3.2.2双曲线的简单几何性质 第2课时 直线和双曲线的位置关系（含解析）

第2课时　直线和双曲线的位置关系
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．直线y＝x＋2与双曲线－＝1的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．无法确定
2．直线x－y＝0与双曲线2x2－y2＝2有两个交点为A，B，则|AB|＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
3．[2023·河北石家庄高二测试]已知倾斜角为的直线与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，M(1，3)是弦AB的中点，则双曲线的渐近线的斜率是(　　)
A．± B．±
C．± D．±
4．设点A(－，0)，B(，0)，M为动点，已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值，则点M的轨迹是(　　)
A．－y2＝1(y≠0) B．－x2＝1(y≠0)
C．－y2＝1(y≠0) D．－x2＝1(y≠0)
5．双曲线方程为－＝1，F1，F2为其左、右焦点，过右焦点F2的直线与双曲线右支交于点A和点B，满足|AF1|＝|AB|，cos ∠ABF1＝，则该双曲线的离心率为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
6．[2023·山东烟台高二测试](多选)已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则(　　)
A．该双曲线的虚轴长为2
B．该双曲线的焦距为2
C．该双曲线的离心率为
D．直线x－y＋2＝0与该双曲线有两个公共点
7．[2023·江苏连云港高二测试]已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作斜率为2的弦AB.则AB的长是________．
8．[2023·山西大同高二检测]已知双曲线－＝1被直线截得的弦AB，弦的中点为M(4，2)，则直线AB的斜率为________．
关键能力综合练 进阶训练第二层
1．如图所示为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．杯子整体可以近似看作是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上杯口外直径为，下底座外直径为，杯身最细之处到上杯口的距离是到底座下边缘距离的2倍，若双曲线C的离心率为2，则唐·金筐宝钿团花纹金杯高是(　　)
　
A.4 B．4
C．6 D．4
2．若直线y＝kx与双曲线x2－y2＝1的两支各有一个交点，则实数k的取值范围是(　　)
A．[－1，1]
B．[－1，0)∪(0，1]
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1，1)
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4，2)，则该双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C． D．2
4．[2023·福建厦门高二检测]过点P(1，2)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
5．[2023·重庆高二测试](多选)已知两点A(－2，0)，B(2，0)，若直线上存在点P，使得|PA|－|PB|＝2，则称该直线为“点定差直线”，下列直线中，是“点定差直线”的有(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝3x＋1
C．y＝2x＋4 D．y＝x＋3
6．[2023·广东中山高二测试](多选)过双曲线C：－y2＝1的左焦点F作直线l交C于A，B两点，则(　　)
A．若|AB|＝1，则直线l只有1条
B．若|AB|＝2，则直线l有2条
C．若|AB|＝3，则直线l有3条
D．若|AB|＝4，则直线l有3条
7．[2023·河南商丘高二检测]已知直线l：x＋y＝0与双曲线C：－＝1无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为________．
8．已知双曲线C：x2－y2＝－1，过P(2，1)作直线l与双曲线C交于A，B两点，且P为弦AB的中点，则直线l的方程为____________________．
9．[2023·江苏宿迁高二检测]双曲线C：－＝1的右焦点为F2，直线l过点F2且与双曲线C交于A，B两点，直线l的倾斜角为30°，O为坐标原点．
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面积．
10．如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早s(注：信号每秒传播V0 km).
(1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？
核心素养升级练 进阶训练第三层
1．[2023·山东德州高二检测](多选)双曲线具有如下光学性质：如图F1，F2是双曲线的左、右焦点，从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1.若双曲线C的方程为－＝1，则(　　)
A．双曲线的焦点F2到渐近线的距离为
B．若m⊥n，则|PF1||PF2|＝42
C．当n过点Q(3，6)时，光线由F2→P→Q所经过的路程为8
D．反射光线n所在直线的斜率为k，则|k|∈[0，)
2．直线mx－y＋2m＝0与曲线x2－y|y|＝1恰有两个交点，则实数m的取值范围为________．
3．已知双曲线：C：－＝1(a>0，b>0)与＋y2＝1有相同的焦点，且经过点M(，－).
(1)求双曲线C的方程；
(2)是否存在以P(1，2)为中点作双曲线C的一条弦AB，如果存在，求弦AB所在直线的方程．
第2课时　直线和双曲线的位置关系
必备知识基础练
1．答案：B
解析：由得－＝1，整理得6x＝－13，
所以x＝－，故直线和双曲线只有一个交点；
又双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
y＝x＋2与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点．
所以直线和双曲线的位置关系为相交．故选B.
2．答案：C
解析：由，得，，
∴|AB|＝ ＝4.故选C.
3．答案：A
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝1，＝3，＝1.
由，
可得－＝0，
则－＝0，即a2＝3b2，则a＝b，
则双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率为±＝±.故选A.
4．答案：C
解析：设动点M(x，y)，则x≠±，
则kMA＝，kMB＝，(x≠±)，
∵直线AM与直线BM的斜率之积为定值，
∴·＝，化简可得，－y2＝1(y≠0)，
故点M的轨迹方程为－y2＝1(y≠0).故选C.
5．答案：C
解析：由题意|AF1|－|AF2|＝|AB|－|AF2|＝|BF2|＝2a，又|BF1|－|BF2|＝2a，∴|BF1|＝4a，
在△BF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1||BF2|cos ∠ABF1，
4c2＝16a2＋4a2－2×4a×2a×，c2＝a2，所以e＝＝.故选C.
6．答案：BD
解析：由题意设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，
所以，解得a＝2，b＝1，双曲线方程为－y2＝1，
所以c＝＝，
对于A，该双曲线的虚轴长为2，所以A错误；
对于B，该双曲线的焦距为2c＝2，所以B正确；
对于C，该双曲线的离心率为e＝＝，所以C错误；
对于D，由，得3x2＋16x＋20＝0，因为Δ＝162－4×3×20＝16>0，所以方程3x2＋16x＋20＝0有两个不相等的实根，所以直线x－y＋2＝0与该双曲线有两个公共点，所以D正确．故选BD.
7．答案：25
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，双曲线的左焦点为F1(－3，0)，
则直线AB的方程为y＝2(x＋3)，
由得，x2＋9x＋14＝0，
∴x1＋x2＝－9，x1x2＝14，则|AB|＝·＝·＝25.
8．答案：1
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然x1≠x2，
则有－＝1，－＝1，
两式作差可得，－－＋＝0，即＝，
又弦的中点为M(4，2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，代入可得y1－y2＝x1－x2，
即＝1，所以直线AB的斜率为1.
此时直线方程为y－2＝x－4，即y＝x－2，
联立直线与双曲线方程可得x2－8x＋12＝0，Δ＝(－8)2－4×1×12＝16>0，即直线与双曲线相交，所以直线AB的斜率为1满足条件．
关键能力综合练
1．答案：C
解析：因为金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，杯身最细处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍．
所以M(，2m)，N(，－m)(m>0)，且M、N都在双曲线－＝1上，离心率e＝2，
所以，解得，则杯高为3m＝6.故选C.
2．答案：D
解析：由双曲线x2－y2＝1，得渐近线方程为y＝±x，
由题意得，直线y＝kx应该在两条渐近线之间，如图得，k∈(－1，1).故选D.
3．答案：B
解析：设弦的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
－＝1，－＝1，
两式作差整理得－＝0.
∵斜率为1，弦的中点为(4，2)，
∴＝1，＝4，＝2，
∴a2＝2b2，即b2＝a2，
∴c2＝a2＋b2＝a2.故e＝ ＝.故选B.
4．答案：D
解析：如图所示，双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±x，点P(1，2)在双曲线外部，
则过点P和双曲线有且仅有一个公共点的直线，包括两条和渐近线平行的直线l1，l4，
还有两条和双曲线相切的直线l2，l3，因此过点P和双曲线有且仅有一个公共点的直线有4条．故选D.
5．答案：AD
解析：因为|PA|－|PB|＝2<|AB|，故P点的轨迹方程为双曲线的右支，其中a＝1，c＝2，则b2＝c2－a2＝4－1＝3，所以双曲线为x2－＝1(x>0)，渐近线方程为y＝±x，y＝x＋1的斜率为1<，故与x2－＝1(x>0)有交点，A正确；
y＝3x＋1的斜率为3>，且与y轴交点为(0，1)，故与x2－＝1(x>0)无交点，B错误；
y＝2x＋4的斜率为2>，且与y轴交点为(0，4)，故与x2－＝1(x>0)无交点，C错误；
y＝x＋3的斜率为<，故与x2－＝1(x>0)有交点，D正确．故选AD.
6．答案：ABD
解析：因为双曲线C：－y2＝1的左焦点F的坐标为(－，0)，
该双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若直线l的斜率不存在，则l的方程为x＝－，代入双曲线，得y＝±，此时|AB|＝1；
若直线l的斜率存在，可设l的方程为y＝k(x＋)，
可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由联立可得(1－4k2)x2－8k2x－20k2－4＝0，
为使l与双曲线有两个不同的交点，
则，
可得k≠±，
由韦达定理可得，
所以|AB|＝＝.
A选项，由＝1可得，k无解，因此若|AB|＝1，则l的方程只有x＝－，A正确；
B选项，由＝2，可得4＋4k2＝±(2－8k2)，解得k＝±，
因此若|AB|＝2，则l的方程为y＝±(x＋)，B正确；
C选项，由＝3，可得4＋4k2＝±(3－12k2)，解得k＝±，
因此若|AB|＝3，则l的方程为y＝±(x＋)，C错误；
D选项，由＝4，可得4＋4k2＝±(4－16k2)，解得k＝0或k＝±，
因此若|AB|＝4，则l的方程为y＝±(x＋)或x＝0，D正确．故选ABD.
7．答案：(1，]
解析：双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝－x，
因为直线y＝－x与双曲线无公共点，
所以－≥－1，即≤1，
所以e＝＝≤，
又e>1，
所以离心率的取值范围为(1，].
8．答案：2x－y－3＝0
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∵A，B在双曲线上，∴，
①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，
即4(x1－x2)＝2(y1－y2)，
即kAB＝＝＝2，
∴直线AB：y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0，
由 3x2－12x＋8＝0，∵Δ>0，故2x－y－3＝0与双曲线有两个交点满足题意，
故l的方程为2x－y－3＝0.
9．解析：(1)由题意，双曲线C：－＝1，a2＝6，b2＝3，c2＝a2＋b2＝9，
故右焦点F2(3，0)，直线l的倾斜角为30°，故斜率k＝tan 30°＝，
直线l的方程为y＝(x－3)＝x－，
联立直线与双曲线：，可得x2＋12x－36＝0，Δ>0，
不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，
由弦长公式|AB|＝ ×＝8.
(2)由题意，求解△AOB的面积，AB边的高即为原点O到AB的距离d，
直线AB：y＝x－ x－y－＝0，
故d＝＝，
S△AOB＝|AB|×d＝×8×＝6.
10．解析：(1)设观察员可能出现的位置为点P(x，y)，
由题意，得|PB|－|PA|＝×V0＝40<|AB|＝60，
故点P的轨迹为双曲线的左支，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0，x<0)，又2a＝40，2c＝60，
所以b2＝c2－a2＝500，
故点P的轨迹方程为－＝1(x<0).
(2)设轨迹上一点为M(x，y)，
则|MC|＝＝，
又－＝1，所以x2＝y2＋400，
所以|MC|＝
＝ ≥20，
当且仅当y＝时，|MC|取得最小值20，
故扫描半径r至少是20 km.
核心素养升级练
1．答案：ABD
解析：对于A，由双曲线C的方程为－＝1知双曲线的渐近线方程为x－2y＝0，
焦点F2(5，0)到直线x－2y＝0的距离为＝，故A正确；
对于B，若m⊥n，则∠F1PF2＝90°.
因为P在双曲线右支上，所以|F1P|－|F2P|＝4.由勾股定理得|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2，
二者联立解得|PF1|·|PF2|＝
＝＝42.故B正确；
对于C，光由F2→P→Q所经过的路程为|F2P|＋|PQ|＝|F1P|－2a＋|PQ|＝|F1P|＋|PQ|－2a＝|F1Q|－2a＝－4＝6，
故C不正确；
对于D，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
设左、右顶点分别为A，B.如图所示：
当m与F2B同向共线时，n的方向为BF2，此时k＝0，最小．
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为|k|<.即|k|∈.故D正确．故选ABD.
2．答案：(－，1)
解析：直线y＝m(x＋2)，斜率为m，恒过点(－2，0)，
y≥0时，曲线为x2－y2＝1，表示双曲线位于x轴上及x轴上方的部分，如图，
一条渐近线方程为y＝x，直线与曲线有两个交点，则0≤m<1，
y<0时，曲线为x2＋y2＝1，表示单位圆位于x轴下方的部分(半圆)，如图，
直线与曲线有两个交点，则，解得－综上所述，m∈(－，1).
3．解析：(1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(±，0)，所以双曲线的焦点坐标为(±，0)，
又因为M(，－)在双曲线上，所以，所以a2＝1，b2＝2，
所以双曲线的方程为x2－＝1.
(2)假设存在，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以，两式相减可得2x－2x＝y－y，
所以2＝，又因为x1＋x2＝2xP＝2，y1＋y2＝2yP＝4，
所以＝kAB＝1，所以弦AB所在直线的方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0，
由得x2－2x－3＝0，所以Δ＝4＋12＝16>0，所求直线与双曲线有2个交点，
故存在，且弦AB所在的直线方程为x－y＋1＝0.