2023版新教材高中数学单元素养测评卷一 第六章 平面向量及其应用（含解析）

单元素养测评卷(一)
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题正确的是(　　)
A.若a，b都是单位向量，则a＝b
B.若向量a∥b，b∥c，则a∥c
C.与非零向量a共线的单位向量是唯一的
D.已知λ，μ为非零实数，若λa＝μb，则a与b共线
2．下列等式中一定成立的是(　　)
A.＋＝ B．－＝
C.＋＝0 D．＋＋＝0
3．在△ABC中，若c2＝a2＋b2＋ab，则∠C＝(　　)
A.60° B．120°
C.135° D．150°
4．已知点A(1，2)，B(3，2)，C(3，4)，则向量在方向上的投影向量为(　　)
A.(，) B．(1，1)C.(2，2) D．(，)
5．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶12∶13，则△ABC是(　　)
A.钝角三角形 B．直角三角形
C.等边三角形 D．等腰直角三角形
6．如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O，则＝(　　)
A.＝－
B.＝－
C.＝－
D.＝－
7．在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝(a，cos )，n＝(b，cos )，p＝(c，cos )共线，则△ABC形状为(　　)
A.等边三角形 B．等腰三角形
C.直角三角形 D．等腰直角三角形
8．如图，O是△ABC的重心，D是边BC上一点，且＝3，＝λ＋μ，则＝(　　)
A.－ B．－C. D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．
9．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，3)，则(　　)
A.a·b＝4
B．(a＋b)2＝
C.(a＋b)·(a－b)＝－8
D．(a－b)2＝10
10．已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则(　　)
A.a∥b
B．a与b垂直
C.a与a－b的夹角为
D．|a－b|＝1
11．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，下列说法正确的是(　　)
A.若A为锐角，则b2＋c2>a2
B.若A为锐角，则b＋c2C.若sin A>sin B，则A>B
D.若sin A>sin B，则A与B大小不能确定
12．在△ABC中，下列正确的是(　　)
A.若·<0，则△ABC为钝角三角形
B.若＝，则△ABC为直角三角形
C.若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形
D.已知＋＋＝0，且＝||＝||，则△ABC为等边三角形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设向量a＝(m＋1，m－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，1)，若(2a＋b)⊥c，则实数m＝________．
14．已知|a|＝，|b|＝1，a·(a－b)＝1，则向量a与向量b的夹角为________．
15．如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是边BC上一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB＝________．
16．在△ABC中，AB＝AC＝，＝2，2＝，·＝，则BC＝________，若点P在线段CF上，则·的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题10分)已知a＝(1，0)，b＝(2，1).
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
18．(本小题12分)设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2b－a)cos C＝c cos A．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2，且________，求△ABC的周长．
请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答．
①△ABC的面积为；②·＝；③sin A sin B＝.
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分．
19．(本小题12分)已知四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ADC＝90°，AB＝2，BD＝2，DC＝4.
(1)求sin ∠ADB；
(2)求BC.
20．(本小题12分)已知向量a＝(，1)，a·b＝4.
(1)当|b|＝4时，求；
(2)求|b|的最小值，并求此时向量a，b的夹角大小．
21.(本小题12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c－b＝a cos B－b cos A．
(1)求A；
(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．
22．(本小题12分)为迎接冬奥会，石家庄准备进行城市绿化升级，在矩形街心广场ABCD中，如图，其中AB＝400 m，BC＝300 m，现将在其内部挖掘一个三角形空地DPQ进行盆景造型设计，其中点P在BC边上，点Q在AB边上，要求∠PDQ＝.
(1)若AQ＝CP＝100 m，判断△DPQ是否符合要求，并说明理由；
(2)设∠CDP＝θ，写出△DPQ的面积S关于θ的表达式，并求S的最小值．
单元素养测评卷(一)
1．答案：D
解析：单位向量的方向不一定相同，故A错误；当b＝0时，显然a与c不一定平行，故B错误；非零向量a共线的单位向量有±，故C错误；由共线定理可知，若存在非零实数λ，μ，使得λa＝μb，则a与b共线，故D正确．故选D.
2．答案：D
解析：＝－，则＋＝不一定成立．选项A判断错误；－＝.选项B判断错误；＋＝0.选项C判断错误；＋＋＝＋＝0.选项D判断正确．故选D.
3．答案：B
解析：由c2＝a2＋b2＋ab，得a2＋b2－c2＝－ab，cos C＝＝＝－，由于0°4．答案：B
解析：＝(2，0)，＝(2，2)，则向量在方向上的投影向量为·＝·＝(1，1)，故选B.
5．答案：B
解析：由正弦定理可得a∶b∶c＝5∶12∶13，令a＝5t，b＝12t，c＝13t，则c为最长的边，故角C最大，
由余弦定理可得cos C＝＝0，所以角C为直角．
故△ABC是直角三角形．故选B.
6．答案：A
解析：设＝x，
则＝x＝x＝2x＋x，
因为O，D，M三点共线，
所以2x＋x＝1，解得x＝，
则＝x＝＋，
所以＝＋＝－－＋＝－.
故选A.
7．答案：A
解析：∵向量m＝(a，cos )，n＝(b，cos )共线，
∴a cos ＝b cos .
由正弦定理得：sin A cos ＝sin B cos .
∴2sin cos cos ＝2sin cos cos .
∵0<<，0<<，
所以cos ≠0，cos ≠0，
则sin ＝sin .
∴＝，即A＝B.
同理由n＝，p＝共线，可得B＝C.
∴△ABC形状为等边三角形．
故选A.
8．答案：A
解析：如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心，
则点E为BC的中点，且＝2，＝(＋).
由＝3，得D是BC的四等分点，
则＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－＋，所以λ＝－，μ＝，所以＝－.
故选A.
9．答案：ACD
解析：因为a·b＝－1×2＋2×3＝4，故A正确；因为a＋b＝(1，5)，a－b＝(－3，－1)，所以(a＋b)2＝26，(a－b)2＝10，故B错误，D正确；(a＋b)·(a－b)＝－8，故C正确．
故选ACD.
10．答案：BC
解析：因为a＋b＝(1，－1)，
所以＝＝，a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，
2＝a2＋b2＋2a·b＝2，
所以a·b＝0，所以a⊥b，故B正确，A错误；
＝＝＝＝，
因为a·(a－b)＝a2－a·b＝1，
所以cos 〈a，a－b〉＝＝＝，
所以a与a－b的夹角为，故C正确，D错误．
故选BC.
11．答案：AC
解析：对AB，A为锐角，cos A>0，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A对CD，A，B∈，sin A>sin B>0，由正弦定理得＝，故＝<1，故b12．答案：BCD
解析：对A，·<0即·>0，即||·||·cos A>0，可得cos A>0，不能证明△ABC为钝角三角形，故A错误；
对B，|＋|＝|－|即2＋2＋2·＝2＋2－2·，
解得·＝0，故∠A＝90°，故B正确；
对C，若(＋)·(－)＝0，则2－2＝0，故||＝||，故△ABC为等腰三角形，故C正确；
对D，因为＋＋＝0，故|＋|2＝|－|2，即||2＋||2＋2·＝||2，又||＝||＝||，
所以||2＋2||·||cos ∠AOB＝0，故cos ∠AOB＝－，故∠AOB＝120°，同理∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°，结合||＝||＝||可得||＝||＝||，故△ABC为等边三角形，故D正确．
故选BCD.
13．答案：3
解析：因为a＝(m＋1，m－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，1)，所以2a＋b＝(2m＋1，3m－2)，
又(2a＋b)⊥c，故(2a＋b)·c＝0，即－(2m＋1)＋(3m－2)＝0，解得m＝3.
14．答案：
解析：设向量a与向量b的夹角为θ，
因为|a|＝，|b|＝1，a·(a－b)＝1，
所以a2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝2－cos θ＝1，
得cos θ＝，
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
15．答案：5
解析：由题，在△ADC中，cos C＝＝＝，
所以sin C＝＝，
在△ABC中，＝，即＝，所以AB＝5.
16．答案：　
解析：由题，因为＝2，所以＝2，
又2＝，则＝，
因为＝＋＝＋，＝－＝2－，
则·＝(＋)·(2－)＝22－2＋·＝，
因为AB＝AC＝，则2×()2－()2＋·＝，所以·＝，
所以BC＝||＝＝＝；
因为点P在线段CF上，所以设＝λ，λ∈[0，1]，
因为＝＋＝＋λ＝＋λ，
所以·＝(＋λ)·(－)＝2＋(λ－1)·－λ2＝－λ＋，
所以当λ＝0时，·的最大值为.
17．解析：(1)由a＝(1，0)，b＝(2，1)，可得ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)，
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，解得k＝－.
(2)因为A，B，C三点共线，所以＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，所以，解得m＝.
18．解析：(1)因为(2b－a)cos C＝c cos A，
由正弦定理可得(2sin B－sin A)cos C＝sin C cos A，
所以2sin B cos C＝sin (A＋C)＝sin B，
在△ABC中，sin B>0，
所以cos C＝，因为C∈(0，π)，
所以C＝.
(2)若选①，因为△ABC的面积为，
所以ab sin C＝ab sin ＝ab＝，
所以ab＝.
若选②，因为·＝，
所以ab cos C＝ab cos ＝ab＝，
所以ab＝.
若选③，由正弦定理＝＝＝＝4，
所以sin A＝，sin B＝，
因为sin A sin B＝.
所以ab＝，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos 60°＝a2＋b2－ab，
即(a＋b)2－3ab＝12，
所以(a＋b)2＝16，则a＋b＝4或a＋b＝－4(舍去)，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋2.
19．解析：(1)在△ABD中，由正弦定理可知＝，
即＝，解得sin ∠ADB＝.
(2)由∠ADC＝90°，故cos ∠BDC＝cos (90°－∠ADB)＝sin ∠ADB＝，
在△CBD中，由余弦定理得BC2＝DC2＋BD2－2DC·BD cos ∠BDC，
即BC2＝(4)2＋(2)2－2×4×2×＝48，
所以BC＝4.
20．解析：(1)因为a＝(，1) |a|＝＝2.
因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋8＋16＝28，
所以|a＋b|＝2.
(2)解法1：设〈a，b〉＝θ，
因为a·b＝4>0，
所以θ∈，
由a·b＝|a||b|cos θ＝4 |b|＝＝≥2，
当且仅当cos θ＝1即θ＝0时取等；
所以|b|最小值为2，此时a，b夹角大小为0.
解法2：设b＝(x，y)，
由a·b＝4 x＋y＝4，
所以|b|＝＝
＝＝ ；
故当x＝，y＝1时|b|最小值为2，
此时cos 〈a，b〉＝＝1 〈a，b〉＝0.
21．解析：(1)∵c－b＝a cos B－b cos A，∴sin C－sin B＝sin A cos B－sin B cos A，
则sin A cos B＋sin B cos A－sin B＝sin A cos B－sin B cos A，
即2sin B cos A＝sin B.
因为sin B≠0，所以cos A＝，
又∵0(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即16＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
所以bc≤16，当且仅当b＝c＝4时，等号成立．
S△ABC＝bc sin A＝bc≤4，
故△ABC面积的最大值为4.
22．解析：(1)由题意，某城市有一矩形街心广场ABCD，其中AB＝4百米，BC＝3百米，
现将在其内部挖掘一个三角形水池DPQ进行盆景造型设计，
其中点P在BC边上，点Q在AB边上，要求∠PDQ＝因为AQ＝CP＝1百米，
可得BQ＝3百米，BP＝2百米，
所以PQ＝百米，DQ＝百米，DP＝百米，
在△DPQ中，
可得cos ∠PDQ＝＝≠＝cos ，所以∠PDQ≠，
所以△PDQ不符合要求．
(2)因为∠CDP＝θ且∠PDQ＝，可得∠ADQ＝－θ，
所以DP＝，DQ＝，
所以△DPQ的面积为：S＝DP·DQ·sin ＝××＝，
又因为cos θcos (－θ)＝cos θ(cos θ＋sin θ)＝cos2θ＋sinθcos θ＝·＋sin 2θ＝＋sin (2θ＋)≤＋，
所以S≥240 000－360 000，即S的最小值120 000·(2－) m2.