北师大版初中数学九年级上册1.3.2正方形的性质与判定 第二课时 教学设计

1.3.2正方形的性质与判定
【课题与课时】
课题：北京师范大学出版社 初中数学 九年级上册（2012版），第一章1.3.2正方形的性质与判定
共2课时 第2课时
设计教师：
【课标要求】
1.经历正方形判定的猜测与证明的过程，丰富数学活动经验，进一步发展合情推理能力和演绎推理能力.
2.理解正方形的判定方法，了解它与平行四边形、菱形、矩形判定之间的关系，进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法，增强发现问题和提出问题的能力.
3.证明正方形判定定理，并能够证明其他相关结论.
【学习目标】
1.通过观看动画演示由平行四边形、菱形、矩形转变为正方形，能分别描述出由平行四边形、菱形、矩形添加什么条件能得到正方形， 感受正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系，发展归纳能力. 并通过自主学习，能证明正方形的判定方法,发展自主学习及推理的能力.
2.通过动手操作、猜想、验证等小组活动能归纳出决定中点四边形形状的因素.
3.能掌握正方形的判定方法，综合运用特殊平行四边形的性质和判定解决问题，发展分析能力及应用意识.
【评价任务】
1.独立完成任务一：1，2，3，4(检测目标1)
2.合作完成任务二： (检测目标2)
3.合作完成任务三：1, 2(检测目标3)
【学习提示】 阅读评价任务，明确本节内容有几个任务需要完成，每个任务要怎样完成，完成以后的检测评价内容是什么，同时明确针对目标的评价标准，有效引导自己学习.
【资源与建议】
1、本节课的主要教学内容为正方形的判定、应用及中点四边形的探究。学生已经学习了各种特殊平行四边形的性质、判定和三角形中位线的相关概念，这是本节的知识基础.关于正方形的判定和应用，就是在这些基础上的进一步强化.
2、本节授课思路为“创设情境——猜想归纳——逻辑证明——知识运用”.课堂上的动画演示活动，可以让学生直观感知图形的特点，还可以激发学生的兴趣和积极性，教师要引导学生积极思考，抓住表面现象中的本质.在判定的证明和应用过程中，教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法比较，优化证明方法，有利于提高学生的逻辑思维水平.
3.本主题的重点是正方形判定定理的探索与证明；难点是综合应用特殊平行四边形的性质和判定解决问题，发现正方形的判定与其他知识点结合应用来突破本节课的难点.
【学习提示】在开始本节课学习之前，先认真阅读以上资源与建议，明确这节课内容的出处、知识的前后联系、学习的路径、学习的重难点以及突破的途径，为顺利完成以下学习内容作好准备.
【学习过程】
学前准备：
1. 如何判断一个四边形是平行四边形？如何判断一个四边形是菱形？如何判断一个四边形是矩形？
2.什么样的平行四边形叫做正方形？
3.怎样用一个图直观的表示平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系？
正方形不仅是特殊的平行四边形而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形．根据正方形的特征，不难得到正方形的判定方法，下面就来研究正方形的判定方法．
任务一：探究正方形的判定方法（指向目标1）
1.观察思考：(多媒体动画演示以下三组图形的变化)
平行四边形、菱形、矩形分别添加什么条件能得到正方形？
（ ） （正方形的定义）
（ ）
（ ）
2.归纳判定方法
（1）有一组 并且有一个角是 的平行四边形是正方形．(定义)
（2）有一个角是 的菱形是正方形．
（3）有一组 的矩形是正方形．
3. 菱形、矩形、正方形的对角线分别有什么性质？从对角线的性质分析怎样的菱形是正方形？怎样矩形的是正方形？
猜想：对角线 的菱形是正方形； 对角线 的矩形的是正方形.
4.请验证你的结论. （2-4题检测目标1）
正方形的判定方法（多媒体出示）
定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边行是正方形.
定理 有一个角是直角的菱形是正方形．
定理 有一组邻边相等的矩形是正方形．
定理 对角线相等的菱形是正方形．
定理 对角线垂直的矩形是正方形．
(评价最高标准：第2-4题答案正确每题+4，最高12分)
【学习提示】 认真观察图形的直观变化并依据平行四边形、菱形、矩形和正方形的边、角、对角线性质的差异→猜想出正方形的判定方法→推理验证正方形的判定方法，锻炼自己的观察、分析、概括及推理能力其中判定定理的证明要依据正方形的定义.通过评价任务掌握判定方法，正确说明目标1达成.
任务二：判定应用（指向目标3）
1．例题（多媒体出示）
已知：在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分
∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．
求证：四边形BECF是正方形．
证明： ∵ BF∥CE，CF∥BE，
∴ 四边形BECF是平行四边形．
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC＝90°，∠DCB＝90°．
又∵ BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴ ∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°．
∴ ∠EBC＝∠ECB．
∴ EB＝EC．
∴ □BECF是菱形（菱形的定义）．
在中△EBC中，
∵ ∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，
∴ ∠BEC＝90°.
∴ 菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
处理方式：本例是正方形的判定问题．首先由教师引导分析思路，然后学生独立完成并与课本对照，找出异同后分析原因并订正．教师要给学生充分思考、交流的时间，明确思路，在此基础上再进行证明．
2. 已知：如图，点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′＝BB′＝CC′＝DD′.求证：四边形A′B′C′D′是正方形．（检测目标3）
(评价最高标准：规范解答+6，最高10分)
【学习提示】 认真观察图形分析，应用正方形的性质定理解决正方形的判定问题，其中涉及到三角形全等、平行四边形、菱形、矩形的判定等知识点，在应用过程中要明确所选方法的思路清晰，鼓励学生一题多解，理解正方形的各种判定方法.
任务三：探究中点四边形（指向目标3）（多媒体出示）
1.我们知道，任意画一个四边形，以四边形的中点为顶点可以组成一个平行四边形．那么，任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明．
处理方式：本题通过研究中点四边形的问题，力图综合应用菱形、矩形、正方形的性质和判定定理解决问题。学生容易由图形猜出结论，证明也不困难可以独立完成．
2．以平行四边形的各边中点为顶点的四边形是 ；
以菱形的各边中点为顶点的四边形是 ；
以矩形的各边中点为顶点的四边形是 .
先猜一猜，再证明．
3．思考：以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与原四边形的 线有关系，关系为：新四边形的对边 于所对的 ，且 等于 所对的 一半. （1-3题检测目标3）
处理方式：本题利用类比的方法分别提出了以菱形、矩形以及平行四边形各边中点为顶点所组成图形的问题，教师利用几何画板展示各类图形让学生观察讨论，组织学生猜想、证明，然后引导学生进一步分析、概括得到一个一般性的结论：所有的四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系．
归纳结论：
一般四边形的中点四边形：所有的四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系．
原四边形对角线关系 既不相等也不垂直 相等 垂直 相等且垂直
所得中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形
(评价最高标准：第1-3题答案正确，书写规范每题+4，最高14分)
【学习提示】引导学生画图，分析由中点关联到三角形的中位线，故连接对角线，利用中位线的性质证明新四边形的对边平行且相等.明确决定中点四边形形状的线段，从而根据原四边形对角线的性质判断中点四边形的形状.通过评价任务掌握判定方法，正确说明目标3达成.
【作业与检测】
1．下列说法，不正确的是（ ）（检测目标1）
A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是______________________(只填一个条件即可)．（检测目标1）
3．若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则这个四边形一定是（ ）（检测目标2）
A．矩形 B．对角线互相垂直的四边形
C．菱形 D．对角线相等且互相垂直的四边形
4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ACB的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
求证：四边形CEDF是正方形．（检测目标3）
【学后反思】
1.完善思维导图，梳理本节课学习的知识内容和数学思想方法：
原四边形对角线关系 既不相等也不垂直 相等 垂直 相等且垂直
所得中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形
2.小结自己在学习图形的平移中的注意事项，或需要求助的困惑与分享自己如何学会的经验：
【学习提示】 对本节的学习进行归纳形成知识框架，并从学习经历中反思学会了什么，存在什么问题及掌握了那些解决数学问题的方法.