1.1.3空间向量及其运算的坐标表示 课时作业（含解析）

1．3　空间向量及其运算的坐标表示
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．点A(2，0，22)关于y轴的对称点的坐标为(　　)
A.(－2，0，22) B．(2，0，－22)
C.(－2，0，－22) D．(2，0，22)
2．已知空间向量a＝(1，2，－3)，则向量a在坐标平面Oyz上的投影向量是(　　)
A.(0，2，3) B．(0，2，－3)
C.(1，2，0) D．(1，2，－3)
3．[2023·山东潍坊高二检测]已知向量a＝(x，－2，6)与b＝(1，y，－3)平行，则x＋y＝(　　)
A.1 B．－1
C.3 D．－3
4．在长方体ABCD A1B1C1D1中，已知AB＝1，AD＝2，AA1＝3，M为B1C1的中点，则AM的长等于(　　)
A. B．
C.3 D．
5．(多选)已知向量a＝(1，－2，－2)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是(　　)
A.a＋b＝(7，－5，0) B．a－b＝(5，－1，4)
C.a·b＝8 D．|a|＝
6．[2023·山东济南历城二中高二检测](多选)已知空间中三点A(0，1，0)，B(1，－2，－1)，C(－1，3，1)，O是坐标原点，下列说法正确的是(　　)
A.点C关于平面Oxy对称的点为(1，－3，1)
B.||＝
C.∥
D.⊥
7．[2023·山东德州高二检测]在空间直角坐标系中，已知＝(3，2，1)，＝(1，0，5)，＝(－1，2，－1)，点M为线段AB的中点，则||＝________．
8．正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1和B1C1的中点，则直线AM和CN所成角的余弦值为________．
关键能力综合练 进阶训练第二层
1．[2023·福建三明高二检测]向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4，2)，且b⊥c，b⊥a，则a，c的夹角大小为(　　)
A. B．
C. D．
2．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且2b∥(a－b)，则(　　)
A.x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C.x＝2，y＝ D．x＝1，y＝－1
3．已知正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为a，对角线AC′与BD′相交于点O，则有(　　)
A.·＝a2 B．·＝a2
C.·＝a D．·＝a2
4．[2023·安徽泗县一中高二检测](多选)已知空间向量a＝(－2，－1，1)，b＝(3，4，5)，则下列结论正确的是(　　)
A.(2a＋b)∥a
B.5|a|＝|b|
C.a⊥(5a＋4b)
D.a在b上的投影数量为－
5．[2023·山东青岛二中高二检测](多选)已知空间中三点A(2，1，－1)，B(1，0，2)，C(0，3，－1)，则(　　)
A.||＝ B．AB⊥AC
C.cos ∠ABC＝ D．A，B，C三点共线
6．设x，y∈R，向量a＝(3，2，1)，b＝(1，x，1)，c＝(y，4，2)，且a⊥b，a∥c，则|c－2b|＝________．
7．已知向量a＝(2，－1，1)，b＝(1，3，1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．
8．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(m，0，2)，cos 〈a，b〉＝－，若向量a＋kb与2a＋b所成角为钝角，则实数k的范围是________．
9．[2023·山东潍坊高二检测]已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，c)，且|a＋b|＝.
(1)求c的值；
(2)若ka＋b与2a－b互相垂直，求实数k的值．
10．[2023·广东广州高二检测]如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝2AB＝2AA1＝6，E，F分别是A1D1，A1B1的中点，＝，以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.
(1)写出C，D1，F，G四点的坐标；
(2)求cos 〈，D1G〉．
核心素养升级练 进阶训练第三层
1.
[2023·河北沧州高二练习]如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，M为线段PC上一动点，PM＝tPC，若∠BMD为锐角，则实数t可能为(　　)
A. B．
C. D．
2．已知＝(1，0，2)，＝(2，2，0)，＝(0，1，2)，点M在直线OC上运动，当·取得最小值时，点M的坐标为________．
3．如图所示，在四棱锥P ABCD中，△PBC为等腰直角三角形，且∠CPB＝90°，四边形ABCD为直角梯形，满足AD∥BC，CD⊥AD，BC＝CD＝2AD＝4，PD＝2.
(1)若点F为DC的中点，求cos 〈，〉；
(2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当⊥时，求的值．
1．3　空间向量及其运算的坐标表示
必备知识基础练
1．答案：C
解析：点A(2，0，22)关于y轴的对称点的坐标为(－2，0，－22).故选C.
2．答案：B
解析：根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点a＝(1，2，－3)在坐标平面Oyz上的投影坐标，横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变．所以空间向量a＝(1，2，－3)在坐标平面Oyz上的投影向量是(0，2，－3).故选B.
3．答案：B
解析：由于向量a＝(x，－2，6)与b＝(1，y，－3)平行，注意到6＝(－3)×(－2)，所以，故x＝－2，y＝1，x＋y＝－1.故选B.
4．答案：A
解析：以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1(1，0，3)，C1(1，2，3)，∴M(1，1，3)，＝(1，1，3)，∴||＝＝，即AM的长为.故选A.
5．答案：AC
解析：因为a＝(1，－2，－2)，b＝(6，－3，2)，所以a＋b＝(7，－5，0)，故A正确；a－b＝(－5，1，－4)，故B不正确；a·b＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确；|a|＝＝3，故D不正确．故选AC.
6．答案：BC
解析：因为点C关于平面Oxy对称的点为(－1，3，－1)，所以A错误；因为||＝＝，所以B正确；因为＝(－1，2，1)，＝(1，－2，－1)，则＝－，所以C正确；因为＝(0，1，0)，＝(1，－2，－1)，则·＝－2≠0，所以D错误．故选BC.
7．答案：
解析：因为＝(3，2，1)，＝(1，0，5)，点M为线段AB的中点，所以＝(＋)＝(2，1，3)，所以＝－＝(3，－1，4)，所以||＝＝.
8．答案：0.4
解析：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设AD＝2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，M(2，2，1)，N(1，2，2)，∴＝(0，2，1)，＝(1，0，2)，则cos 〈，〉＝＝，故直线AM和CN所成角的余弦值为.
关键能力综合练
1．答案：C
解析：由b⊥c，b⊥a得b·c＝2－4y＋2＝0 y＝1，b·a＝x＋y＋1＝x＋2＝0 x＝－2，故cos 〈a，c〉＝＝＝－，∵〈a，c〉∈[0，π]，故a，c的夹角为.故选C.
2．答案：B
解析：a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且2b∥(a－b)，则2b＝(2x，2，4)，a－b＝(1－x，1，－y－2)，因为2b∥(a－b)，∴2b＝λ(a－b)，即，解得.故选B.
3．答案：A
解析：以点A为坐标原点，AB，AD，AA′所在直线分别为x、y、z建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，A′(0，0，a)，B′(a，0，a)，C′(a，a，a)，D′(0，a，a)，O(，，).对于A选项，＝(a，0，0)，＝(a，a，0)，·＝a2，A对；对于B选项，＝，·＝a2，B错；对于C选项，＝(，，)，·＝a2，C错；对于D选项，＝(0，a，0)，＝(0，－a，a)，·＝－a2，D错．故选A.
4．答案：BD
解析：由题得2a＋b＝(－1，2，7)，a＝(－2，－1，1)，而≠≠，故A不正确；因为|a|＝，|b|＝5，所以5|a|＝|b|，故B正确；因为a·(5a＋4b)＝(－2，－1，1)·(2，11，25)＝10≠0，故C不正确；因为a在b上的投影数量为|a|cos 〈a，b〉＝＝＝－，故D正确；故选BD.
5．答案：ABC
解析：＝(－1，－1，3)，则||＝＝，故A正确；＝(－2，2，0)，则·＝2－2＋0＝0，所以AB⊥AC，故B正确；＝(－1，3，－3)，＝(1，1，－3)，则cos ∠ABC＝＝＝，故C正确；因为＝(－1，－1，3)，＝(－2，2，0)，≠，所以向量，不共线，则A，B，C三点不共线，故D错误．故选ABC.
6．答案：4
解析：根据a⊥b可得a·b＝3＋2x＋1＝0，故x＝－2，此时b＝(1，－2，1)，由a∥c可得＝＝，故y＝6，此时c＝(6，4，2)，于是c－2b＝(4，8，0)，故|c－2b|＝|(4，8，0)|＝＝4.
7．答案：
解析：cos 〈a，b〉＝＝＝＝0，故a⊥b，故以a，b为邻边的平行四边形为矩形，面积为|a|·|b|＝·＝.
8．答案：k<－1
解析：因为a＝(1，1，0)，b＝(m，0，2)，cos 〈a，b〉＝－，所以cos 〈a，b〉＝＝＝－，解得m＝－1，所以b＝(－1，0，2)，所以a＋kb＝(1－k，1，2k)，2a＋b＝(1，2，2)，因为向量a＋kb与2a＋b所成角为钝角，所以(a＋kb)·(2a＋b)＝1－k＋2＋4k<0，解得k<－1，若向量a＋kb与2a＋b共线，则＝＝，解得k＝，此时a＋b与2a＋b共线同向，综上可得k<－1.
9．解析：(1)a＋b＝(－1，0，c)＋(1，1，0)＝(0，1，c)，
所以|a＋b|＝＝，解得：c＝±2.
(2)当c＝2时，ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，
2a－b＝(2，2，0)－(－1，0，2)＝(3，2，－2)，
因为ka＋b与2a－b互相垂直，
所以3(k－1)＋2k－22＝0，解得：k＝，
当c＝－2时，ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，－2)＝(k－1，k，－2)，
2a－b＝(2，2，0)－(－1，0，－2)＝(3，2，2)，
因为ka＋b与2a－b互相垂直，
所以3(k－1)＋2k－22＝0，解得：k＝，
综上：k＝.
10．解析：(1)∵AD＝2AB＝2AA1＝6，∴AB＝AA1＝3，
则C(3，6，0)，D1(0，6，3)，F(，0，3)，E(0，3，3)，
∵＝，∴G为CE中点，∴G(，，).
(2)由(1)得：＝(－，－6，3)，
＝(，－，－)，
＝＝＝.
核心素养升级练
1．答案：B
解析：
分别以AB、AD、AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设PA＝1，M(x，y，z)，故P(0，0，1)，C(1，1，0)，＝(x，y，z－1)，＝(1，1，－1)，由＝t(0≤t≤1)可知，即M(t，t，1－t)，又因为∠BMD为锐角，所以·>0，由B(1，0，0)，D(0，1，0)，可知＝(1－t，－t，t－1)，＝(－t，1－t，t－1)，·＝－t(1－t)－t(1－t)＋(t－1)2>0，整理得3t2－4t＋1>0，解得0≤t<.故选B.
2．答案：M(0，，)
解析：设M(x，y，z)，∵点M在直线OC上运动，∴存在实数λ，使得＝λ，∴(x，y，z)＝λ(0，1，2)，得到x＝0，y＝λ，z＝2λ.·＝(1，－λ，2－2λ)(2，2－λ，－2λ)＝2－λ(2－λ)－2λ(2－2λ)＝2－2λ＋λ2－4λ＋4λ2＝5λ2－6λ＋2＝52＋.当且仅当λ＝时，·取得最小值，此时M(0，，).
3．解析：(1)因为△PBC为等腰直角三角形，∠CPB＝90°，BC＝CD＝4，所以PC＝PB＝2，
又PD2＝(2)2＝24，PC2＋CD2＝(2)2＋42＝24，所以DC⊥PC.
而CD⊥AD，CD∥BC，故CD⊥BC，
因PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，故CD⊥平面PBC.
以点C为原点，CP，CD所在直线分别为x，z轴，过点C作PB的平行线为y轴，建立空间直角坐标系C xyz，如图所示．
则P(2，0，0)，B(2，2，0)，F(0，0，2)，A(，，4)，
则＝(，－，－4)，＝(－2，－2，2)，
所以cos 〈，〉＝
＝＝－.
(2)由(1)知E(2，，0)，设＝t，
而＝(，，－4)，所以＝(t，t，－4t)，
所以M(＋t，＋t，4－4t)，
所以＝(t－，t，4－4t)，
又＝(－2，－2，2)，
因为⊥，故·＝0，
所以－2×(t－)－2×t＋8－8t＝0，
解得t＝，所以＝.