北师大版 数学七年级上册4.4角的比较 教案

第四章基本平面图形
4.4角的比较
一、教学目标
1．会使用度量法和叠合法比较两个角的大小.
2．理解角的平分线的定义，并能借助角的平分线的定义解决问题.
3．理解两个角的和、差、倍、分的意义，会进行角的运算.
4．培养学生类比联想的思维能力和对知识的迁移能力．
二、教学重点及难点
重点：角的大小比较的方法，角的平分线的定义．
难点：从图形中观察角的和、差关系；角的平分线的几何语言表达及运用．
三、教学准备
PPT课件，纸片，自制的角的模型
四、相关资源
微课《角的比较》；动画《角的比较》；【数学活动】借助三角尺画一些特殊角
【知识点解析】比较角的大小的两种方法【知识点解析】角平分线
五、教学过程
【复习回顾】创设情境，提出问题
画出一个三角形．（如下图所示）
提出问题：（1）比较图中线段AB、BC、CD的长短．
师生活动：回顾线段长短的比较方法．小组交流，得出适当的比较线段长短的方法．
用圆规比较AB、BC、CD三条线段长短，并写出结论：AB＞AC＞BC．
设计意图：通过对线段大小的比较的类比，探究角的大小的比较方法，巩固旧知识，引入新知识．
那么，怎样比较图中∠A、∠B、∠C的大小？
板书2.6角的大小
【新课讲解】合作交流，探索新知
探究一：角的比较
活动1：展示下面角的模型，比较两个角的大小.
问题：回想大家小学大家学过哪些角？（锐角、直角、钝角、平角、周角）谁能说明这些角是怎样判别的吗？
说明：由学生根据小学的知识进行回顾总结，然后教师利用多媒体显示下列内容：
结论：1周角>1平角>钝角>1直角>锐角
目测法：对于大小差别比较大的两个角，我们可以目测法，即直接观察.
设计意图：通过对小学知识的回顾，总结方法，即让学生感受前后知识的联系，形成知识体系，又提升归纳总结的能力.
活动2：展示角的模型：对于下面两个角，如何进行大小比较？
师生活动：小组交流比较方法，学生归纳总结，教师板书，可提醒学生类比线段比较大小的方法进行总结.
度量法：可用量角器先量出角的度数，然后比较它们的大小．
投影展示：度量法
叠合法：
（1）动手操作：每个学生都在透明纸上画一个角，然后剪下这个角，并与小组中其它同学所画的角进行比较后归纳出比较方法和比较结果.
师生活动：通过动手操作，观看多媒体演示角的比较过程．学生分组讨论总结方法，教师巡视，并进行指导．
归纳总结：步骤：（1）将两个角的顶点及一边重合，
（2）两个角的另一边落在重合一边的同侧，
（3）由两个角的另一边的位置确定两个角的大小．
活动3.两个角的大小关系有几种？你能用图形和符号表示吗？
画出图形，并用符号表示（如图），指出两个角的大小关系有且仅有三种情况．
设计意图：采用类比的方法，按照“几何模型——图形——文字——符号”的学习程序，学生动手操作，自主探究．建立线段比较长短与角比较大小之间知识与方法的联系．在对比中加深理解．指出对于两个角的大小关系和两个实数的大小关系一样，有且仅有三种情况：∠A＞∠B，∠A＝∠B，∠A＜∠B，为以后分类研究一些有关角的问题奠定基础．
探究二：认识角的和差．
活动1.图中共有几个角？它们之间有什么关系？
师生活动：小组交流思考的结论．
观察图形，给出图中各角之间的和差关系．
∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，
∠AOB＝∠AOC－∠BOC．
提出问题：∠AOC－∠AOB＝________．
设计意图：以角的大小比较为背景，提出角的加减问题，将知识由角的大小过渡到角的加与减，衔接自然流畅．同时，针对同一图形变换审视角度提出问题，可以提高学生的读图能力．用符号表示角的和差关系，仍遵循“几何模型——图形——文字——符号”的学习过程，在图形与等式之间建立一种关系．从角的大小数量上研究角的加与减，突出反映角的加与减的意义与度数的数量间的关系，加深对角的加与减概念的理解．
活动2.动手操作：用三角板拼出特殊角．
如下图，借助三角尺画出15°、75°的角．用一副三角尺，你还能画出哪些度数的角？试一试！
师生活动：每个学生都用三角板进行尝试拼出15°、75°的角，并讲出其中的理由．
利用一副三角板还能拼出多少度的角？
师生活动：小组交流后说出这些角的度数，各小组之间互相补充．
一副三角尺上的角都是常用的角，它们是30°，45°，60°，90°的角，利用这些角可以很方便地画出与这些角相关的一些特殊角，如15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°等．
设计意图：用一副三角尺画出一些特殊角，除让学生巩固角的和、差概念外，也使学生对这些特殊角的大小有直观的认识，培养学生对角的大小的估计能力和动手操作能力，加深学生对角的认识．
探究三：角的平分线．
活动1.在透明纸上画一个角，沿着顶点对折，使角的两边重合．
师生活动：学生观察老师演示过程，并思考下面问题．（如下图）
∠AOC被折痕OB分成的两个角有什么关系？
师生活动：学生通过角的大小比较的方法，得出这两个角之间的数量关系,
归纳总结：角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．
几何语言表示：因为OB平分∠AOC，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC（或∠AOC=2∠AOB=2∠BOC）.
设计意图：通过折叠进明确角平分线的定义，为后续学习轴对称和研究有关图形的翻折问题打下基础．
活动2.如图，∠AOD的三等分线分别是什么？
OB、OC是∠AOD的三等分线．
设计意图：从角的和差问题中，将射线OB的位置特殊化，并类比线段的中点的概念，不仅知识的产生、发展自然连续，也体现了由一般到特殊，由特殊到一般．同时，也能建立知识间的联系，完善认知结构．
【典型例题】
例1.如下图，O是直线AB上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC的度数．
分析：AB是直线，∠AOB是什么角？它是多少度？∠BOC，∠AOB，∠AOC之间有什么关系？
解：由题意可知，∠AOB是平角，
∠AOB＝∠AOC＋∠BOC，
所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC．
＝180°－53°17′，
＝126°43′．
总结：这里的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60，本题中应借1°，化为60′．
例2．如图所示，用“＝”“＞”或“＜”填空．
（1）∠AOC ∠AOB＋∠BOC；
（2）∠AOC ∠AOB；
（3）∠BOD－∠BOC ∠DOC；
（4）∠AOD ∠AOC＋∠BOD．
解析：（1）（2）（3）由图形中的角的关系易得出，（4）∠AOD＝∠AOC＋∠BOD－∠BOC，根据图中角的和差关系可得，因此∠AOD＜∠AOC＋∠BOD．
答案：（1）＝；（2）＞；（3）＝；（4）＜．
设计意图：通过对角大小的估计，培养学生估计角的大小的能力．用适当方法验证，则可进一步巩固掌握比较角大小的方法．
例3.如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，
（1）若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数；
（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；
（3）猜想∠ACB和∠DCE的大小关系，并说明理由．
答：（1）∵∠ECB＝90°，∠DCE＝35°．
∴∠DCB＝90°－35°＝55°．
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝145°．
（2）∵∠ACB＝140°，∠ACD＝90°．
∴∠DCB＝140°－90°＝50°．
∵∠ECB＝90°，
∴∠DCE＝90°－50°＝40°．
（3）猜想∠ACB＋∠DCE＝180°．
∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°．
∴∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB．
∵∠DCE＝∠ECB－∠DCB＝90°－∠DCB．
∴∠ACB＋∠DCE＝180°．
设计意图：通过观察图形，得出角之间的加与减关系，提高学生对角的加与减意义的认识，从而培养学生的识图能力．
【随堂练习】
1．(1)如图所示，如果∠AOB＝∠COD，那么( C )．
A．∠α＞∠β B．∠α＜∠β
C．∠α＝∠β D．∠α＋∠β＝∠COD
（2）如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是( A )．
A．∠COD＝ B．∠AOD＝
C．∠BOD＝ D．∠BOC＝
（3）如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠BFE＝( B )．
A．70° B．65° C．60° D．50°
（4）如图所示，OB，OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC＝β，则表示∠AOD的代数式是（ A ）．
A．2α－β B．α－β C．α＋β D．以上都不正确
解析：∵∠MON＝α，∠BOC＝β，
∴∠MON－∠BOC＝∠CON＋∠BOM＝α－β，
又∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
∴∠CON＝∠DON，∠AOM＝∠BOM，
由题意得∠AOD＝∠MON＋∠DON＋∠AOM＝∠MON＋∠CON＋∠BOM＝α＋(α－β)＝2α－β．
2．如图，将一副三角尺折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB＝__________．180°．
3．如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，
且∠AOC＝130°，求∠DOE的度数．
解：∵OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，
∴∠DOB＝∠AOB，
∠EOB＝∠BOC.
∵∠DOE＝∠DOB＋∠EOB，
∴∠DOE＝∠AOB＋∠BOC
＝ (∠AOB＋∠BOC)
＝∠AOC
＝×130°＝65°．
六、课堂小结
师：通过本节课的学习，你学到哪些知识？有何体会
生：描述出自己的认识与收获，并作进一步归纳总结．
师生共同反思：
1．角的比较的方法．
2．角的和与差
3．角平分线
设计意图： 设计本环节的目的是让学生准确全面的表述自己的观点，培养及时归纳知识的习惯，课堂上，学生发言非常积极，而且能够准确全面的表述.
七、板书设计