3.2.1双曲线及其标准方程 课时作业（含解析）

3．2.1　双曲线及其标准方程
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．[2023·山西太原高二测试]已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左右焦点，点P在该双曲线上，若|PF1|＝5，则|PF2|＝(　　)
A．4 B．4或6
C．3 D．3或7
2．已知点M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝2.则动点P的轨迹方程为(　　)
A．－＝1(x>0) B．－＝1
C．－＝1(x>0) D．－＝1
3．若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　)
A．－2－2
C．m≥0 D．m≥2
4．若双曲线－＝1(b>0)的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，则b＝(　　)
A．3　　　B．4 C．5　　　D．
5．焦距为10，且＝的双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1或－＝1
6．[2023·黑龙江绥化高二检测](多选)已知方程＋＝1表示曲线C，则(　　)
A．当1B．当t>4或t<1时，曲线C一定是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则t>4
7．如果双曲线－＝1上的一点P到焦点F1的距离等于16，那么点P到另一个焦点F2的距离是________．
8．经过点(，2)且焦点为(0，－5)，(0，5)的双曲线的标准方程是________．
关键能力综合练 进阶训练第二层
1．若圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
2．如图，已知A，B两地相距600 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1 s，且声速为340 m/s.以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为(　　)
A．－＝1(x<0)
B．－＝1(x<0)
C．－＝1(x>0)
D．－＝1(x>0)
3．设F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．24 B．15
C．12 D．30
4．已知双曲线－＝1(m>0)，直线l过其上焦点F2，交双曲线上支于A，B两点，且|AB|＝4，F1为双曲线下焦点，△ABF1的周长为18，则m值为(　　)
A．8 B．9
C．10 D．
5．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，PF1·PF2＝0，则P的纵坐标为(　　)
A．1　　　B．2 C．　　　D．
6．[2023·山东菏泽高二检测](多选)已知点P在双曲线－＝1上，F1，F2分别是左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列判断正确的有(　　)
A．点P到x轴的距离为
B．|PF1|＋|PF2|＝
C．△PF1F2为钝角三角形
D．∠F1PF2＝
7．[2023·江苏连云港高二测试]经过M(－，1)，N(4，－3)两点的双曲线的标准方程是____________．
8．已知双曲线的焦点与椭圆＋＝1的左、右顶点相同，且经过椭圆的右焦点，则双曲线的方程为________．
9．已知定圆O1和O2的半径分别为1和2，O1O2＝4，动圆M与圆O1内切，且与圆O2外切．试建立适当的坐标系，写出动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
10.双曲线C：－＝1上一点(2，)到左、右两焦点距离的差为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的点，若|PF1|＋|PF2|＝6，求△PF1F2的面积．
核心素养升级练 进阶训练第三层
1．若点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
2．[2023·山东德州高二测试]已知圆C被x轴截得的弦长为4，被y轴分成两部分的弧长之比为1∶2，则圆心C的轨迹方程为________，若点M(，1)，N(，0)，则△CMN周长的最小值为________．
3．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋4y2＝4的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝sin C.
(1)求线段AB的长度；
(2)求顶点C的轨迹方程．
3．2.1　双曲线及其标准方程
必备知识基础练
1．答案：D
解析：由双曲线定义知：||PF1|－|PF2||＝2a＝2，而|PF1|＝5，又c－a＝1且c＋a＝3，
∴|PF2|＝3或7.故选D.
2．答案：A
解析：因为M(－2，0)，N(2，0)，所以|MN|＝4，动点P满足条件|PM|－|PN|＝2<|MN|，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
∵点M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝2，
∴c＝2，a＝，
∴b＝＝＝，
∴动点P的轨迹方程为－＝1(x>0).故选A.
3．答案：A
解析：因为方程－＝1表示双曲线，
所以(2＋m)(2－m)>0，解得－24．答案：B
解析：由题意得：9＋b2＝25，解得b＝±4.
因为b>0，所以b＝4.故选B.
5．答案：D
解析：由题意知2c＝10，c＝5，又＝，c2＝b2＋a2，
∴a2＝9，b2＝16，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.故选D.
6．答案：BD
解析：对于A，当t＝时，曲线C是圆，故A错误；
对于B，当t>4时，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
当t<1时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线，故B正确；
对于C，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则，解得1对于D，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，解得t>4，故D正确．故选BD.
7．答案：32
解析：双曲线－＝1的焦点在y轴上，对应a＝8，b＝6，c＝10，2a＝16，
由于a＋c＝18>16＝|PF1|，所以|PF1|<|PF2|，
所以|PF2|－|PF1|＝|PF2|－16＝16，|PF2|＝32.
8．答案：－＝1
解析：双曲线的焦点在y轴上，且c＝5，
因为双曲线过点(，2)，根据双曲线的定义得2a＝＝6，则a＝3，
则b2＝c2－a2＝16，所以双曲线的标准方程为－＝1.
关键能力综合练
1．答案：B
解析：将x＝0代入x2＋y2－4x－9＝0解得A，B点坐标分别为(0，－3)，(0，3)，
因为A，B两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，
所以双曲线焦点在y轴上且，解得，所以双曲线方程为－＝1.故选B.
2．答案：B
解析：设炮弹爆炸点P的坐标为(x，y)，则|PB|－|PA|＝340×1＝340<600，
所以P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为340的双曲线的左支．
因为2a＝340，所以a＝170，又|AB|＝600＝2c，
所以c＝300，b2＝c2－a2＝90 000－28 900＝61 100，
故炮弹爆炸点的轨迹方程为－＝1(x<0).故选B.
3．答案：A
解析：由3|PF1|＝5|PF2|，可得|PF1|＝|PF2|，
又P是双曲线－＝1上的一点，则|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝4，
则|PF2|＝6，|PF1|＝10，又|F1F2|＝8，
则|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，则PF2⊥F1F2，
则△PF1F2的面积等于|PF2|·|F1F2|＝×6×8＝24.故选A.
4．答案：D
解析：由题意知|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝18.
又|AB|＝4，所以|AF1|＋|BF1|＝14.
根据双曲线的定义可知2＝|AF1|－|AF2|＝|BF1|－|BF2|，
所以4＝|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝14－4＝10，
解得＝，所以m＝.故选D.
5．答案：C
解析：因为PF1·PF2＝0，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝32.
由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝4，所以2|PF1|·|PF2|＝|PF1|2＋|PF2|2－(|PF1|－|PF2|)2，
解得|PF1|·|PF2|＝8，
故△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|＝4.
设P的纵坐标为h，
则△PF1F2的面积为|F1F2|·h＝4，解得h＝.
所以P的纵坐标为.故选C.
6．答案：B
解析：设点P(xP，yP).因为双曲线C：－＝1，所以c＝＝5.又S△PF1F2＝×2c|yP|＝×10×|yP|＝20，所以|yP|＝4，故A错误．
将|yP|＝4代入－＝1得－＝1，得|xP|＝.
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为(，4)，得|PF2|＝ ＝.
由双曲线的定义得|PF1|＝|PF2|＋2a＝＋8＝，所以|PF1|＋|PF2|＝＋＝，故B正确．
在△PF1F2中，|PF1|＝>2c＝10>|PF2|＝，且cos ∠PF2F1＝＝－<0，
则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，故C正确．
由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝≠，所以∠F1PF2≠，故D错误．故选BC.
7．答案：－＝1
解析：方法一　当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意得，，解得，所以双曲线方程为－＝1.
当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意得，，方程组无解．
综上，双曲线方程为－＝1.
方法二　设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，则，解得
∴所求双曲线方程为－＝1.
8．答案：x2－＝1
解析：椭圆＋＝1的左顶点为(－2，0)，右顶点为(2，0)，右焦点为(1，0)，所以双曲线中，又c2＝a2＋b2，所以b2＝3，所以双曲线方程为x2－＝1.
9．解析：由题意，定圆O1和O2的半径分别为1和2，且O1O2＝4，以O1O2所在的直线为x轴，以线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则O1(－2，0)，O2(2，0)，
设动圆的圆心为M(x，y)，半径为R，
因为动圆M与圆O1内切，且与圆O2外切，则满足，
所以|MO2|－|MO1|＝3(常数)且3<4＝|O1O2|，
根据双曲线的定义，可得点M的轨迹为以O1，O2为焦点的双曲线的一支，
且2a＝3，2c＝4，可得a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝，
所以所求轨迹方程为－＝1(x≤－)，
即点M的轨迹为以O1，O2为焦点的双曲线的左支．
10．解析：(1)由题意得2a＝2，得a＝1，
因为点(2，)在双曲线C：－＝1上，
所以－＝1，解得b2＝1，
所以双曲线的方程为x2－y2＝1.
(2)由(1)可得c＝＝，所以F1(－，0)，F2(，0)，
不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
因为|PF1|＋|PF2|＝6，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，
因为|F1F2|＝2c＝2，
所以由余弦定理得cos ∠F1PF2
＝＝＝，
因为∠F1PF2∈(0，π)，
所以sin ∠F1PF2＝＝，
所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝×4×2×＝.
核心素养升级练
1．答案：B
解析：在双曲线C1中，a＝4，b＝3，c＝5，易知两圆圆心分别为双曲线C1的两个焦点，
记点F1(－5，0)，F2(5，0)，当|PQ|－|PR|取最大值时，P在双曲线C1的左支上，
所以|PQ|－|PR|≤|PF2|＋1－(|PF1|－1)＝|PF2|－|PF1|＋2＝2a＋2＝10.故选B.
2．答案：x2－＝1　－1
解析：如图1，因为圆C被x轴截得的弦长为4，被y轴分成两部分的弧长之比为1∶2，
所以|AB|＝4，∠DCE＝120°，
所以DE，AB中点F，G，则|AG|＝2，∠DCF＝60°，DF⊥FC，AG⊥GC，所以|CF|＝|DC|，
故设C(x，y)，圆C半径为r，则|GC|＝|y|，|CF|＝|x|，|CF|＝|x|＝|DC|＝r，|AC|＝r＝＝，
所以r2＝4x2＝4＋y2，即x2－＝1，
所以圆心C的轨迹方程为x2－＝1，表示双曲线，焦点为N(，0)，F1(－，0).
　
如图2，连接CF1，由双曲线的定义得|CF1|－|CN|＝2，即|CF1|－2＝|CN|，
所以△CMN周长为|CM|＋|CN|＋|MN|＝|CM|＋|CF1|＋|MN|－2，
因为|CM|＋|CF1|≥|MF1|＝，|MN|＝1，
所以△CMN周长的最小值为－1.
3．解析：(1)∵椭圆的方程为x2＋4y2＝4，
∴椭圆的方程为＋y2＝1，a2＝4，b2＝1，c2＝3，
∴c＝.
∵A，B分别为椭圆＋y2＝1的左焦点和右焦点，
∴A(－，0)，B(，0)，
∴|AB|＝2，∴线段AB的长度为2.
(2)△ABC中根据正弦定理得：＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)，
∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，
∵sin B－sin A＝sin C，
∴－＝×，
∴|AC|－|BC|＝|AB|＝<|AB|＝2.
∴C点的轨迹是以A，B为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点，
设该双曲线方程为－＝1(x>a1)，
且|AC|－|BC|＝＝2a1，|AB|＝2＝2c1，
∴a1＝，c1＝，b＝c－a＝，
∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x>).