7.2.1复数的加减运算及其几何意义 课时作业（含解析）

7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义
必备知识基础练　
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i＝(　　)
A．－1＋i B．1－iC．i D．－i
2．设复数z1＝－1＋i，z2＝2＋i，则在复平面内z1＋z2对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．复数2＋2i－|＋i|＝(　　)
A．0 B．2C．－2i D．2i
4．设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　)
A．－5－5i B．－5＋5i
C．5＋5i D．5－5i
5．若复数z满足z－i＝1－i，则z＝(　　)
A．1＋i B．2－i
C．－1－i D．1－i
6．设z1＝－1＋i，2＝4－3i，则|z1＋z2|＝(　　)
A．25 B．5
C．13 D．
7．已知z1、z2∈C，且z1＝2＋i，z2＝3－4i(其中i为虚数单位)，则z1－z2＝________．
8．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为________．
关键能力综合练　
1．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为(　　)
A．2＋8i B．－6－6i
C．4－4i D．－4＋2i
2．已知复数z的共轭复数满足＋i＝4＋2i，则|z|＝(　　)
A．5 B．3
C．3 D．
3．设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．1＋i D．1－i
4．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在(　　)
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一象限 D．第二象限
5．若z1，z2为复数，则“z1＋z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．(多选)在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1＝1＋i，点B对应的复数为z2＝1＋2i，点C对应的复数为z3，则下列结论正确的是(　　)
A．点C位于第二象限 B．z1＋z3＝z2
C．|z1－z3|＝|AC| D．z1·z3＝z2
7．若复数z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i在复平面上所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．
8．若复数z满足2z＋＝3＋2i，其中i为虚数单位，则z＝________．
9．已知复数z1＝a＋(7－a)i，z2＝5＋(3a＋1)i(a∈R，i是虚数单位).
(1)若z2的实部与z1的模相等，求实数a的值；
(2)若复数z1＋z2在复平面上的对应点在第四象限，求实数a的取值范围．
10．ABCD是复平面内的平行四边形，A、B、C三点对应的复数分别是1＋i、－＋i、－1－i，其中i是虚数单位．
(1)求点D对应的复数；
(2)试判断A、B、C、D四点是否在同一圆上，若是，求出该圆的方程；否则，请说明理由．
核心素养升级练　
1．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601～1665)于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即为费马点．根据以上材料，若z∈C，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|的最小值为(　　)
A．2－2 B．2＋2
C．－1 D．＋1
2．已知1＋i是关于x的方程x2－ax＋2＝0的根，则实数a＝________．
3．已知复数z1＝1＋(a2－10)i，z2＝(2a－5)i(a>0)，z1＋z2∈R.
(1)求实数a的值；
(2)若z∈C，|z－z2|＝2，求|z|的取值范围．
7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义
必备知识基础练
1．答案：A
解析：(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i，故选A.
2．答案：A
解析：由题设，z1＋z2＝－1＋i＋2＋i＝1＋2i，故其对应点为(1，2)在第一象限．故选A.
3．答案：D
解析：2＋2i－|＋i|＝2＋2i－＝2＋2i－2＝2i.故选D.
4．答案：B
解析：由题意＝－＝(－3＋2i)－(2－3i)＝－5＋5i，故选B.
5．答案：A
解析：因为z－i＝1－i，所以z＝1－i＋i＝1＋i；故选A.
6．答案：B
解析：z1＝－1＋i，2＝4－3i，则z2＝4＋3i，∴z1＋z2＝3＋4i，所以|z1＋z2|＝＝5.故选B.
7．答案：－1＋5i
解析：z1－z2＝2＋i－3＋4i＝－1＋5i.
8．答案：－2
解析：由已知可得z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，因为z1＋z2是纯虚数，则，解得a＝－2.
关键能力综合练
1．答案：C
解析：＝(－)－＝3＋2i＋2－i－1－5i＝4－4i.故选C.
2．答案：D
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又因为＋i＝4＋2i，即a＋(－b＋1)i＝4＋2i，所以a＝4，b＝－1，所以|z|＝，故选D.
3．答案：C
解析：设z＝a＋bi，则＝a－bi，则2(z＋)＋3(z－)＝4a＋6bi＝4＋6i，所以，，解得a＝b＝1，因此，z＝1＋i.故选C.
4．答案：B
解析：设z＝x＋yi，则|x＋yi－1|＝|x＋yi＋1|，即(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2，解得x＝0，所以z＝yi，它对应的点在虚轴上．故选B.
5．答案：B
解析：由题意，不妨设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1＋z2是实数，则z1＋z2＝a＋bi＋c＋di＝(a＋c)＋(b＋d)i∈R，故b＋d＝0，即b＝－d，由于a，c不一定相等，故z1，z2不一定互为共轭复数，故充分性不成立；若z1，z2互为共轭复数，则z2＝a－bi，故z1＋z2＝2a∈R，故必要性成立．因此“z1＋z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的必要不充分条件．故选B.
6．答案：BC
解析：如图，由题意，O(0，0)，A(1，1)，B(1，2)，∵OABC为平行四边形，则C(0，1)，∴z3＝i，点C位于虚轴上，故A错误；z1＋z3＝1＋i＋i＝1＋2i＝z2，故B正确；|z1－z3|＝|1＋i－i|＝1＝|AC|，故C正确；z1z3＝(1＋i)i＝－1＋i≠z2，故D错误．故选BC.
7．答案：(3，4)
解析：z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，因为复数z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i在复平面上所对应的点在第二象限，所以，解不等式组得38．答案：1＋2i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，所以2(a＋bi)＋(a－bi)＝3＋2i，则3a＋bi＝3＋2i，
所以，即，所以z＝1＋2i.
9．解析：(1)依题意，|z1|＝
＝，
因为z2的实部与z1的模相等，则＝5，整理得a2－7a＋12＝0，解得a＝3或a＝4.
(2)因z1＋z2＝(a＋5)＋(2a＋8)i，而z1＋z2在复平面上对应点在第四象限，
于是得，解得－5所以实数a的取值范围是(－5，－4).
10．解析：(1)由题知，A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，
因为＝＝(－－1，1－).
所以D(，－1)，
所以点D所对应的复数为－i.
(2)|1＋i|＝2，|－＋i|＝2，
|－1－i|＝2，|－i|＝2，
所以A、B、C、D四点都在以原点为圆心，半径为2的圆上，
该圆的方程为x2＋y2＝4.
核心素养升级练
1．答案：B
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|表示点Z(x，y)到△ABC三顶点A(－2，0)、B(2，0)、C(0，－2)的距离之和．依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°.此时|PA|＋|PB|＋|PC|＝×2＋(2－2tan 30°)＝2＋2.故选B.
2．答案：2
解析：因为1＋i是关于x的方程x2－ax＋2＝0的根，所以1－i也是方程x2－ax＋2＝0的根，所以(1＋i)＋(1－i)＝a，得a＝2.
3．解析：(1)因为z1＝1＋(a2－10)i，z2＝(2a－5)i，
所以z1＋z2＝1＋(a2－10)i＋(2a－5)i＝1＋(a2＋2a－15)i.
又因为z1＋z2∈R，所以a2＋2a－15＝0，
解得a＝－5或a＝3.又因为a>0，所以a＝3.
(2)由(1)知z2＝i，设z＝x＋yi，
由|z－z2|＝2 |x＋(y－1)i|＝2，所以＝2，
得x2＋(y－1)2＝4，而(y－1)2＝4－x2，
∴0≤(y－1)2≤4，∴－2≤y－1≤2，故y∈[－1，3].
∴|z|＝＝＝，
∵－1≤y≤3，∴2y＋3∈[1，9]，故|z|∈[1，3].