2023版新教材高中数学单元素养测评卷二 第七章 复数（含解析）

单元素养测评卷(二)
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(1＋i)(1－2i)＝(　　)
A．－1－iB．－2＋3iC．3－iD．3－3i
2．已知复数z＝，则复数z的共轭复数的虚部为(　　)
A．－1 B．1C．－D．
3．已知复数z满足(1－i)z＝1＋i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．iB．－IC．1＋iD．1－i
4．已知复数z＝＋5，则|z|＝(　　)
A．B．17C．3D．18
5．在复平面内，复数z＝对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限C．x轴上 D．y轴上
6．平行四边形OABC中，顶点O、A、C在复平面内分别与复数0，3＋2i，－2＋4i对应，则顶点B对应的复数为(　　)
A．1＋6iB．5－2iC．3＋5iD．－5＋6i
7．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2，) B．(－，2)C．(－∞，－2) D．(，＋∞)
8．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且－＝a－1＋2i，则(　　)
A．a＝b＝1 B．a＝b＝－1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．
9．已知z＝1－i，则下列正确的是(　　)
A．虚部为1 B．z＝2C．|z|＝ D．z＋＝2
10．已知复数z＝(1－i)(a＋i)(a∈R)，则(　　)
A．若a＝2，则z＝3－i
B．若a＝2，则|z|＝10
C．若z为纯虚数，则a＝－1
D．若z＋|z|＝x＋5i(x∈R)，则a＝4
11．已知复数z满足z＝(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为，则(　　)
A．＝－i
B．复数z对应复平面上的点在第一象限
C．|z|＝
D．＝z
12．设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1，则下列选项正确的是(　　)
A．z1·1＝ B．z1·1＝2
C．z1＋1的取值范围是[－1，1] D．z1＋1的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若z＝2＋i，为z的共轭复数，则z·＝________．
14．已知复数z＝1－2i，是z的共轭复数，则＝________．
15．若虚数单位i是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则|a－bi|＝________．
16．复数z满足：＝a－i (其中a>0，i为虚数单位)，|z|＝，则a＝________；复数z的共轭复数在复平面上对应的点在第________象限．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题10分)已知复数z＝m2－3m－28＋(m2－16)i(m∈R).
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求m的值．
18．(本小题12分)已知复数z＝4－2i，其中i是虚数单位．
(1)计算z＋＋z·；
(2)计算.
19．(本小题12分)如图所示，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B.
(1)求；
(2)已知z1是关于x的方程x2－ax＋5＝0的根，求实数a的值．
20．(本小题12分)已知复数z1＝1＋ai(其中a∈R且a<0，i为虚数单位)，且z为纯虚数．
(1)求实数a的值；
(2)若z2＝＋2，求|z2|.
21.(本小题12分)已知复数z1＝3＋4i，z2＝1－2i，i为虚数单位．
(1)若复数z1＋az2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围；
(2)若z＝，求z的共轭复数．
22．(本小题12分)已知复数z1＝，z2＝(2＋i)m－3(1＋2i)，m∈R，i为虚数单位．
(1)若z1＋z2是纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＋z2>0，求z1·z2的值．
单元素养测评卷(二)
1．答案：C
解析：(1＋i)(1－2i)＝1－2i＋i－2i2＝3－i.故选C.
2．答案：D
解析：∵z＝＝＝－i，则＝＋i，故复数z的共轭复数的虚部为.
3．答案：A
解析：因为(1－i)z＝1＋i，所以z＝＝i.
4．答案：A
解析：由题意得|z|＝＝＝，所以A正确．
故选A.
5．答案：A
解析：因为z＝＝2i＋1，故复数z对应的点(1，2)在第一象限．
故选A.
6．答案：A
解析：由题可得O(0，0)，A(3，2)，C(－2，4)，设B(x，y)，
因为四边形OABC为平行四边形，所以＝，即(3，2)＝(x＋2，y－4)，
所以，解得x＝1，y＝6，
所以点B对应的复数为1＋6i.
故选A.
7．答案：A
解析：因为z＝＝＝，
在复平面内对应的点在第三象限，
∴，解得－2故选A.
8．答案：A
解析：∵z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴＝a－bi，－＝＝＝a－1＋2i，
∴
解得a＝b＝1.故B，C，D错误．
故选A.
9．答案：BCD
解析：因为z＝1－i，
所以虚部为－1，故A错误；
＝1＋i，z＝(1－i)(1＋i)＝2，故B正确；
|z|＝＝，故C正确；z＋＝1－i＋1＋i＝2，故D正确．
故选BCD.
10．答案：AC
解析：若a＝2，则z＝3－i，|z|＝，A正确，B错误．
z＝(1－i)(a＋i)＝1＋a＋(1－a)i，若z为纯虚数，则1＋a＝0，解得a＝－1，C正确．
z＋|z|＝1＋a＋(1－a)i＋＝x＋5i，则1－a＝5，解得a＝－4，D错误．
故选AC.
11．答案：ABD
解析：z＝＝＝＝＋i，所以＝－i，故A正确；复数z对应复平面上对应的点为位于第一象限，故B正确；|z|＝＝，故C错误；
＝＝＝＝＋i＝z，故D正确．
故选ABD.
12．答案：BC
解析：设z1＝a＋bi，b≠0，a，b为实数，
则z2＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝a＋＋i，
因为z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1，
所以，
解得a2＋b2＝2，－≤a≤，
则z1·1＝a2＋b2＝2，A错误，B正确；
z1＋1＝2a∈[－1，1]，C正确，D错误．
故选BC.
13．答案：5
解析：因为z＝2＋i，＝2－i，
所以z·＝(2＋i)(2－i)＝22－i2＝5.
14．答案：－i
解析：因为z＝1－2i，所以＝1＋2i，
所以＝＝＝＝－i.
15．答案：1
解析：由题可知，关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的两个虚根分别为i，－i，
由韦达定理可得，故，
所以|a－bi|＝|－i|＝1.
16．答案：2　四
解析：由＝a－i可得，z＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i，
所以|z|＝＝，左右同时平方得，a2＋2a＋1＋a2－2a＋1＝10，
所以a2＝4.又因为a>0，所以a＝2.
所以z＝3＋i，＝3－i，所以在复平面上对应的点为(3，－1)位于第四象限．
17．解析：(1)由题意得m2－16＝0，解得m＝±4.
(2)由题意得，即，解得m＝7.
18．解析：(1)因为z＝4－2i，所以z＋＋z·＝4－2i＋4＋2i＋(4－2i)(4＋2i)＝8＋16＋4＝28.
(2)＝＝＝＝＋i.
19．解析：(1)由图可知A(－2，－1)，B(0，1)，所以复数z1＝－2－i，z2＝i，
所以＝＝＝＝－－i.
(2)由题意可知(－2－i)2－a(－2－i)＋5＝0，
整理为8＋2a＋(4＋a)i＝0，
，解得a＝－4.
20．解析：(1)由已知得：z＝1－a2＋2ai，且z是纯虚数，
∴，∵a<0，∴a＝－1.
(2)由(1)得：z1＝1－i，∴z2＝＋2＝＋2＝＋2＝2－i，
∴|z2|＝|2－i|＝.
21．解析：(1)由题意，复数z1＝3＋4i，z2＝1－2i，
z1＋az2＝3＋4i＋a(1－2i)＝(3＋a)＋(4－2a)i，
∵复数z1＋az2在复平面上对应的点在第一象限，
∴ ，
解得－3(2)由z＝＝＝＝＝－1＋2i，
所以＝－1－2i.
22．解析：(1)z1＝＝m2＋m2·i，z2＝2m－3＋(m－6)i，
所以z1＋z2＝m2＋2m－3＋(m2＋m－6)i，
因为z1＋z2是纯虚数，所以，得m＝1.
(2)由(1)知，z1＋z2＝m2＋2m－3＋(m2＋m－6)i，
因为z1＋z2>0，所以，得m＝2，
所以z1＝4＋4i，z2＝1－4i，
所以z1·z2＝(4＋4i)(1－4i)＝20－12i.