1.2空间向量基本定理 课时作业（含解析）

1．2　空间向量基本定理
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是(　　)
A. B．
C. D．或
2．在空间四点O，A，B，C中，若{，，}是空间的一个基底，则下列命题不正确的是(　　)
A.O，A，B，C四点不共线
B.O，A，B，C四点共面，但不共线
C.O，A，B，C四点不共面
D.O，A，B，C四点中任意三点不共线
3．在三棱柱ABC DEF中，G为棱AD的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A.－a＋b－c
B.a－b＋c
C.－a＋b＋c
D.－a＋b＋c
4．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则D1M＝(　　)
A.－a＋b＋c B．a－b＋c
C.a＋b＋c D．－a－b＋c
5．[2023·江苏南通高二测试](多选)已知a，b，c是空间的三个单位向量，下列说法正确的是(　　)
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.若a，b，c两两共面，则a，b，c共面
C.对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z，使得p＝xa＋yb＋zc
D.若{a，b，c}是空间的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底
6．[2023·广东惠来一中高二检测](多选)若向量{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(　　)
A.a＋b，a－b，a＋2b B．a－b，a＋c，b＋c
C.a－b，c，a＋b＋c D．a－2b，b＋c，a＋c－b
7．已知四面体OABC，M，N分别是BC，OA的中点，且＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示向量＝________．
8．[2023·湖北武汉十七中高二检测]设{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，且向量p＝3a＋b＋c，若m＝a＋b，n＝a－c，则用基底{m，n，c}表示向量p＝____________．
关键能力综合练 进阶训练第二层
　
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，F，G分别为AB，CC1的中点，则(　　)
A.＝＋＋
B.＝＋＋
C.＝＋＋
D.＝－＋
2．[2023·山东潍坊高二检测]已知三棱柱ABC A1B1C1，点P为线段B1C1上一点，且B1P＝，则＝(　　)
A.＋＋
B.＋＋
C.＋－
D.＋＋
3．[2023·广东佛山高二测试]在四面体D ABC中，点G是△ABC的重心，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A.a＋b＋c B．a＋b＋c
C.a＋b＋c D．a＋b＋c
4．[2023·福建龙岩高二检测]在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，点E是线段CD1的中点，＝3，设＝a，＝b，AA1＝c，则＝(　　)
A.a＋b－c B．－a－b－c
C.a＋b＋c D．－a－b＋c
5.
如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且DF＝DD1.记＝x＋y＋zAA1，若x＋y＋z＝，则＝(　　)
A. B．
C. D．
6．[2023·辽宁丹东高二测试](多选)已知四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，则(　　)
A.a－b－c＝ B．a＋b＋c＝
C.a＋b－c＝D．a－b＋c＝
7．已知在正方体ABCD A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－nAA1，则m＝________．
8.
如图，在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝，∠ABC＝，BC＝BD＝1，AB＝，则异面直线AB与CD所成角的大小是________．
9．[2023·浙江杭州高二检测]如图三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都相等，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，点M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点N，连接A1M，设＝a，＝b，AA1＝c.
(1)用a，b，c表示A1M；
(2)证明：A1M⊥AB.
10.
如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示，并求的长；
(2)求与的夹角．
核心素养升级练 进阶训练第三层
1.
如图，在三棱锥O ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若＝k，＝m，＝n，则＋＋＝(　　)
A. B．
C. D．
2．如图(1)，ABCD是平行四边形，2AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，如图(2)，把平行四边形沿对角线AC折起，则三棱锥B ACD体积的最大值为________．若AB与CD成60°角，则BD的长为________．
3．如图所示，三棱柱ABC A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，CA＝CB＝CC1＝1，〈a，b〉＝〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，N是AB的中点．
(1)用a，b，c表示向量；
(2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置，若不存在，说明理由．
1．2　空间向量基本定理
必备知识基础练
1．答案：C
解析：∵＝(a－b)＝(＋＋)－(＋－)，即a，b，共面，∴与a、b不能构成空间基底．故选C.
2．答案：B
解析：因为{，，}为基底，所以非零向量，，不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，所以A、C、D选项说法正确，B错误．故选B.
3．答案：B
解析：＝＋＝＋＝(－)＋(－)＝(a－b)＋(c－a)＝a－b＋c.故选B.
4．答案：B
解析：
如图所示，∵＝＋＝＋＝＋(＋)，又＝c，＝－b，＝a，∴＝a－b＋c.故选B.
5．答案：AD
解析：a，b，c是空间的三个单位向量，由a∥b，b∥c，则a∥c，故A正确；a，b，c两两共面，但是a，b，c不一定共面，a，b，c可能两两垂直，故B错误；由空间向量基本定理，可知只有当a，b，c不共面，才能作为基底，才能得到p＝xa＋yb＋zc，故C错误；若{a，b，c}是空间的一组基底，则a，b，c不共面，可知{a＋b，b＋c，c＋a}也不共面，所以{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底，故D正确．故选AD.
6．答案：ABD
解析：对于A：由于向量{a，b，c}构成空间的一个基底，且满足a＋2b＝(a＋b)－(a－b)，故A正确；对于B：由于a－b＝(a＋c)－(b＋c)，故B正确；对于C：由于a＋b＋c≠m(a－b)＋nc，故C错误；对于D：由于a－2b＝(a＋c－b)－(b＋c)，故D正确．故选ABD.
7．答案：a－b－c
解析：
如图，＝＋＝－·(＋)＋＝a－b－c.
8．答案：m＋2n＋3c
解析：设p＝xm＋yn＋zc，
则x(a＋b)＋y(a－c)＋zc＝(x＋y)a＋xb＋(z－y)c＝3a＋b＋c，
故，解得，故p＝m＋2n＋3c.
关键能力综合练
1．答案：C
解析：＝＋＝＋＋＝＋＋.故选C.
2．答案：D
解析：
由题意得＝＋＝＋＋，因为＝，＝，所以＝＋＋＝＋＋＝＋＋(－)＝＋＋.故选D.
3．答案：B
解析：
设E是BC中点，＝＋＝＋＝＋××(＋)＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝＋(＋－2)＝＋＋＝a＋b＋c.故选B.
4．答案：B
解析：因为E为CD1中点，所以＝(＋)＝(＋＋＋)＝＋＋，＝3 ＝＝(＋)，所以＝－＝＋－－－＝－－－，即＝－a－b－c.故选B.
5．答案：B
解析：设＝λ，因为＝＋＋＋＝－λ－＋＋＝－λ－＋＋AA1＝－＋＋(－λ)AA1，所以x＝－1，y＝1，z＝－λ.因为x＋y＋z＝－λ＝，所以λ＝.故选B.
6．答案：BC
解析：＝－＝＋－＝b＋c－a，A选项错误；＝＋＋＝a＋b＋c，B选项正确；＝－＝＋－＝a＋b－c，C选项正确；＝－＝－(＋)＝b－a－c，D选项错误．故选BC.
7．答案：
解析：如图所示，可得＝＋＝＋(＋)＝＋＋，又因为＝＋m－nAA1，所以m＝，n＝－.
8．答案：
解析：依题意可知CD＝＝，·＝·(－)＝·－·＝0＋·＝||||cos 45°＝1.设直线AB与CD所成角为α，则cos α＝＝＝，因为α∈，故α＝.
9．解析：(1)因为△ABC为正三角形，点M为△ABC的重心，
所以N为BC的中点，
所以＝＋，＝，
所以A1M＝A1A＋＝－AA1＋＝－1＋＋＝a＋b－c.
(2)证明：设三棱柱的棱长为m，
则A1M·＝(a＋b－c)·a
＝a2＋a·b－c·a
＝|a|2＋|a|·|b|cos －|c|·|a|cos
＝m2＋m2×－m2×＝0.
所以A1M⊥AB.
10．解析：(1)因E，F分别为棱BC，AD的中点，而＝a，＝b，＝c，
所以＝＋＋＝－＋＝(－)－＋＝－a－b＋c，
因正四面体ABCD的棱长为1，则a·b＝b·c＝c·a＝|c||a|cos 60°＝，
所以||＝
＝＝.
(2)依题意，＝＋＋＝－a＋c＋(b－c)＝－a＋b＋c，
因正四面体ABCD的棱长为1，有c·a＝|c||a|cos 60°＝，
因此·＝－(a＋b－c)·(a－b－c)＝[(a－c)2－b2]＝(a2＋c2－2a·c－b2)＝0，
所以⊥，即与的夹角为90°.
核心素养升级练
1．答案：D
解析：由题意可知，＝＝(＋)＝[＋×(＋)]＝[＋(－)＋(－)]＝＋＋.因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，所以－＝λ(－)＋μ(－)，所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝(1－λ－μ)k＋λm＋μn，所以，所以＋＋＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝.故选D.
2．答案：　或
解析：由已知得，对于三棱锥B ACD，当AB⊥平面ACD时，三棱锥B ACD的体积最大，由2AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，ABCD是平行四边形，可得，S△ACD＝S△ABC＝×AB×AC＝1，故VB ACD＝×S△ACD×AB＝×1×1＝；＝＋＋，又因为AB与CD成60°角，故〈，〉＝60°或〈，〉＝120°，且〈，〉＝90°，〈，〉＝90°，||2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，故||2＝1＋4＋1＋2cos 60°或||2＝1＋4＋1＋2cos 120°，则||＝或||＝.
3．解析：(1)因为N是AB中点，所以＝，
所以＝＋＝＋
＝－＋(－)＝－a＋b－c.
(2)假设存在点M，使AM⊥A1N，设＝λ，(λ∈[0，1])，
显然λC1B1＝λb，＝＋＋＝c－a＋λb，
因为AM⊥A1N，所以·＝0，
即(c－a＋λb)·(－a＋b－c)＝0，
∴－c·a＋c·b－c2＋a2－a·b＋c·a－λa·b＋λb2－λb·c＝0.
∵CA＝CB＝CC1＝1，〈a，b〉＝〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，
∴c·a－c2＋a2－(＋λ)a·b＋λb2＝0，
即×1×1×(－)－12＋×12－(＋λ)×1×1×(－)＋λ·12＝0，解得λ＝，
所以当C1M＝C1B1时，AM⊥A1N.