北师大版数学七年级上册5.6应用一元一次方程——追赶小明 教案

第五章一元一次方程
5.6应用一元一次方程——追赶小明
一、教学目标
1.借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题．
2.使学生进一步领会采用代数方法解应用题的优越性．
3.培养学生实事求是的态度及与人合作交流的能力，逐步树立克服困难的信心、意志力，培养学生学习数学的热情和良好的人格品质．
二、教学重点及难点
重点：找等量关系，列出方程，解决实际问题．
难点：确定方程时找等量关系．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
微课《列一元一次方程解决“行程问题”》，动画《追及问题》等
五、教学过程
【问题情境】情境引入
小明每天早上要在7：50之前赶到距家1 000米的学校上学．一天，小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的妈妈发现他忘了带语文书．于是妈妈以180米/分钟的速度去追小明．
问题1：妈妈能追上小明吗？
问题2：妈妈追上小明用了多长时间？
问题3：追上小明时，距离学校还有多远？
请让我们一起学习本节，解决这些疑惑．
师生活动：出示主题故事时，问题1、2、3事先没有直接给出，而是先问学生听到这个故事后想知道什么．绝大部分学生会关注爸爸能不能追上小明、妈妈追上小明用了多长时间、在距离学校多远的地方追上小明等等．根据学生关注点提供质疑的时机，唤起学生“主角”意识．
设计意图：让学生感受生活中我们常常会遇到类似的问题，从学生熟悉的生活经历出发，选择学生身边的、感兴趣的“追赶小明”这一事件，激发学生的好奇心，进而轻松地引入本节所要探讨的主要问题，便于引起每位同学的兴趣．
【新知讲解】
探究一：追赶问题
1．这是行程问题中的追赶问题，我们请两位同学分别扮演小明和妈妈来演示一下追赶的过程．
设计意图：列方程解一些实际问题的过程是一个数学建模的过程，及时鼓励学生通过亲身体验、观察、分析找出其中的等量关系，并尝试用文字语言表述出来，通过画线段图让学生明白了数形结合的好处，教学中可以适当对文字语言、图形语言、符号语言的互相转换加以渗透，既提高了学生的语言表达能力，又培养学生对三种语言进行转换的能力．
2．根据刚才的演示，你发现了哪些等量关系？
（1）妈妈要追上小明，妈妈的速度与小明的速度关系怎样？
（2）妈妈从家出发到追上小明时，两人所用的时间有何关系？
（3）两人所行的总路程有何关系？
3．如下图，你能用简单的“线段图”表示演示的追赶过程吗？
4．路程、速度和时间三者之间有何关系呢？“线段图”反映了怎样的等量关系？
解：（1）设妈妈追上小明用了x分钟．
根据题意，得80×5＋80x＝180x．
解得x＝4．
因此，妈妈追上小明用了4分钟．
（2）因为180×4＝720（米），
1 000－720＝280（米）．
所以，追上小明时，距离学校还有280米．
设计意图：在学生亲身体验追赶过程的基础上，比较容易画出“线段图”，可以让他们独立完成，教师可以适当帮助一些有问题的学生．充分利用生活实践自己去提出问题并解决问题，这样更有利于扩展学生的思考空间，亲身体会数学变式问题的趣味性，感受到数学的实用性．三种语言的转换在教师点拨引导、学生探究分析过程中自然渗透、自然转换，让学生体会各种表达方式的优越性．另外，求爸爸追上小明时离学校还有多远，由于学生的思路不同，学生的解决方法就不同，有“总路程减去小明走过的路程＝剩余路程”，即1 000－80×（4＋5）＝280（米），也有“总路程减去爸爸走过的路程＝剩余路程”，即1 000－180×4＝280（米），出现这些不同的见解，教师就因势利导，培养学生的思维的灵活性，拓宽学生思路．
探究二：拓展提升
拓展1：如果妈妈要赶在小明进校门之前把书送到，那么小明妈妈的速度最少应为多少？
师生活动：学生了解题意，画出线段图，建议教师让学生板演“线段图”，通过展示不同学生的“线段图”进行比较、分析，取长补短，让学生去体会怎样画“线段图”等量关系表示的更清楚，同时，提示学生体会提出的问题，边解决问题，边在图上标注一些相关的点，为了说明方便，也可借助字母表示点，这样经过再次补充，充实自己的线段图，结合线段图找出等量关系，同时丰富了画“线段图”的体验及画图技巧．
解：如图，
设小明妈妈的速度最少应为x米/分钟．
根据题意，得x＝1 000．
化简，得7.5x＝1 000．x＝．
因此，小明妈妈的速度最少应为米/分钟．
设计意图：改变引例情境，学生通过展开讨论，动手画出线段图，在进行图形语言、符号语言与文字语言的相互转化中，理解题中的等量关系，不同的思路就会出现等量关系的不同表现形式，从而列出不同的式子．两个拓展题目有利于培养学生思维的灵活性，凸显“线段图”的直观演示，是建立方程的有利工具．
拓展2：若当小明到校后发现忘带英语书，打电话通知妈妈送来．妈妈立即以180米/分钟的速度从家出发，同时小明以100米/分钟的速度从学校返回，两人几分钟后相遇？
师生活动：情境由追击变成了相遇，解决这个问题时，有的同学一下找不着思路．教学时让学生亲身体验相遇过程，同时把这个问题分解成几个小问题，边引导边提问，逐一解决，降低难度，帮助学生理出思路，解决问题．
解：如图，
设两人x分钟后相遇．
根据题意，得180x＋100x＝1 000．
化简，得280x＝1 000．x＝．
因此，两人分钟后相遇．
设计意图：及时引导学生借助“线段图”对追击问题和相遇问题的基本等量关系进行总结．
【典型例题】
例1.A，B两站相距300千米，一列快车从A站开出，行驶速度是每小时60千米，一列慢车从B站开出，行驶速度是每小时40千米，问：
（1）两车同时开出，相向而行，几小时后相遇？
（2）快车先开15分钟，两车相向而行，快车开出几小时后两车相遇？
（3）两车同时同向开出，慢车在前，出发后多长时间快车追上慢车？
（4）慢车先开30分钟，两车同向而行，慢车在前，快车出发后多长时间追上慢车？此时慢车行驶了多少千米？
分析：（1）（2）两问都属于相遇问题；（3）（4）两问属于追及问题．可借助线段图分析，找出等量关系列方程．如图所示．
解：（1）设两车行驶x小时后相遇．
依题意得60x＋40x＝300，
解得x＝3．
所以两车同时开出3小时后相遇．
（2）设快车开出x小时后两车相遇，则慢车行驶了小时．
依题意得60x＋40＝300，
解得x＝3.1．
所以快车开出3.1小时后两车相遇．
（3）设两车出发x小时后快车追上慢车．
依题意，得60x＝300＋40x．
解得x＝15．
所以两车出发15小时后快车追上慢车．
（4）设快车出发x小时后追上慢车．
依题意，得60x＝300＋40×＋40x，
解得x＝16．
40×＋40x＝20＋40×16＝660（千米）．
所以快车出发16小时后追上慢车，此时慢车行驶了660千米．
例2．A、B两地相距112千米，甲、乙两人驾车同时从A、B两地相向而行，甲比乙每小时多行4千米，经过两小时后两人相遇，求甲、乙两人每小时各行多少千米？
分析：甲速＝乙速＋4．甲行程＋乙行程＝A、B两地距离112千米．
解：设乙每小时行x千米，则甲每小时行（x＋4）千米，
根据题意，得2（x＋4）＋2x＝112，
解这个方程，得x＝26．
当x＝26时，x＋4＝30．
答：甲每小时行30千米，乙每小时行26千米．
例3．甲、乙两车自南向北行驶，甲车的速度是每小时48千米，乙车的速度是每小时72千米，甲车开出25分钟后，乙车开出，问几小时后乙车追上甲车？
解：设x小时后乙车追上甲车，
根据题意，得48＝72x，
解这个方程，得x＝．
答：小时后，乙车追上甲车．
例4．小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米．
（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？
（2）如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面的10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明能追上小彬？
分析：第（1）问是相遇问题．等量关系是：小彬行程＋小明行程＝两人间距离100米．
第（2）问是追及问题．等量关系是：小明行程＝小彬行程＋两人间的距离10米．
解：（1）设x秒后两人相遇．
根据题意，得4x＋6x＝100，
解这个方程，得x＝10．
答：10秒后两人相遇．
（2）设x秒后小明能追上小彬．
根据题意，得6x＝4x＋10，
解这个方程，得x＝5．
答：小明5秒后追上小彬．
设计意图：在行程问题中，画线段图，利用线段间的和差关系，可以帮助我们分析题意，找出题目中的等量关系．
【随堂练习】
1.（1）某人上山的速度为v，后又沿原路下山，速度是上山时速度的2倍，那么这个人上、下山的平均速度是（C）．
A． B． C． D．
（2）某船顺流航行的速度为20 km/h，逆流航行的速度为16 km/h，则水流速度为（单位：km/h）（A）．
A．2 B．4 C．18 D．36
（3）一个旅客乘坐火车甲，他看见迎面来了一列火车乙从他身边驶过，当火车乙完全从他身边离开时则有（B）．
A．甲、乙火车所走路程之和＝甲车车身长
B．甲、乙火车所走路程之和＝乙车车身长
C．甲、乙火车所走路程之和＝甲、乙两车车身之和
D．甲、乙火车所走路程之和＝甲、乙两车车身之差
2．甲、乙两同学从学校去县城，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米，甲先出发1小时，结果乙还比甲早到1小时，若设学校距县城为x千米，则根据题意列方程
得__________．
3．A，B两站相距300千米，一列快车从A站开出，行驶速度是每小时60千米，一列慢车从B站开出，行驶速度是每小时40千米，问：
（1）两车同时开出，相向而行，几小时后相遇？
（2）慢车先开30分钟，两车同向而行，慢车在前，快车出发后多长时间追上慢车？此时慢车行驶了多少千米？
解：（1）设两车行驶x小时后相遇，
依题意，得60x＋40x＝300，
解得x＝3，
答：两车同时开出3小时后相遇．
（2）设快车出发x小时后追上慢车，
依题意，得，
解得x＝16．
所以40×＋40x＝20＋40×16＝660（千米）．
答：快车出发16小时后追上慢车，此时慢车行驶了660千米．
六、课堂小结
学生们思考总结这节课的收获，从知识与方法两方面去概括．
1．要借助“线段图”分析，寻找数量关系．
2．注意抓住其中不变的量．
3．对于复杂的数学问题的分析，借助“线段图”比较容易理解，借助方程更易求解．同时，要养成认真、细致的良好习惯．
七、板书设计
(
5.6应用一元一次方程——追赶小明
一、等量关系：
二、典型例题：
)