4.2.4随机变量的数字特征 课时作业（含解析）

4．2.4　随机变量的数字特征
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．若离散型随机变量X，X～B(5，p)，且E(X)＝，则P(X≤2)＝(　　)
A． B． C． D．
2．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，设命中目标的人数为X，则D＝(　　)
A． B． C． D．
3．已知随机变量X满足E(2X＋3)＝7，D(2X＋3)＝16，则下列选项正确的是(　　)
A．E(X)＝，D(X)＝
B．E(X)＝2, D(X)＝4
C．E(X)＝2, D(X)＝8
D．E(X)＝，D(X)＝8
4．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为(　　)
A． B． C． D．
5．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝(　　)
A．2 B．1
C．3 D．4
6．已知随机变量X～B(4，p)，且E(X)＝3，则D(3X－1)＝(　　)
A．3 B．6 C． D．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球．
(1)若有放回地取2次球，求第二次取出的是黑球的概率；
(2)若不放回地取2次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；
(3)若有放回地取3次球，求取出黑球次数X的分布列及E(X).
8．电子科技公司研制无人机，每架无人机组装后每周要进行1次试飞试验，共进行3次．每次试飞后，科研人员要检验其有否不良表现．若在这3次试飞中，有不良表现不超过1次，则该架无人机得6分，否则得2分．假设每架无人机3次检验中，每次是否有不良表现相互独立，且每次有不良表现的概率均为.
(1)求某架无人机在3次试飞后有不良表现的次数X的分布列和方差；
(2)若参与试验的该型无人机有m架，在3次试飞试验中获得的总分不低于4m分，即可认为该型无人机通过安全认证．现有6架无人机参与试飞试验，求该型无人机通过安全认证的概率是多少？
9．第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，组委会需要招募翻译人员做志愿者，某外语学院的一个社团中有7名同学，其中有5人能胜任法语翻译工作；5人能胜任英语翻译工作(其中有3人两项工作都能胜任)，现从中选3人做翻译工作．试求：
(1)在选中的3人中恰有2人胜任法语翻译工作的概率；
(2)在选中的3人中既能胜任法语翻译工作又能胜任英语翻译工作的人数X的分布列和数学期望．
10．冬奥会志愿者有6名男同学，4名女同学．在这10名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余7名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7所大学．现从这10名志愿者中随机选取3名同学，到机场参加活动．(每位同学被选中的可能性相等).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同的大学的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的期望和方差．
11．某数学教师组织学生进行线上说题交流活动，规定从8道备选题中随机抽取题目作答，假设在8道备选题中，学生甲能答对每道题的概率都是，且每道题答对与否互不影响，学生乙、丙都只能答对其中的6道题．
(1)若甲、乙两人分别从8道备选题中随机抽取1道作答，求至少有1人能答对的概率；
(2)若学生丙从8道备选题中随机抽取2道作答，以X表示其中丙能答对的题数，求X的分布列及数学期望E(X).
12．某企业的某产品在出厂前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知该产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．
(1)求该产品不能销售的概率；
(2)如果该产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该产品不能销售，则每件产品亏损20元，已知一箱中有该产品4件，记一箱该产品获利X元，求X的分布列和期望．
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下(单位：万辆)：
12月 1月 2月 3月 4月 5月
轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 16.7 21.0
MPV 0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4
SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5
(1)从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月MPV零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；
(2)从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望E(X)；
(3)记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为s，同期各月轿车与对应的MPV月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为s，写出s与s的大小关系．(结论不要求证明)
14．某夜市街上有“十元套圈”小游戏，游戏规则为每个顾客支付十元便可获得3个套圈，顾客使用套圈所套得的奖品，即归顾客所有．奖品分别摆放在1，2，3三个相互间隔的区域中，且1，2，3三个区域的奖品价值分别为5元，15元，20元，每个套圈只能使用一次，每次至多能套中一个．小张付十元参与这个游戏，假设他每次在1，2，3三个区域套中奖品的概率分别为0.6，0.2，0.1，且每次的结果互不影响．
(1)求小张分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率；
(2)若分别在1，2，3三个区域各套一次为方案甲，所获奖品的总价值为X元；在2区域连套三次为方案乙，所获奖品的总价值为Y元．以三次所套奖品总价值的数学期望为依据，小张应该选择方案甲还是方案乙？
4．2.4　随机变量的数字特征
必备知识基础练
1．答案：C
解析：因为X～B(5，p)，
所以E(X)＝np＝，得p＝，
所以P(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)
＝C()2()3＋C()1()4＋C()0()5
＝＝.故选C.
2．答案：A
解析：由题意，随机变量X的取值为0，1，2，
可得P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝×＋×＝，
P(X＝2)＝×＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
则D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋2×＝.故选A.
3．答案：B
解析：E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝7，得E(X)＝2，
D(2X＋3)＝4D(X)＝16，得 D(X)＝4.故选B.
4．答案：B
解析：由题意，随机变量X的可能取值是2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为()2＋()2＝，
若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响，
所以P(X＝2)＝，P(X＝4)＝×＝，
P(X＝6)＝()2＝，
所以期望为E(X)＝2×＋4×＋6×＝.故选B.
5．答案：C
解析：ξ的可能取值为0，1，2.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
于是E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，
故E(5ξ＋1)＝5E(ξ)＋1＝5×＋1＝3.故选C.
6．答案：C
解析：因为随机变量X～B(4，p)，且E(X)＝3，
所以E(X)＝4p＝3，解得p＝，
所以D(X)＝4××(1－)＝，
所以D(3X－1)＝9D(X)＝9×＝.故选C.
关键能力综合练
7．解析：设Ai＝“第i次取到白球”， Bi＝“第i次取到黑球”，
(1)每次均从6个球中取球，每次取球的结果互不影响，所以P(B2)＝.
(2)问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，
所以所求概率P＝.
(3)有放回地依次取出3个球，则取到黑球次数X的可能取值为0，1，2，3.
三次取球互不影响，由(1)知每次取出黑球的概率均为，
所以P(X＝0)＝C()3＝，
P(X＝1)＝C()·()2＝，
P(X＝2)＝C()2·()1＝，
P(X＝3)＝C()3＝.
X 0 1 2 3
P
这个试验为3次独立重复事件，X服从二项分布，
即X～B，E(X)＝1.
8．解析：(1)由题意得X～B，
则P(X＝0)＝C·()0·()3＝，
P(X＝1)＝C··()2＝，
P(X＝2)＝C·()2·＝，
P(X＝3)＝C·()3·()0＝，
所以随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2 3
P
所以D(X)＝3××＝.
(2)当m＝6时，4m＝24.设该型6架无人机获得6分的架数为x，则获得2分的架数为(6－x)，
由题意可得6x＋2(6－x)＝4x＋12≥24，解得x≥3，x∈N，则x的取值有3，4，5，6，
记“某架无人机获得6分”为事件A，
则P(A)＝C·()0()3＋C·()2＝，
记“6架无人机参与试飞试验，该型无人机通过安全认证”为事件B，
则P(B)＝C()3()3＋C()4()2＋C()5()＋C()6＝.
9．解析：(1)依题意可知：有2人只胜任英语翻译，有2人只胜任法语翻译，有3人两项工作都能胜任，
所以从中选3人做翻译工作，在选中的3人中恰有2人胜任法语翻译工作的概率为＝＝.
(2)X的可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
分布列如下：
X 0 1 2 3
P
数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
10．解析：(1)设A为选出的3名同学是来自互不相同的大学，则
P(A)＝＝.
(2)由题可知随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝.
11．解析：(1)由题意可知：乙能答对一道题的概率为，若两人都不能答对的概率P＝(1－)(1－)＝，则至少有1人能答对的概率为1－P＝.
(2)X的取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝，
X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
12．解析：(1)设“该产品不能销售”为事件A，
因为两轮检测是否合格相互没有影响，
则P(A)＝1－(1－)(1－)＝.
∴该产品不能销售的概率为.
(2)由(1)知，该产品可以销售的概率为，
易知X的可能取值为－80，－20，40，100，160，
P(X＝－80)＝C()4×()0＝，
P(X＝－20)＝C×()3×()1＝＝，
P(X＝40)＝C×()2×()2＝＝，
P(X＝100)＝C××()3＝＝，
P(X＝160)＝C()4×()0＝.
∴X的分布列为
X －80 －20 40 100 160
P
则E(X)＝(－80)×＋(－20)×＋40×＋100×＋160×＝100.
核心素养升级练
13．解析：(1)这6个月MPV车型月度零售销量平均值为
＝(0.8＋0.2＋0.2＋0.3＋0.4＋0.4)≈0.38.
故MPV月度零售销量超过的月份为12月，4月，5月．
所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，该月MPV零售销量超过的概率为＝0.5.
(2)从2022年1月至2022年5月， SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和5月．
所以X的所有可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)s14．解析：(1)记该顾客分别在1，2，3三个区域套一次便能套中奖品为事件A，B，C，
则P(A)＝0.6，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，P()＝0.4，
P()＝0.8，P()＝0.9.
因为每次的结果互不影响，所以该顾客分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率
P()P()P()＋P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝0.824.
(2)选择方案甲：X可能的取值为0，5，15，20，25，35，40,
P(X＝0)＝P()P()P()＝0.288，
P(X＝5)＝P(A)P()P()＝0.432，
P(X＝15)＝P()P(B)P()＝0.072，
P(X＝20)＝P()P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝0.14,
P(X＝25)＝P(A)P()P(C)＝0.048，
P(X＝35)＝P()P(B)P(C)＝0.008，
P(X＝40)＝P(A)P(B)P(C)＝0.012，
E(X)＝5×0.432＋15×0.072＋20×0.14＋25×0.048＋35×0.008＋40×0.012＝8.
若小张选择方案乙，设他所获奖品的总件数为Z，
则Z～B(3，0.2),
Y＝15Z，E(Z)＝3×0.2＝0.6，E(Y)＝15E(Z)＝9，
因为E(Y)>E(X)，所以小张应该选择方案乙．