2023版新教材高中数学单元素养测评卷五 第十章 概率（含解析）

单元素养测评卷(五)
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验，发现正面朝上出现了480次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　　)
A．0.48，0.48 B．0.5，0.5
C．0.48，0.5 D．0.5，0.48
2．下列事件中，是随机事件的是(　　)
①经过有交通信号灯的路口，刚好是红灯
②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14
③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上
④13个人中至少有2个人的生日在同一个月
A．①③B．③④C．①④D．②③
3．下列叙述正确的是(　　)
A．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．若事件A发生的概率为P，则0≤P≤1
C．频率是稳定的，概率是随机的
D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
4．设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是(　　)
A．事件A B，则P(A)＜P(B) B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 D．P(A)＋P(B)≤1
5．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，则两次摸到球的颜色不同的概率是(　　)
A．B．C．D．
6．甲、乙两人独立破译一份密码文件，已知甲、乙能破译的概率分别是，，则甲、乙恰有一人成功破译这份文件的概率是(　　)
A．B．C．D．
7．在下列各事件中，发生的可能性最大的为(　　)
A．投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．投掷1个质地均匀的骰子，点数是2
C．有100张彩票，其中1张是中奖彩票，从中随机买1张是中奖彩票
D．一袋中装有大小和质地相同的30个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球
8．同时投掷两个质地均匀的骰子，两个骰子的点数至少有一个是偶数的概率为(　　)
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题中正确的有(　　)
A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此，出现正面的概率是
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现在胃溃疡的病人服用此药，则有明显疗效的可能性为76%
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是
10．袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球.甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则(　　)
A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．甲与乙独立 D．甲与乙对立
11．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，则(　　)
A．他只属于音乐小组的概率为
B．他只属于英语小组的概率为
C．他属于至少2个小组的概率为
D．他属于不超过2个小组的概率为
12．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是(　　)
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球不都是红球的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知A，B是相互独立事件，且P＝0.3，P＝0.6，则P＝________．
14．我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”．古人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论，随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是________．
15．某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱中共有四种不同颜色且形状大小完全相同的小球16个，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项．其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖，从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为，小华同学获得一次摸奖机会，则求他不能中奖的概率是________．
16．甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲射击击中靶子的概率为0.6，乙射击击中靶子概率为0.8，则“恰好有一人击中靶子”的概率为________；“至少有一个人击中靶子”的概率为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题10分)某射击手在同一条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心频率
(1)求出表中击中靶心的各个频率值；
(2)这个射击手射击一次，击中靶心的概率可估计为多少？
18．(本小题12分)某商场搞活动，只要购物达到300元以上的消费者就可以参加一次抽奖活动，抽奖活动有两种游戏供消费者选择．两种游戏规则如下：
游戏1 游戏2
袋子中球的数量和颜色 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球
取球规则 依次不放回取2个球
获奖规则 两个球同色获奖；否则，无奖
(1)游戏2中依次取出2个球一共有多少种结果，并用适当的符号表示这些结果；
(2)如果你是消费者你会选择哪一种抽奖游戏，说明你的理由．
19．(本小题12分)某数学学习小组有男同学3名(记为a1，a2，a3)，女同学2名(记为b1，b2).现从中随机选出2名同学去参加学校组织的数学竞赛(每人被选到的可能性相同).
(1)求参赛学生中恰为1名男同学和1名女同学的概率；
(2)求参赛学生中至少有1名女同学的概率．
20．(本小题12分)高一(5)班计划从5名学生中选出3名学生参加学校的围棋比赛，已知这5名学生中有3名男生和2名女生．
(1)求参加比赛的学生中恰有2名男生的概率；
(2)选出的三人中有甲同学，甲同学需要进行四场比赛，甲同学第i场比赛胜出的概率分别为，，，，且每场比赛相互独立．求甲同学至少胜出1场的概率．
21．(本小题12分)某社区举办环保知识有奖问答比赛，某场比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道问题，已知甲回答正确的概率是，甲、丙都回答错误的概率是，乙、丙都回答正确的概率是.假设他们是否回答正确互不影响．
(1)分别求乙、丙回答正确的概率；
(2)求甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确的概率．
22．(本小题12分)女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第五局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并至少领先对方2分为胜．在比赛中，每一个回合，赢球的一方可得1分，并获得下一球的发球权，输球的一方不得分．现有甲乙两队进行排球比赛．
(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局．接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
(2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局(第五局)中，两队当前的得分均为14分，且甲已获得下一发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为.求甲队在4个球以内(含4个球)赢得整场比赛的概率．
单元素养测评卷(五)
1．答案：C
解析：由频率的定义，正面朝上的频率＝＝0.48；
正面朝上的概率是抛硬币试验的固有属性，为0.5，与试验次数无关．
故选C.
2．答案：A
解析：由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件；
对于②，骰子最大的点数为6，2颗骰子的点数之和不可能为14，故②是不可能事件；
对于④，每年有12个月，13个人中至少有2个人的生日在同一个月，故④是必然事件．
故选A.
3．答案：B
解析：对于A，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，即A错误；
对于B，事件A发生的概率为P，则0≤P≤1，即B正确；
对于C，概率是稳定的，频率是随机的，即C错误；
对于D，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙和甲抽到有奖奖券的可能性都为，即D错误．
故选B.
4．答案：C
解析：若事件B包含事件A，则P(A)≤P(B)，故A错误；
若事件A、B互斥，则P(AB)＝0，
若事件A、B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)＞0，故B错误，C正确；
若事件A，B相互独立，且P(A)>，P(B)>，则P(A)＋P(B)＞1，故D错误．
故选C.
5．答案：A
解析：
画树状图如图所示，
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两次摸到球的颜色不同的结果有4种，
故两次摸到球的颜色不同的概率为.
故选A.
6．答案：C
解析：由题意可知，有两种情况，甲成功破译而乙没有成功破译或甲没有成功破译而乙成功破译，所以甲、乙恰有一人成功破译的概率是×＋×＝.
故选C.
7．答案：D
解析：对于A，抛掷一枚硬币，正面向上概率为；
对于B，投掷1枚骰子，点数等于2的概率是；
对于C，有100张彩票，其中1张是中奖彩票，从中随机买1张是中奖彩票的概率是；
对于D，一袋中装有30个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球的概率是＝.
故选D.
8．答案：D
解析：所有基本事件为(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(1，6)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(2，6)、(3，1)、(3，2)、(3，3)、(3，4)、(3，5)、(3，6)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(4，4)、(4，5)、(4，6)、(5，1)、(5，2)、(5，3)、(5，4)、(5，5)、(5，6)、(6，1)、(6，2)、(6，3)、(6，4)、(6，5)、(6，6)，共36个，
其中两个骰子的点数至少有一个是偶数的有(1，2)、(1，4)、(1，6)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(2，6)、(3，2)、(3，4)、(3，6)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(4，4)、(4，5)、(4，6)、(5，2)、(5，4)、(5，6)、(6，1)、(6，2)、(6，3)、(6，4)、(6，5)、(6，6)，共27个，所以两个骰子的点数至少有一个是偶数的概率为＝.
故选D.
9．答案：CD
解析：次品率为0.05，只是反映次品在这批产品中的占比情况，从中任取200件，不一定有10件是次品，A错误. 做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，只能说正面的频率是，而概率是，B错误. 对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，可以说有明显疗效的可能性为76%，C正确. 抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，出现1点的频率是，D正确．
故选CD.
10．答案：BC
解析：首先抽取方法是有放回，每次摸出1个球，共抽取2次．
基本事件为白白，白黑，黑白，黑黑，共4种情况．
事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A错误．
事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B正确．
事件甲和事件乙是否发生没有关系，用A表示事件甲，用B表示事件乙，P＝，P＝，P＝，则P＝PP，所以甲与乙独立，C正确．
由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件．
故选BC.
11．答案：CD
解析：由题图知参加兴趣小组的共有6＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝60人，
只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为10，6，8人，
故只属于音乐小组的概率为＝，
只属于英语小组的概率为＝，
“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，
故他属于至少2个小组的概率为＝，
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，
其对立事件是“3个小组”．故他属于不超过2个小组的概率是P＝1－＝.
故选CD.
12．答案：ABC
解析：记事件A为从甲袋中摸出一个红球，事件B为从乙袋中摸出一个红球，则
P(A)＝，P(B)＝，且事件A，B相互独立，
对于A，2个球都是红球的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，所以A正确；
对于B，2个球中恰有1个红球的概率为P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝，所以B正确；
对于C，至少有1个红球的概率为P(AB)＋P(A)＋P(B)＝＋＝，所以C正确；
对于D，2个球不都是红球的概率为P()＋P(A)＋P(B)＝×＋＝，所以D错误．
故选ABC.
13．答案：0.12
解析：由题意，P＝1－P＝0.4，P＝PP＝0.3×0.4＝0.12.
14．答案：
解析：由题意得，随机任取“两行”共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土共10种，
其中取出的“两行”相生的情况有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共5种，
所以取出的“两行”相生的概率P＝＝.
15．答案：
解析：从16个球中任取一个小球，中二等奖或三等奖的概率为，
故可得代表二等奖和三等奖的球共有7个，又代表一等奖的球有1个，
故代表无奖的球有8个，故小华同学获得一次摸奖机会，不能中奖的概率＝.
16．答案：0.44　0.92
解析：设事件A为“甲中靶”，事件B为“乙中靶”，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.8, 所以”恰好有一人击中靶子”的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44.
两人都没中靶的概率为P()＝P()P()＝0.4×0.2＝0.08，
“至少有一个人击中靶子”的概率为1－P()＝1－0.08＝0.92.
17．解析：(1)第一个是＝0.8，其他与此类似计算．得
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(2)随着试验次数的增大，频率向0.9靠近，估计概率为0.9.
18．解析：(1)设游戏2中3个红球为a1，a2，a3，白球为b，则依次取出2个球结果如下：
a1a2，a2a1，a1a3，a3a1，a2a3，a3a2，a1b，ba1，a2b，ba2，a3b，ba3共12个结果．
(2)游戏1获奖的概率为P1＝＝，
游戏2获奖的概率为P2＝＝，
由P119．解析：(1)从5名同学中选取2名同学参赛可能的结果有：，，，，，，，，，，共10种．
设A＝“参赛学生中恰为1名男同学和1名女同学”，
则事件A包含的基本事件有，，，，，，共6种，
所以P＝＝.
(2)设B＝ “参赛学生中至少有1名女同学”，
则事件B包含的基本事件有：，，，，，，，共7种．
所以P＝.
20．解析：(1)设3名男生分别为A1，A2，A3，2名女生分别为B1，B2.
这个试验的样本空间可记为Ω＝{(A1，A2，A3)，(A1，A2，B1)，(A1，A2，B2)，(A1，A3，B1)，(A1，A3，B2)，(A2，A3，B1)，(A2，A3，B2)，(A1，B1，B2)，(A2，B1，B2)，(A3，B1，B2)}共包含10个样本点．
设事件A为“参加比赛的学生中恰有2名男生”，则A＝{(A1，A2，B1)，(A1，A2，B2)，(A1，A3，B1)，(A1，A3，B2)，(A2，A3，B1)，(A2，A3，B2)}，
共包含6个样本点，
∴P＝＝.
(2)设“甲同学至少胜出1场”为事件B，则“甲同学4场全输”为事件，
P＝1－P＝1－(1－)×(1－)×(1－)×(1－)＝.
21．解析：(1)记“甲回答正确”“乙回答正确”“丙回答正确”分别为事件A，B，C，
则P＝，且有
即解得P＝，P＝，
即乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为.
(2)3人都回答正确的概率为
P＝PPP＝××＝，
有2人回答正确的概率为
P(AB＋AC＋BC)＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()P(B)P(C)＝××＋××＋××＝，
所以不少于2人回答正确的概率为＋＝.
22．解析：
(1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为＋×＝.
(2)设甲队x个球后赢得比赛，根据比赛规则，x的取值只能为2或4，对应比分为16∶14，17∶15.
两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，
打第二个球甲发球甲得分，此时概率为P(2)＝×＝；
两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，
打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，
或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，
打第四个球甲发球甲得分，此时概率为P(4)＝×××＋×××＝.
故所求概率为P(x≤4)＝P(x＝4)＋P(x＝2)＝＋＝.