10.2事件的相互独立性 课时作业（含解析）

10．2　事件的相互独立性
必备知识基础练　
1．若随机事件A，B满足P(AB)＝，P(A)＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)
A．互斥 B．相互独立
C．互为对立 D．互斥且独立
2．某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是(　　)
A．0.64 B．0.56
C．0.81 D．0.99
3．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为(　　)
A．0.8 B．0.7
C．0.56 D．0.38
4．现有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．A事件“第一次取出的球的数字是3”，B事件“第二次取出的球的数字是2”，C事件“两次取出的球的数字之和是7”，D事件“两次取出的球的数字之和是6”，则(　　)
A.A与C相互独立 B．A与D相互独立
C．B与D相互独立 D．C与D相互独立
5．某次体育考试，甲、乙的成绩达到优秀的概率分别为0.4，0.9，两人的成绩互不影响，则甲、乙两人的成绩都未达到优秀的概率为(　　)
A．0.06 B．0.36
C．0.28 D．0.64
6．“五一”劳动节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为(　　)
A． B．C． D．
7．已知事件A，B相互独立，且P(A)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________．
关键能力综合练　
1．设事件A，B相互独立，P(A)＝0.6，P(B)＝0.3，则P(A∪B)＝(　　)
A．0.36 B．0.504
C．0.54 D．0.9
2．三个人独立地破译一份密码，他们能单独译出密码的概率分别为，，，假设他们能否破译出密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为(　　)
A． B．C． D．
3．甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为p、、，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为，则p＝(　　)
A． B．
C． D．
4.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为(　　)
A． B．
C． D．
5．某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n.则m＋n＝(　　)
A． B．
C． D．
6．抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A＝“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，B＝“n次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是(　　)
A．当n＝2时，P(A∩B)＝
B．当n＝2时，事件A与事件B不独立
C．当n＝3时，P(A∪B)＝
D．当n＝3时，事件A与事件B不独立
7．甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.7，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为________．
8．排球比赛的规则是5局3胜制，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率均为，若前2局结束后乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是________．
9．某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5，0.6，0.4.第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6，0.5，0.5.
(1)求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
(2)分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；
(3)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率．
10.某公司在一次入职面试中，共设有3轮测试，每轮测试设有一道题目，面试者能正确回答两道题目的即可通过面试，累计答错两道题目的即被淘汰．已知李明能正确回答每一道题目的概率均为，且各轮题目能否正确回答互不影响．
(1)求李明不需要进入第三轮测试的概率；
(2)求李明通过面试的概率．
核心素养升级练　
1．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则(　　)
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为________.
3．某工厂有A，B，C三条生产线各自独立地生产同一种汽车配件，已知A生产线生产的汽车配件是合格品且B生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，B生产线生产的汽车配件是非合格品且C生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，A生产线生产的汽车配件是合格品且C生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，记事件A，B，C分别为A，B，C三条生产线各自生产的汽车配件是合格品．
(1)求事件A，B，C的概率；
(2)随机从A，B，C三条生产线上各取1个汽车配件进行检验，求恰有2个合格品的概率．
10．2　事件的相互独立性
必备知识基础练
1．答案：B
解析：因为P(A)＝， P(B)＝，
又因为P(AB)＝≠0，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立，不互斥也不对立．
故选B.
2．答案：C
解析：Ai表示“第i次击中目标”，i＝1，2，则P(Ai)＝0.9，而运动员各次射击是相互独立的，即事件A1与A2相互独立，由相互独立事件概率的乘法公式得P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81，
连续射击两次都命中的概率是0.81.
故选C.
3．答案：D
解析：因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，
所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为：
P＝0.8×(1－0.7)＋(1－0.8)×0.7＝0.38.
故选D.
4．答案：A
解析：根据题意得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝＝，P(D)＝，
所以P(AC)＝＝P(A)P(C)，P(AD)＝≠P(A)P(D)，
P(BD)＝≠P(B)P(D)，P(CD)＝0≠P(C)P(D)，
所以A与C相互独立．
故选A.
5．答案：A
解析：∵甲、乙达到优秀的概率分别为0.4，0.9，
∴甲、乙未达到优秀的概率分别为1－0.4和1－0.9，
又∵两人考试成绩互不影响，即两人是否达到优秀相互独立，
∴甲、乙两人都未达到优秀的概率为P＝(1－0.4)×(1－0.9)＝0.06.
故选A.
6．答案：B
解析：∵甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，.
∴他们不去北京旅游的概率分别为，，.
∵至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游，
∴至少有1人去北京旅游的概率为：1－××＝.
故选B.
7．答案：
解析：由题设P(AB)＝P(A)P(B)＝P(B)＝，则P(B)＝.
关键能力综合练
1．答案：C
解析：根据题意，A与B互斥，A，相互独立，B，相互独立，A，B相互独立，
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.6×0.7＋0.4×0.3＝0.54.
故选C.
2．答案：B
解析：三个人独立地破译一份密码，他们能单独译出密码的概率分别为，，，
他们能否破译出密码是相互独立的，
则三个人均未破译密码的概率为
＝××＝，
则此密码被破译的概率为1－＝，
故选B.
3．答案：C
解析：事件“3人中有人达标但没有全部达标”的对立事件为“3人都达标或全部没有达标”，则
×P＋××(1－P)＝1－，解得P＝.
故选C.
4．答案：B
解析：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则P(Ak)＝，P(Bk)＝，(k＝1，2)，记“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件D.
则P(D)＝P(1B1)＋P(11A2)＝P(1)P(B1)＋P(1)P(1)P(A2)＝×＋××＝.
故选B.
5．答案：C
解析：由题知三个社团都能进入的概率为，
即m××n＝ m×n＝，
又因为至少进入一个社团的概率为，
即一个社团都没能进入的概率为1－＝，
即(1－m)××(1－n)＝ 1－m－n＋m×n＝，
整理得m＋n＝.
故选C.
6．答案：D
解析：当n＝2时，所有基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4种，
且n(A)＝2，n(B)＝3，n(A∩B)＝2，P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，
所以P(A∩B)＝，故A正确；
P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A与事件B不独立，故B正确；
当n＝3时，所有基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8种，
n(A∪B)＝7，n(A)＝6，n(B)＝4，n(AB)＝3，
所以P(A∪B)＝，故C正确；
P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与事件B独立，故D错误．
故选D.
7．答案：0.88
解析：因为甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.7，
所以甲、乙分别向同一靶子射击一次，该靶子被击中的概率P＝0.6×(1－0.7)＋0.7×(1－0.6)＋0.6×0.7＝0.88.
8．答案：
解析：最后乙队获胜，则需要在剩下的三局比赛中赢一局即可．
若第三局乙队获胜，其概率为P1＝；
若第三局乙队负，第四局乙队获胜，其概率为P2＝×＝；
若第三、四局乙队负，第五局乙队获胜，其概率为P3＝××＝.
所以最后乙队获胜的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝＝.
9．解析：(1)分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1，B1；
设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，则
P(E)＝P(A11)＝0.5×0.4＝0.2.
(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格为事件A、B、C，则
P(A)＝0.5×0.6＝0.3，P(B)＝0.6×0.5＝0.3，P(C)＝0.4×0.5＝0.2.
(3)设F表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格，
则P(F)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.3×0.7×0.8＋0.7×0.3×0.8＋0.7×0.7×0.2＝0.434＝.
10．解析：(1)设李明通过第一、二、三轮测试分别设为事件A，B，C，可知A，B，C相互独立．
设李明不需要进入第三轮测试为事件M，则M＝AB＋，
所以P(M)＝P(AB＋)＝P(AB)＋P()＝P(A)P(B)＋P()P()＝＋＝，
即李明不需要进入第三轮测试的概率为.
(2)设李明最终通过测试为事件N，则N＝AB＋BC＋AC，
所以P(N)＝P(AB＋BC＋AC)＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)
＝＋×＋×＝，
故李明最终通过测试的概率为.
核心素养升级练
1．答案：D
解析：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为p甲，
则p甲＝[(1－p2)p1p3＋p2p1(1－p3)]＋[(1－p3)p1p2＋p3p1(1－p2)]
＝p1(p2＋p3)－2p1p2p3；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙，
则p乙＝(1－p1)p2p3＋p1p2(1－p3)＝p2(p1＋p3)－2p1p2p3，
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙，
则p丙＝(1－p1)p3p2＋p1p3(1－p2)＝p3(p1＋p2)－2p1p2p3，
则p甲－p乙＝p1(p2＋p3)－2p1p2p3－[p2(p1＋p3)－2p1p2p3]＝(p1－p2)p3<0，
p乙－p丙＝p2(p1＋p3)－2p1p2p3－＝(p2－p3)p1<0，
即p甲则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大．选项D判断正确；选项BC判断错误；
p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关．选项A判断错误．
故选D.
2．答案：
解析：设A1，A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件．根据独立事件的性质，可得
P(A1)＝2××＝，P(A2)＝2＝，
P(B1)＝2××＝，P(B2)＝2＝.
设A＝“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则A＝A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，
所以P(A)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝×＋×＝．
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.
3．解析：(1)因为事件A，B，C分别为A，B，C三条生产线各自生产的汽车配件是合格品，则事件，，分别为A，B，C三条生产线各自生产的汽车配件是非合格品，且A，B，C相互独立，，，也相互独立．
由，得，
解得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(2)由(1)知，P()＝，P()＝，P()＝.
记事件E为抽取的三个汽车配件中合格品为2个，则
P(E)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()P(B)P(C)
＝××＋××＋××＝.