天津市第二十五中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（含解析）

天津市第二十五中学2022-2023学年高一下学期6月月考
数学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共30分）
1．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件
2．已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．某校举行知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ）
A．图中的x值为0.020 B．得分在的人数为400
C．这组数据的极差为50 D．这组数据的平均数的估计值为77
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是，a，b，c，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ）
A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.2
6．给定一组数据：1，3，2，1，5，则这组数据的方差及第40百分位数分别是（ ）
A．5，2 B．，2 C．，1.5 D．5，1.5
7．小明想在2个“冰墩墩”和3个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小明选取到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率（ ）
A． B． C． D．
8．设l、m是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若、，则 B．若、，则
C．若、，则 D．若、，则
9．如图，在四边形ABCD中，，，点E在线段CB上，且，设，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知△ABC中，，，，D是边BC上一点，．则（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（共20分）
11．2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相．某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为________人．
12．已知复数，若为实数，则________．
13．如图所示，在长方体中，，，点E，F，G分别是，AB，的中点，则异面直线与GF所成的角是________．
14．如图，圆台中，，其外接球的球心O在线段上，上下底面的半径分别为，，则圆台外接球的表面积为________．
15．在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，，则的最小值为________．
三、解答题（共50分）
16（12分）．已知，．
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若，求实数的值；
（3）若，，且A、B、C三点共线，求m的值．
17（13分）．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知，，．
（1）求c的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
18．（12分）在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1，2，3，4的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出一个球，每个球被取出的可能性相等．
（1）请列出所有可能的结果；
（2）求取出的两个球的编号恰为相邻整数的概率；
（3）求取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4的概率．
19．（13分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，O为AC中点，平面ABCD，，M为SD中点．
（I）证明：平面ACM；
（II）证明：平面SAC；
（III）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
参考答案：
1．B
【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解．
【详解】由题可知，事件1可表示为：，事件2可表示为：，
事件3可表示为：，事件4可表示为：，
因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误；
因为为不可能事件，为必然事件，
所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；
因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误；
因为为不可能事件，不为必然事件，
所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；
故选：B．
2．D
【分析】根据复数运算法则求z的代数形式，再确定其在复平面所对应的点及其象限．
【详解】因为，
所以复数z在复平面内所对应的点为，该点在第四象限．
故选：D．
3．C
【分析】根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，以及极值、频数以及平均数的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
【详解】对于A，由，可解得，故选项A正确；
对于B，得分在80分及以上的人数的频率为，
故人数为，故选项B正确；
对于C，频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项C不正确；
对于D，这组数据的平均数的估计值为：，
故选项D正确．
故选：C．
4．C
【分析】利用正弦定理可得，再结合倍角正弦公式即可求解．
【详解】由正弦定理得：
．
故选：C
5．B
【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得．
【详解】依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，
又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，
又极差为3，所以最小数字为6，
所以这组数据为6、7、8、9、9，
所以平均数为．
故选：B
6．C
【分析】根据数据的方差与百分位数的概念计算即可．
【详解】数据：1，3，2，1，5的平均数为，
所以方差为；
这组数从小到大排列为1，1，2，3，5，共5个数，
所以，则这组数据的第40百分位数为．
故选：C．
7．B
【分析】用列举法求出选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品的基本事件及选取到1个“冰墩敦”和1个“雪容融”有6个基本事件，根据古典概型的计算公式求解即可．
【详解】记2个“冰墩墩”为a，b，记3个“雪容融”为1，2，3，选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品的基本事件有：，，，，，，，，，，共10个．
其中选取到1个“冰墩敦”和1个“雪容融”有6个基本事件，
则概率为．
故选：B．
8．B
【分析】根据线面的位置关系依次对选项进行判断．
【详解】A选项，若、，则或，所以A不正确；
B选项，若、，则，所以B正确；
C选项，若、，则l与m平行或异面，所以C不正确；
D选项，若，，则m与的位置关系不确定，所以D不正确．
故选：B．
9．D
【分析】根据向量加、减法则及向量共线定理即可得出结果．
【详解】在梯形ABCD中，，且，则，
因为E在线段CB上，且，则，
，
所以，．
故选：D．
10．B
【分析】利用正弦定理及余弦定理可得，结合条件可得，然后利用余弦定理可得，，进而可得，即得．
【详解】设△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，
∵，即，
∴，
∴，又，
∴，又，，
∴，即，
∴，
故，
∴，，，
又，，
∴，．
故选：B．
11．3600
【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解．
【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了36人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了15人，12人，可得高三年级抽取了9人，
又由高三年级共有900名学生，则每个学生被抽到的概率为，
设该校共有n名学生，可得，解得（人），
即该校共有3600名学生．
故答案为：3600．
12．2
【分析】根据复数的加法和除法运算求得，进而得到，求得，即可求得答案．
【详解】，
所以，得，所以，．
故答案为：2
13．
【分析】列出外接球半径所满足的方程，解出半径，得外接球表面积．
【详解】
设外接球半径为R，
则，解得，
所以外接球表面积为，
故答案为：．
14．
【详解】因为，，
，
，，
当且仅当即时的最小值为．
考点：向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式．
15．90°
【分析】连接，，EG，则得或其补角即为与GF所成的角，再利用勾股定理即可得到线线角．
【详解】连接，，EG，∵点E，F，G分别是，AB，的中点，
∴，，，，
∴，，∴四边形为平行四边形，
则，故或其补角即为与GF所成的角，
易得，，，所以，所以．
故答案为：90°．
16．（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算和夹角公式即可得出；
（2）依题意可得，根据数量积的运算律得到方程，解得即可；
（3）首先求出，的坐标，依题意可得，根据向量共线的坐标表示计算可得．
【详解】（1）∵，．
∴，，．
∴．
（2）∵，
∴，
即，
整理得，解得．
（3）因为，
，
因为A、B、C三点共线，
所以，即，解得．
17．（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出，，再根据两角差的正弦公式即可求出．
【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，
所以．
（3）因为，所以，故，又，所以，，而，所以，
故．
18．（1）答案见解析；
（2）；
（3）．
【分析】（1）列举法写出所有基本事件即可；
（2）求出满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求解；
（3）求出满足两个球的编号之和与编号之积都不小于4的事件的个数，利用古典概型求解．
【详解】（1）从甲、乙两个盒子中各取出一个球，所有可能的结果为：
，，，，，，，，，，，，，，，，共16种情况．
（2）设“取出的两个球的编号恰为相邻整数”为事件A，
事件A的所有可能的结果为：，，，，，，共6种情况，
∴．
（3）设“取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4”为事件B，
事件B的所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，共11种情况，
∴．
19．（I）（II）见解析（III）
【详解】试题分析：（I）由O为AC中点，M为PD中点．结合平行四边形的对角线性质，考虑连接BD，MO，则有，从而可证
（II）由，且，易得，，根据线面垂直的判定定理可证
（III）取DO中点N，由平面ABCD，可得平面ABCD，从而可得∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△ANM中求解即可
解：（I）证明：连接BD，MO
在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，
所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以
因为平面ACM，平面ACM
所以平面ACM
（II）证明：因为，且，所以，即
又平面ABCD，平面ABCD，所以，，平面PAC
（III）解：取DO中点N，连接MN，AN
因为M为PD的中点，所以，且，由平面ABCD，得平面ABCD
所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．
在Rt△DAO中，，，所以，
∴，
在Rt△ANM中，
即直线AM与平面ABCD所成的正切值为
点评：本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力、推理论证能力．