥式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中 S .的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当 S上=0时,S0= 0.因此, S0应含有S上的因子;第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,S上和S下在公式中应该具有同等地位,据此,我们可以猜想S0具有 形式;第三,进一步确定 k 的值.仍然使用特殊化的方法,当S上= S下时,棱台变为棱柱,则三归纳总结 上面的案例说明：
( 1 )数学发现活动是一个探索创造的过程．这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．
( 2 )合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．
( 3 )演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．四数学应用证明：数列 12 ,1122 , 111222 ， … 的各项都是两个连续正整数的积．证明：因为 12 = 3X4 , 1122 = 33X34 , 111222 = 333 X 334 … 1下面提供了一道习题的证明过程,阅读后请说明在证明过程中数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？三环节:( 1 )观察分析 (2) 猜想 ( 3)演绎
对通项是3m（3m+1）的猜想
猜想时应用了归纳推理
合情推理(归纳推理)为演绎推理指明了目标和方向,演绎推理为合情推理(归纳推理)的猜想作出了“判断”和证明 2下面提供的是０５年江苏省一道高考题的解答过程,阅读后请说明在解答过程中数学活动分别使用了哪些推理方法？ 通过“假设---验证”逐个排除的推理方法，可确定苹果在黄箱子里。 至多三个环节都是“假设---验证”，分别猜想在红、黄、蓝三只箱子里，再逐个用演绎推理验证。 3 例如：红黄蓝三只箱子，有一个苹果在其中一个箱子里。红箱子上写着：“苹果在这个箱子里”；黄箱子上写着；“苹果不在这个箱子里”，蓝箱子写着：“苹果不在红箱子里”。这三句话只有一句是真的．
我们怎么能一次就准确地找出苹果来呢？请说明你的判断过程是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？ 4下面提供的是０６年全国２卷一道高考题的解答过程,阅读后请说明在解答过程中数学活动分别使用了哪些推理方法？ 合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理，合情推理所得到的结论不一定正确，其正确性需要加以证明或实践的验证．而演绎推理则是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格逻辑法则得到新结论的推理过程，演绎推理中只要前提和推理的形式都是正确的，那么它所推演出的结论是正确的，因而演绎推理可以用于对问题的证明．
在实际问题的解决之中，合情推理和演绎推理相辅相成，相互作用，共同推动着发现活动的发展，合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，而演绎推理则是形式化较高的必然推理，在数学发现中，它有类似实验的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出判决和证明，因而为调控探索活动提供依据．使数学中的猜想成为真理，它们既有区别又有联系，共同作用，才能发挥其最大作用．课本78页T7 :试分析合情推理与演绎推理的联系和区别．五本课时总结 对这两种推理在数学活动中的作用，著名的数学教育家 G ．波利亚作了精辟的论述：“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前，先得猜测这个定理的内容；在完成详细的证明之前，先得推测证明的思路．创造过程是一个艰苦曲折的过程．数学家创造性的工作是论证推理，即证明．但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的．”六写 在 最 后 的 话 事先准备三白二黑五顶帽子，老师先出示全部帽子，而后让三名学生闭上眼睛，由他替每位学生戴上白帽子，把两顶黑帽子藏起来，之后让学生睁眼说出自己头上帽子的颜色，三个同学互相看了一下，略踌躇，即异口同声地说自己头上戴的是白帽子。你知道是怎么推理的吗？
由前提可知只有三种情况出现：（A） 黑、黑、白； （B ）黑、白，白； （c ）白、白、白．分别对三种情况进行分析就可推断出来，领会其中的推理过程，对我们既是一种思维的锻炼，又是一种理性的熏陶．帽 子 问 题七课外思考