3.2.2双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质（含解析）

第1课时　双曲线的简单几何性质
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．[2023·河南商丘高二检测]双曲线－y2＝－1的焦点坐标为(　　)
A．(－3，0)，(3，0) B．(0，－3)，(0，3)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
2．下列双曲线中，以(2，0)为一个焦点，以(1，0)为一个顶点的双曲线方程是(　　)
A．－y2＝1 B．－y2＝1
C．x2－＝1 D．x2－y2＝1
3．若双曲线C两条渐近线方程是y＝±x，则双曲线C的离心率是(　　)
A． B．
C．2 D．
4．[2023·福建厦门外国语学校高二测试]若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为(　　)
A． B．
C． D．
5．[2023·重庆九龙坡高二测试]若双曲线C：－y2＝1的焦距为2，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B．2x±y＝0
C．x±y＝0 D．x±y＝0
6．[2023·江苏南通高二检测](多选)设双曲线C：－＝1(b>0)的焦点为F1，F2，若点P(2，1)在双曲线C上，则(　　)
A．双曲线C的离心率为2
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C．||PF1|－|PF2||＝2
D．PF1·PF2＝2
7．双曲线－x2＝1的实轴长为________．
8．[2023·湖北华中师大附中高二检测]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，一个焦点为(2，0)，则a＝________．
关键能力综合练 进阶训练第二层
1．若离心率为的双曲线与椭圆＋＝1的焦点相同，则双曲线的方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
2．已知幂函数y＝x－1的图象是等轴双曲线C，且它的焦点在直线y＝x上，则下列曲线中，与曲线C的实轴长相等的双曲线是(　　)
A．＋＝1 B．－＝1
C．x2－y2＝1 D．－＝1
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
4．[2023·福建厦门一中高二检测]若双曲线C：－＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的焦距为(　　)
A．8 B．10
C．12 D．16
5．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(3，0)，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，则双曲线C的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．
6．[2023·江苏宿迁高二测试](多选)双曲线－＝1的焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论正确的是(　　)
A．该双曲线的离心率为
B．该双曲线的渐近线方程为y＝±x
C．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为16
D．点P到两渐近线的距离乘积为
7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过三点(－2，0)，(－2，2)，(4，－2)中的两点，则C的方程为________．
8．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是渐近线上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，PF2·F1F2＝0，则双曲线C的离心率为________．
9．[2023·山东烟台高二测试]双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e＝，且过点M(－2，2).
(1)求a，b的值；
(2)求与双曲线C有相同渐近线，且过点P(，2)的双曲线的标准方程．
10．[2023·湖南益阳高二检测]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线C的右支上，且|MF1|－|MF2|＝2，离心率e＝2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若∠F1MF2＝60°，求△F1MF2的面积．
核心素养升级练 进阶训练第三层
1．[2023·山西吕梁高二检测]已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0)(c>0)，M是双曲线的左支上的一点，线段MF与圆B：(x－)2＋y2＝相切于点D，且|MF|＝4|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为(　　)
A．2x±y＝0 B．2x±3y＝0
C．2x±7y＝0 D．4x±7y＝0
2．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos ∠BAC＝－，AB⊥BD，则E的离心率为________．
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线的右支上一点．
(1)求|PF1|的最小值；
(2)若右支上存在点P满足|PF1|＝4|PF2|，求双曲线的离心率的取值范围．
第1课时　双曲线的简单几何性质
必备知识基础练
1．答案：D
解析：方程－y2＝－1可化为y2－＝1，所以双曲线－y2＝－1的焦点在y轴上，且a＝1，b＝，所以c＝＝，
所以双曲线y2－＝1的焦点坐标为(0，－)，(0，).故选D.
2．答案：C
解析：因为双曲线的一个焦点是(2，0)，故可设双曲线方程为－＝1，且a2＋b2＝4；
又(1，0)为一个顶点，故可得a＝1，解得b2＝3，
则双曲线方程为x2－＝1.故选C.
3．答案：A
解析：由渐近线方程可知＝1，则＝ ＝.故选A.
4．答案：A
解析：因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，而e＝＝＝2，所以＝，
故两条渐近线中一条的倾斜角为，一条的倾斜角为，它们所成的锐角为.故选A.
5．答案：A
解析：因为双曲线C：－y2＝1的焦距为2，所以c＝，
所以a2＋b2＝m＋1＝()2，解得m＝1，所以a＝1，b＝1，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.故选A.
6．答案：BC
解析：依题意，－＝1，解得b＝，双曲线C：－＝1的实半轴长a＝，半焦距c＝，
双曲线C的离心率e＝＝，A不正确；
双曲线C的渐近线方程为y＝±x，B正确；
||PF1|－|PF2||＝2a＝2，C正确；
F1(－，0)，F2(，0)，则PF1＝(－－2，－1)，PF2＝(－2，－1)，
有PF1·PF2＝(－－2)(－2)＋(－1)·(－1)＝－1，D不正确．故选BC.
7．答案：6
解析：由－x2＝1得，a＝3，所以实轴长为2a＝6.
8．答案：1
解析：依题意双曲线的渐近线y＝x＝x，＝，
由焦点(2，0)得c＝2，由，解得a＝1，b＝.
关键能力综合练
1．答案：A
解析：由题知在椭圆中c2＝40－15＝25，
∴焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，
∴在双曲线中，焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，c＝5，
∵e＝＝，
∴a＝3，a2＝9，b2＝c2－a2＝16，
故双曲线的方程为－＝1.故选A.
2．答案：B
解析：由双曲线几何性质知，双曲线的焦点在实轴上，实轴与双曲线的交点A1(－1，－1)，A2(1，1)是双曲线的顶点，故双曲线C的实轴长＝|A1A2|＝2，
显然选项A表示的是圆；选项B的双曲线实轴长为2；选项C双曲线的实轴长为2；选项D的双曲线实轴长为4.故选B.
3．答案：C
解析：由已知及双曲线的对称性可得tan 30°＝，所以c＝b.所以a＝＝b，所以＝，所以C的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选C.
4．答案：A
解析：由－＝1，则该双曲线的渐近线方程为y＝±x，
不妨设直线2x－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则4－()2＝()2，解得a2＝12，所以c2＝a2＋4＝16，所以c＝4.故该双曲线的焦距为2c＝8.故选A.
5．答案：A
解析：因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(3，0)，
且渐近线方程为bx±ay＝0，所以焦点F到渐近线的距离为d＝＝1，
化简得a2＝8b2，
所以双曲线的离心率e＝ ＝＝.故选A.
6．答案：BCD
解析：由双曲线的标准方程可知：
a2＝9 a＝3，b2＝16 b＝4，c2＝9＋16＝25 c＝5，
A：e＝＝，故A错误；
B：渐近线为y＝±x y＝±x，故B正确；
C：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则 2mn＝4c2－4a2 mn＝32，
S△PF1F2＝mn＝16，故C正确；
D：设P(x0，y0)，则－＝1 16y－9x＝144，
双曲线渐近线为3x＋4y＝0，3x－4y＝0，
∴点P到两渐近线的距离乘积为·＝＝，故D正确．故选BCD.
7．答案：－＝1
解析：根据双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的对称性可知，点(－2，0)，(4，－2)在双曲线图象上，将其代入双曲线方程，所以解得
所以双曲线C：－＝1.
8．答案：
解析：不妨设P在第一象限，因为PF2·F1F2＝0，则P(c，)，依题意＝2c，所以＝2，离线率e＝＝ ＝.
9．解析：(1)因为离心率为e＝＝＝ ＝，所以b2＝4a2.
又因为点M在双曲线C上，所以－＝1.
联立上述方程，解得a2＝1，b2＝4，即a＝1，b＝2.
(2)设所求双曲线的方程为x2－＝λ，
由双曲线经过点P，得3－＝λ，即λ＝－2.
所以双曲线的方程为x2－＝－2，其标准方程为－＝1.
10．解析：(1)由题意|MF1|－|MF2|＝2a，∴2a＝2 a＝1，
又e＝＝2 c＝2，∴b2＝c2－a2＝3，
故双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)令|MF1|＝m，|MF2|＝n，
则由双曲线定义可得m－n＝2，　①
由三角形余弦定理得m2＋n2－2mn·cos 60°＝4c2＝16，　②
①2－②有mn＝12，
∴△F1MF2的面积S＝mn·sin 60°＝3.
核心素养升级练
1．答案：D
解析：设双曲线的左焦点为F′(如图所示)，
由|BF|＝，|BF′|＝c，可知|F′F|＝4|BF|，
又由|MF|＝4|DF|，可知BD∥MF′，
有F′M⊥MF，|MF′|＝4×＝，|MF|＝2a＋，在Rt△MFF′中，4c2＝b2＋(2a＋b)2，得＝，故双曲线Γ的渐近线方程为y＝±x.故选D.
2．答案：
解析：由cos ∠BAC＝－，AB⊥BD，
则cos ∠BAF1＝，∠ABF1＝，
设|AF1|＝5t，
则|AB|＝3t，|BF1|＝4t，
由双曲线的性质可得|AF2|＝5t－2a，|BF2|＝4t－2a，
则9t－4a＝3t，
即t＝a，
即|AF1|＝a，|AF2|＝a，|BF1|＝a，|BF2|＝a，
在直角△BF1F2中，
由勾股定理可得(2c)2＝|BF1|2＋|BF2|2，
即9c2＝17a2，
即e＝＝.
3．解析：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，P(x，y)(x≥a)，
则|PF1|＝＝
＝＝ ＝|x＋a|＝x＋a≥·a＋a＝a＋c，当P在右顶点时，|PF1|最小，所以|PF1|的最小值为a＋c.
(2)设∠F1PF2＝θ，θ∈(0，π].
依题意，解得，
由余弦定理得cos θ＝＝＝－e2，即－1≤－e2<1，得1