3.3《整式》示范教案 数学北师大版 七年级上册

第三章整式及其加减
3.3整式
一、教学目标
1．经历分类过程，理解整式、单项式、多项式的有关概念，会求单项式的系数、次数，多项式的项及其次数；
2．能区分单项式、多项式及整式的联系与区别；
3．进一步发展观察、归纳、分类等能力，发展有条理的思考及语言表达能力．
二、教学重点及难点
重点：单项式，多项式，整式，单项式的系数、次数，多项式的项数、次数等概念．
难点：对多项式概念的理解和应用．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
微课，知识卡片
五、教学过程
【复习巩固】复习回顾，引入新课
1．代数式的定义：
2．（1）原价为a元的书包，现按8折出售，则售价为 元.
（2）甲、乙两人一起在体育场锻炼，体育场跑道每圈400米，甲跑了m圈，乙跑了n 圈．甲乙两人共跑了 米.
（3）某种苹果的单价是x元/kg（x＜10），用50元买5kg这种苹果，应找回 元.
投影展示，学生回答.
师生活动：教师提出问题，学生回答．
小结：用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来，更适合一般规律的表达．
设计意图：复习上节课内容，不但巩固旧知，而且为本节课的新知识做铺垫．
【新知讲解】合作交流，探究新知
探究一：单项式定义
活动1.做一做：
（1）如图，一个十字形花坛铺满了草皮，这个花坛草地面积是多少？
（2）当水结冰时，其体积大约会比原来增加，x m3的水结成冰后体积是多少？
（3）如图，一个长方体的箱子紧靠墙角，它的长、宽、高分别是a，b，c．这个箱子露在外面的表面积是多少？
（4）某件商品的成本价为a元，按成本价提高15%后标价，又以8折（即按标价的80%）销售，这件商品的售价是多少元？
师生活动：教师聆听，关注学生回答．
小结：（1）ab－4c2；（2）x m3；（3）ac＋bc＋ab；（4）0.8(1＋15%)a．
活动2．x，0.8(1＋15%)a，这些式子有什么特点？
师生活动：学生认真观察剖析每个式子，寻找共同特征，并用语言表达出来．教师鼓励学生大胆说出猜想，引导学生总结单项式的定义．
小结：这些式子都是数或字母的积．
单项式：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式．单独一个数或一个字母也是单项式．
系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数(包括数字前面的符号)．
次数：单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
活动3.（1）并指出下面五个单项式，x，0.8(1＋15%)a，－n，5的系数和次数．
师生活动：让学生交流、讨论，然后师生一起归纳单项式的系数和次数的定义．教师强调常数项的次数是0．
，x，0.8(1＋15%)a，－n，5的系数分别是：，，0.8(1＋15%)，－1，5．（常数的系数？）
，x，0.8(1＋15%)a，－n，5的次数分别是：2，1，1，1，0．
设计意图：通过学生的观察、对比、讨论等一系列的活动，使学生对单项式、单项式的系数和次数等概念由感性认识上升到理性的认识，体会数学活动充满探索性．
（2）的系数和次数分别是什么？单项式，3a÷4这样书写正确吗？
师生活动：每个小组选出发言人，进行回答．可以对不认同的观点进行组之间的辩驳．教师应关注学生对不同单项式的特点的认识，对单项式系数、次数概念的掌握程度．师生一起总结：①数字的次数仍属于系数，字母的次数归为次数；②带分数要化成假分数，避免误会为乘法；③除以一个数，要写成乘以它的倒数．
小结：的系数和次数分别是－4，6；单项式，3a÷4这样书写不正确，应写成，．
探究二：多项式定义
活动1.观察ab－4c2，ac＋bc＋ab，这些式子有什么特点？
师生活动：由学生小组合作交流，教师肯定每一位学生说出的特点．如果学生仍然有困难，教师给予提示：
（1）上面的式子是单项式吗？
（2）这些式子与单项式有联系吗？
小结：这些式子都可以看作几个单项式的和．例如，ab－4c2可以看作单项式ab与－4c2的和；ac＋bc＋ab可以看作单项式ac，bc与ab的和．
设计意图：以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对新知识产生好奇，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望．
活动2.尝试解决下列问题．
（1）什么叫多项式？什么叫多项式的项和次数？多项式x2＋2x＋18是几次几项式？
几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．其中不含字母的项，叫做常数项．一个多项式含有几项，就叫几项式．
多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数．
x2＋2x＋18是二次三项式．
（2）下列多项式的项和次数分别是什么？
v＋2.5，3x＋5y＋2z，．
小结：v＋2.5的项分别是v，2.5，次数是1；3x＋5y＋2z的项分别是3x，5y，2z，次数是1；的项分别是，，次数是2．
（3）你认为确定多项式的项、次数时应注意什么？
注意：①多项式的项应包括该项的符号；②多项式的次数为最高次项的次数；③常数项是多项式中的特殊项，确定多项式项数时不要漏掉．
（4）什么叫整式？下列式子哪些是整式？
①－x；②x＋1；③；④－3；⑤．
单项式与多项式统称整式．①②③④是整式．
师生活动：让学生独立解决相关问题．教师进行巡视，关注学困生；板书多项式、整式有关概念，强调：（1）多项式的项应包括该项的符号；（2）多项式的次数为最高次项的次数；（3）常数项是多项式中的特殊项，确定多项式项数时不要漏掉．
设计意图：由浅入深，使学生透彻理解多项式的有关概念，培养他们应用新知识解决问题的能力．
【典型例题】
例1.判断下列说法是否正确．
(1)－7xy2的系数是7；错
(2)－x2y3和x3都没有系数；错
(3)－ab3c2的次数是0＋3＋2；错
(4)－a3的系数是－1；正确
(5)－32x2y3的次数是7；错
(6)πr2h的系数是π.正确
例2.　如图所示，用式子表示圆环的面积．当R＝15 cm，r＝10 cm时，求圆环的面积（π取3.14）．
师生活动：学生尝试独立完成，全班交流．教师强调解题的书写格式以及引导学生理解求式子的值的真正含义．
解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环的面积，所以圆环的面积是R2－r2．
当R＝15 cm，r＝10 cm时，圆环的面积（单位：cm2）是：
R2－r2＝3.14×152－3.14×102＝392.5，
这个圆环的面积是392.5 cm2．
设计意图：巩固多项式的概念，同时为学生创造用多项式表示实际问题中的数量关系的机会，培养学生的列式能力，同时使学生体会到数学来源于生活，应用于生活的价值美．
例3. 　如果多项式是关于x的二次二项式，试求m，n的值．
解：因为多项式是关于x的二次二项式，
所以m－2＝2，n－1＝0．
解得：m＝4，n＝1．
答：m，n的值为m＝4，n＝1．
设计意图：在学生掌握基本概念的基础上，进一步学会应用知识．通过设置一定难度的题目，激发学生的求知欲，提高学生分析问题、解决问题的能力．
例4．已知多项式－x2ym＋1＋xy2－3x3－6是六次四项式，单项式6xmy5-nz的次数与这个多项式的次数相同，求n的数值．
解法一：根据题意，得2＋m＋1＝6，所以m＝3.又m＋5－n＋1＝6，即3＋5－n＋1＝6，故n＝3．
解法二：由已知，得2＋m＋1＝m＋5－n＋1，解得n＝3．
【随堂练习】
1．（1）代数式，3x－y2，23x2y，a，πx＋y，，x+1中_______是单项式，_______是多项式．
分析：要紧扣定义，抓住特征．
答案：，23x2y，a，； 3x－y2，πx＋y，x＋1．
（2）若多项式5－(m＋1)a2＋2an-4是关于a的三次二项式，则m－n＝__________．-8
（3）多项式－m2n2＋m3－2n－3是________次________项式，最高次项的系数
为________，常数项是________．4、4、-1、-3.
2．（1）下面说法中，正确的是（ ）．
A．x的系数为0 B．x的次数为0
C．的系数为1 D．的次数为1
分析：本题考查单项式的次数和系数，x的次数是省略了1．
答案：D．
（2）项式ab2＋25的次数和项数分别为（ ）．
A．次数为5，项数为2 B．次数为3，项数为2
C．次数为5，项数为1 D．次数为3，项数为3
分析：多项式的次数指的是最高次项的次数，但是不包括常数项．
答案：B．
3．小红和小兰房间窗户的装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径分别相同）．
（1）窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少？（窗框面积忽略不计）哪个房间的采光效果好？
（2）上面的整式是单项式还是多项式？它们的次数分别是多少？
解：（1）小红房间窗户中能射进阳光的部分的面积是．
小兰房间窗户中能射进阳光的部分的面积是．
所以，小兰房间的采光效果比较好．
（2）与都是多项式，它们的次数都是2．
4．如图所示，从一块直径为a＋b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积为_____________．
分析：根据题意，挖去的圆的面积分别是π(0.5a)2，π(0.5b)2，则剩下的纸板的面积是π(0.5a＋0.5b)2－π(0.5a)2－π(0.5b)2．
答案：π(0.5a＋0.5b)2－π(0.5a)2－π(0.5b)2．
设计意图：通过练习进一步加深学生对整式的理解，让学生独立完成，检测本节课学习情况，反馈教学，内化知识．
六、课堂小结
1．单项式的定义、系数的定义、次数的定义
2．多项式的定义、多项式的项和次数的定义
3．注意：①多项式的项是应包括该项的符号；②多项式的次数为最高次项的次数；③常数项是多项式中的特殊项，确定多项式项数时不要漏掉．
4．整式的定义：
设计意图：通过小结使学生对本节知识有一个系统的认识．
七、随堂练习
第三章整式及其加减
整式
一、单项式及其有关定义：
二、多项式及其有关定义
三、整式定义
四、练习