4.2.3二项分布与超几何分布 课时作业（含解析）

4．2.3　二项分布与超几何分布
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．下列说法正确的个数是(　　)
①某同学投篮的命中率为0.7，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X服从二项分布B(10，0.7)；
②某福彩中奖概率为p，某人一次买了20张彩票，中奖张数X是一个随机变量，且X服从二项分布B(20，p)；
③从装有大小与质地相同的5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X服从二项分布B(n，).
A．0 B．1
C．2 D．3
2．已知随机变量X服从二项分布X～B(6，)，则P(X＝2)＝(　　)
A．B．
C． D．
3．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　)
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为X
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
4．一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10.现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是(　　)
A．X表示取出的最小号码
B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码
C．取出一个红球记2分，取一个黄球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数
5．福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一．纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面，第三步绘花刷油．已知某工艺师在每个步骤制作合格的概率分别为，，，只有当每个步骤制作都合格才认为制作成功1次．
(1)求该工艺师进行3次制作，恰有1次制作成功的概率；
(2)若该工艺师制作4次，其中制作成功的次数为X，求X的分布列．
6．袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出红球的个数X的概率分布，并求至少有一个红球的概率．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一轮中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥－80)＝(　　)
A． B．
C． D．
8．从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的概率分布．
9．某学校随机抽取部分学生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].
(1)求直方图中x的值；
(2)从该校学生中任选4人，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，以直方图中学生上学所需时间少于20分钟的频率作为学生上学所需时间少于20分钟的概率．
(ⅰ)求X的分布列；
(ⅱ)求这4人中至少有1人上学所需时间少于20分钟的概率．
10．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．
(1)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都放回，设抽取到一等品的件数为η，求η的分布列；
(2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都不放回，设抽取到一等品的件数为X，求
①X的分布列；
②抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
11．某数学兴趣小组有5名同学，其中3名男生2名女生，现从中选2人去参加一项活动．
(1)求选出的2人中，恰有1名男生，1名女生的概率；
(2)用X表示选出的2人中男生的个数，求X的分布列．
12．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：
分组区间 (单位：克) (490，495] (495，500] (500，505] (505，510] (510，515]
产品件数 3 4 7 5 1
包装质量在(495，510]克的产品为一等品，其余为二等品．
(1)估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；
(2)从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列．
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止，现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为(　　)
A． B．
C． D．
14．高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：
时间 (x小时/周) 0 01
人数 20 40 30 10
(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率；
(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用P(X＝k)表示这10名学生中恰有k(k∈N，0≤k≤10)名学生数学阅读时间在(0，0.5]小时的概率，求P(X＝k)取最大值时对应的k的值．
4．2.3　二项分布与超几何分布
必备知识基础练
1．答案：C
解析：①某同学投篮投中的概率P＝0.7，该运动员重复10次投篮，
则命中次数X服从二项分布X～B(10，0.7)，正确；
②福彩中奖概率为p，某人一次买了20张，中奖张数X是一个随机变量，
满足二项分布X～B(20，p)，所以②正确；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，
则摸球次数X是随机变量，则X的可能取值为1，2，3，…，n，…，
且P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝()2，
P(X＝3)＝()3，…，
P(X＝n)＝()n，…，
不是二项分布，所以③不正确．故选C.
2．答案：D
解析：P(X＝2)＝C()2(1－)4＝.故选D.
3．答案：B
解析：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服从超几何分布．故选B.
4．答案：C
解析：A选项，X可能取值为1，2，3，4，5，6，7，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
P＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6 7
P
B选项，若有放回的取球时，X表示取出的最大号码，
则X的取值可能为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，
P(X＝1)＝C()4，
P(X＝2)＝C()4＋C()4＋C()4＋C()4，
P(X＝3)＝C()1()3＋C()2()2＋C()3()1＋C()4，
P(X＝4)＝C()1()3＋C()2()2＋C()3()1＋C()4，…，故不满足超几何分布；
C选项，X表示取出的4个球的总得分，则X的取值可能为4，5，6，7，8，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝＝，
P(X＝6)＝＝＝，
P(X＝7)＝＝＝，
P(X＝8)＝＝＝，
显然满足超几何分布，
D选项，若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数，
则X的可能取值为0，1，2，3，4，
由于是有放回的取球，故X～B(4，)，故D不满足超几何分布．故选C.
5．解析：(1)由题意可知，1次制作成功的概率为××＝，
所以该工艺师进行3次制作，恰有1次制作成功的概率P＝C××()2＝.
(2)由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，X～B(4，)，
它的分布列为P(X＝k)＝C()k(1－)4－k(k＝0，1，2，3，4).
即
X 0 1 2 3 4
P
6.解析：由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的概率分布如下表
X 0 1 2 3
P
设“至少有一个红球”为事件M，则P(M)＝P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝，
故至少有一个红球的概率为.
关键能力综合练
7．答案：C
解析：由题意得该产品能销售的概率为(1－)(1－)＝，易知X的取值范围为{－320，－200，－80，40，160}，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B(4，)，
所以P(ξ＝k)＝C·()k·()4－k，k＝0，1，2，3，4，
所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝C()2()2＝，
P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝C()3()1＝，
P(X＝160)＝P(ξ＝4)＝C()4()0＝，
故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝.故选C.
8．解析：由题意知ξ～B(3，)，
则P(ξ＝0)＝C()0()3＝，
P(ξ＝1)＝C()1()2＝，
P(ξ＝2)＝C()2()1＝，
P(ξ＝3)＝C()3()0＝，
所以ξ的概率分布如下表
ξ 0 1 2 3
P
9.解析：(1)由直方图可得：20x＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1所以x＝0.012 5.
(2)(ⅰ)X的可能取值为0，1，2，3，4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，
P(X＝0)＝()4＝，
P(X＝1)＝C()()3＝，
P(X＝2)＝C()2()2＝，
P(X＝3)＝C()3()＝，
P(X＝4)＝C()4＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
(ⅱ)这4人中至少有1人上学所需时间少于20分钟的概率为1－＝.
10．解析：(1)若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为，
3次抽取可以看成3次独立重复试验，因此η～B(3，)，
它的分布列为P(η＝k)＝C()k()3－k，k＝0，1，2，3，如表：
η 0 1 2 3
P
(2)①若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次，且1次抽取了3件，
因此一等品件数X服从超几何分布，
所以从10件产品中任意抽取3件，其中恰有m件一等品的概率为P(X＝m)＝，m＝0，1，2，3.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
②设事件A＝“抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数”，
A1＝“抽取到的3件产品中恰好有1件一等品和2件三等品”，
A2＝“抽取到的3件产品中恰好有2件一等品”，
A3＝“抽取到的3件产品均为一等品”，则事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3.
因为P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝，即抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为.
11．解析：(1)某数学兴趣小组有5名同学，其中3名男生2名女生，
从中选2人去参加一项活动，有C＝10(种)选法．
设“选出的两人中，恰有1名男生，1名女生”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)根据题意，X可能的取值为0，1，2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
故X的分布列为
X 0 1 2
P
12.解析：(1)样本中一共有3＋4＋7＋5＋1＝20件产品，包装质量在(495，510]克的产品有4＋7＋5＝16件，
故从该流水线任取一件产品为一等品的概率P＝＝.
(2)依题意X的可能取值为0，1，2，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝0)＝＝.
故X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)依题意Y～B(2，)，则Y的可能取值为0，1，2，
P(Y＝2)＝()2＝，
P(Y＝1)＝C×(1－)×＝，
P(Y＝0)＝(1－)2＝.
故Y的分布列为
Y 0 1 2
P
核心素养升级练
13．答案：C
解析：小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中向左边跳动5次，向右边跳动2次，向左向右的概率均为，则向右的次数服从二项分布B(7，)，
所求概率为P＝C()2()5＝.故选C.
14．解析：(1)抽取的10人中，周阅读时间大于0.5小时的有4人，小于等于0.5小时的有6人， 故恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率为＝.
(2)周阅读时间在(0，0.5]小时的频率为，
故概率为，则k～B(10，)，
所以P(k)＝C()k()10－k，
由得：
，
化简得，
解得≤k≤，又k∈Z，故k＝4.