6.1平面向量的概念 课时作业新人教A版必修第二册（含解析）

6．1　平面向量的概念　
必备知识基础练
1．(多选)在下列说法中正确的有(　　)
A．在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量
B．温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量
C．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
D．平面上的数轴都是向量
2．下列说法错误的是(　　)
A．若a＝0，则|a|＝0
B．零向量与任一向量平行
C．零向量是没有方向的
D．若两个相等的向量起点相同，则终点必相同
3．下列说法中正确的是(　　)
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，方向相同或相反
D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b|
4．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是(　　)
A．a与b的长度必相等
B．a∥b
C．a与b一定不相等
D．a是b的相反向量
5.
如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　)
A．＝
B．||＝||
C．＞
D．＜
6．(多选)以下说法正确的是(　　)
A．两个相等向量的模相等
B．平行向量方向相同
C．若a和b都是单位向量，则a＝b
D．平行向量一定是共线向量
7．在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，判断是否存在下列关系的向量：
(1)是共线向量的有________；
(2)模相等的向量有________．
8.
如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，则以A，B，C，D，E，F这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量是________．
关键能力综合练　
1．下列命题正确的是(　　)
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．向量与向量的长度相等
C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
D．若|a|＝7，|b|＝3，则a>b
2．“b∥a”是“a＝b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3.
在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　)
A．与共线
B．与共线
C．与相等
D．与相等
4．设点O是正△ABC的中心，则、、是(　　)
A．相等向量 B．共起点的向量
C．共线向量 D．模相等的向量
5．(多选)如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是(　　)
A．与B．与C．与D．与
6.
(多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．||＝|| B．与共线
C．与共线 D．＝
7．四边形ABCD满足＝，且||＝||，则四边形ABCD是________(填四边形ABCD的形状).
8．已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则与的关系为________．(用文字叙述)
9.
O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
10.
如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个；
(2)与方向相同且模为3的向量共有几个．
核心素养升级练　
1．若a，b为非零向量，则“＝”是“a，b共线”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．中国象棋中规定：马走“日”字．中国象棋的部分棋盘如图所示(示意图)，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量或表示马走了“一步”．试在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况．
3.
如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数．
6．1　平面向量的概念
必备知识基础练
1．答案：AC
解析：既有大小，又有方向的量统称为向量，结合向量的定义可知仅有BD错误，结合向量的概念以及共线向量的定义可知AC正确，故选AC.
2．答案：C
解析：对A，零向量的模长为0，故A正确；对B，零向量与任一向量平行，故B正确；对C，零向量的方向是任意的，故C错误；对D，相等向量若起点相同则终点相同，D正确；故选C.
3．答案：D
解析：对于A，单位向量方向不同时并不相等，A错误；对于B，0的相反向量为0，B错误；对于C，|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关，C错误；对于D，相反向量是模长相等，方向相反的向量，D正确．故选D.
4．答案：C
解析：根据相反向量的定义可知，a与b的长度必相等，相反向量为共线向量，故A，B正确；当a与b都为零向量时，它们是相反向量，此时相等，故C错误，b是a的相反向量，则a是b的相反向量，D正确，故选C.
5．答案：B
解析：AB与CD是等腰梯形的两腰，则它们必不平行，但长度相同，故||＝||，又因为向量不是实数，是不能比较大小的．故选B.
6．答案：AD
解析：根据相等向量的概念可知，两个相等向量的模相等，故A正确；根据平行向量的概念可知，平行向量方向可能相同、可能相反，零向量与任何向量平行，此时不谈方向，故B不正确；若a和b都是单位向量，则|a|＝|b|，不一定有a＝b，故C不正确；平行向量与共线向量是同一个概念，故D正确．故选AD.
7．答案：(1)a和d，e和b　(2)a，c，d
解析：(1)a∥d，e∥b，故a和d，e和b是共线向量．
(2)由勾股定理可知，模相等的向量有a，c，d.
8．答案：，，
解析：如题图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，则以A，B，C，D，E，F这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量是，，.
关键能力综合练
1．答案：B
解析：对于A，当b＝0，则a，c不一定平行，故A错；对于B，向量与向量是相反向量，故长度相等，故B正确；对于C，两个单位向量平行，可能方向相同也可能相反，故向量不一定相等，故C错；对于D，向量有方向和大小，不能比较大小，故D错．故选B.
2．答案：B
解析：a＝b时一定有a∥b，是必要条件，但a∥b时，两个向量a，b不一定相等，如零向量与任意向量都平行．不充分．应为必要不充分条件，故选B.
3．答案：B
解析：因为AB与AC不平行，所以与不共线，A错；因为D，E分别是AB，AC的中点，则DE与BC平行，故与共线，B正确；因为AD与AE不平行，所以与不相等，C错；因为＝＝－，则D错．故选B.
4．答案：D
解析：
如图所示，显然、、的方向不同，起点不同终点相同，不共线，模相等，故选D.
5．答案：AD
解析：因为＝，所以四边形ABCD是平行四边形，所以＝，＝，＝－，≠.故选AD.
6．答案：ABD
解析：由四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，知：||＝||，即A正确；由图形可知：与的方向相反，与方向相同且长度相同即＝，故B、D正确；而与不一定共线，故C不一定正确．故选ABD.
7．答案：矩形
解析：∵＝，∴AD∥BC且||＝||，则四边形ABCD是平行四边形，又||＝||，即该平行四边形对角线长相等，所以四边形ABCD是矩形．
8．答案：相等
解析：
如图，连接AC，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，HG是△ACD的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC，即＝，同理＝，∴与的关系为相等．
9．解析：因为O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，
所以OA＝AE＝OD＝DE＝OC＝CF＝BF＝BO，AB＝CD＝BC＝AD；
(1)由题中图形可得：＝，＝；
(2)由图形可得，与共线的向量有：，，；
(3)与模相等的向量有：，，，，，，；
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同．
10．解析：由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则||＝＝2，
(1)由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
(2)与方向相同且模为3的向量共有2个，如图2.
核心素养升级练
1．答案：B
解析：依题意a，b为非零向量，表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，则＝表示与a，b同向的单位向量相等，所以能推出a，b共线，所以充分性成立；a，b共线可能同向共线、也可能反向共线，所以a，b共线得不出＝，所以必要性不成立．故选B.
2．解析：根据规则，作出符合要求的所有向量，如示意图所示．
3．解析：由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.
由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等：即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，
因为集合元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个．