4.2.5正态分布 课时作业（含解析）

4．2.5　正态分布
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．随机变量ξ服从正态分布ξ～N(10，4)，则标准差为(　　)
A．2 B．4
C．10 D．14
2．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是(　　)
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
3．在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布(100，δ2).若X在(85，115)内的概率是0.5，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是(　　)
A． B．
C．D．
4．已知两个随机变量X，Y满足Y＝X＋1，且X～N(1，22)，则D(Y)的值为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
5．中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目．在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布N(80，100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有32名．则参赛的学生总数约为(　　)
(参考数据：P(μ－σA．200 B．300
C．640 D．1 280
6．疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间(小时)服从正态分布N(9，12)，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为(　　)
(附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4.
A．12 B．16
C．30 D．32
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X>－2)＋P(X≥4)＝1，则μ＝(　　)
A．－1 　 　 B．1 C．－2 　 　 D．2
8．(多选)杨明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了坐公交车用时X(单位：min)和骑自行车用时Y(单位：min)，经数据分析得到X～N(30，62)，Y～N(34，22)，则(　　)
A．P(X≤30)B．P(X<18)＝P(Y>38)
C．若某天只有34 min可用，杨明应选择坐公交车
D．若某天只有38 min可用，杨明应选择坐公交车
9．设随机变量X～N(μ，σ2)，X的正态密度函数为f(x)＝e－，则μ＝________．
10.
某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(950，252)，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过950小时的概率为________．
11．首届国家最高科学技术奖得主，杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高(单位：cm)服从正态分布N(100，102)，若测量10 000株水稻，株高在(110，120)的约有________株．(若X～N(μ，σ2)，P(μ－σ12．随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(23)＝________．
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：cm)：
87　87　88　92　95　97　98　99　103　104
设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ.
(1)求μ与σ.
(2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2).
①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于107 cm的个数为X，求D(2X＋1)；
②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108(单位：cm)，以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ14．在创建“全国文明城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
组别 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数 14 20 25 26 13 2
(1)由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分ξ～N(μ，198)，μ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表).
①求μ的值；
②利用该正态分布，求P(ξ≤19或ξ≥47)；
(2)在(1)的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为
赠送话费的金额(单位：元) 30 50
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望．
参考数据与公式：≈14.若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ4．2.5　正态分布
必备知识基础练
1．答案：A
解析：因为ξ服从正态分布ξ～N(10，4)可知：方差为4，故标准差为2.故选A.
2．答案：C
解析：由正态密度曲线的性质可知，
X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)的密度曲线分别关于x＝μ1，x＝μ2对称，
因此结合所给图象可得μ1<μ2，
∴P(Y≥μ2)又X～N(μ1，σ)的密度曲线较Y～N(μ2，σ)的密度曲线“瘦高”，
所以0<σ1<σ2，
∴P(X≤σ2)>P(X≤σ1)；
故A、B错误．
由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t).
故C正确，D错误．故选C.
3．答案：A
解析：因为学生成绩服从正态分布(100，δ2)，且P(85所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是
C()2×＝.故选A.
4．答案：D
解析：由题，X～N(1，22)，
则D(X)＝4，又Y＝X＋1，D(Y)＝D(X)＝1.故选D.
5．答案：A
解析：设参赛学生的成绩为X，
由X～N(80，100) X～N(80，102)得μ＝80，σ＝10，则
P(X≥90)＝P(X≤70)＝[1－P(70＝[1－P(μ－σ所以参赛学生总人数为＝200.故选A.
6．答案：B
解析：由题意可知μ＝9，σ＝1，所以P(ξ>10)＝＝＝0.158 7，所以每天学习时间超过10小时的人数为100×0.158 7≈16.故选B.
关键能力综合练
7．答案：B
解析：由于随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，
且P(X>－2)＋P(X≥4)＝1，
而P(X>－2)＋P(X≤－2)＝1，
所以P(X≥4)＝P(X≤－2)，
所以μ＝＝1.故选B.
8．答案：BC
解析：由X～N(30，62)知，μ1＝30，δ1＝6，由Y～N(34，22)知，μ2＝34，δ2＝2，
对于A，P(X≤30)＝P(X≤μ1)＝＝P(Y≤μ2)＝P(Y≤34)，A不正确；
对于B，P(X<18)＝P(X<μ1－2δ1)＝P(X>μ1＋2δ1)＝P(Y>μ2＋2δ2)＝P(Y>38)，B正确；
对于C，P(X≤34)＝P(X≤μ1)＋P(μ1＝P(Y≤34)，则杨明应选择坐公交车，C正确；
对于D，P(X≤38)9．答案：0
解析：由正态密度函数φμ，σ(x)＝e－结构特征可知，μ＝0.
10．答案：
解析：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(950，252)得三个电子元件的使用寿命超过950小时的概率为P＝，
设A＝{超过950小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B＝{超过950小时时，元件3正常}，
C＝{该部件的使用寿命超过950小时}，
则P(A)＝1－(1－P)2＝，P(B)＝，
∵事件A，B为相互独立事件，事件C为A，B同时发生的事件，
∴P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
11．答案：1 359
解析：根据题意可知μ＝100，σ＝10，
所以P(90P(80所以P(110所以株高在(110，120)的约有10 000×0.135 9＝1 359株.
12．答案：0.17
解析：因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，
所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>3)＝P(X>2)－P(2核心素养升级练
13．解析：(1)μ＝(87＋87＋88＋92＋95＋97＋98＋99＋103＋104)＝95，
σ2＝(64＋64＋49＋9＋0＋4＋9＋16＋64＋81)＝36，则σ＝6.
(2)①因为Z～N(95，62)，所以P(Z>107)＝P(Z>μ＋2σ)＝0.5－＝0.023，则X～B(5，0.023)，
所以D(X)＝5×0.023×(1－0.023)＝0.112 355，
故D(2X＋1)＝4D(X)＝0.449 42.
②因为P(μ－3σ所以5个零件中恰有1个的内径(单位：cm)不在(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为C×0.9974×(1－0.997)＝C×0.99×(1－0.997)＝0.014 85，
因为76 (μ－3σ，μ＋3σ]，所以试生产的5个零件就出现了1个不在(μ－3σ，μ＋3σ]内，
出现的频率是0.014 85的十三倍多，根据3σ原则，需要进一步调试．
14．解析：(1)①μ＝40×＋50×＋60×＋70×＋80×＋90×＝61；
②σ＝≈14，所以，19＝μ－3σ，47＝μ－σ，
所以P(ξ≤19或ξ≥47)
＝1－
＝1－＝0.842 6.
(2)P(ξ<μ)＝P(ξ≥μ)＝，由题意可知随机变量X的可能取值有30，50，60，80，100，
P(X＝30)＝×＝，
P(X＝50)＝×＝，
P(X＝60)＝××＝，
P(X＝80)＝×(×＋×)＝，
P(X＝100)＝××＝，
X 30 50 60 80 100
P
E(X)＝30×＋50×＋60× ＋80×＋100×＝57.