3.3.1抛物线及其标准方程 课时作业（含解析）

3．3.1　抛物线及其标准方程
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．抛物线x2＝4y的焦点到准线的距离为(　　)
A．1　　　 B．2
C．4　　　 D．8
2．抛物线y＝2x2的焦点坐标是(　　)
A．(，0) B．(，0)
C．(0，) D．(0，)
3．[2023·江苏盐城高二检测]准线方程为x＝－2的抛物线的标准方程为(　　)
A．x2＝4y B．x2＝8y
C．y2＝4x D．y2＝8x
4．焦点坐标为(0，1)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－4x B．y2＝4x
C．x2＝－4y D．x2＝4y
5．已知点P在抛物线y2＝2x上．若点P到抛物线焦点的距离为4，则点P的坐标是(　　)
A． B．(，－)
C．(，)或(，－) D．(，)
6．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝8x
C．y2＝－8x D．x2＝－8y
7．[2023·江苏扬州中学高二检测]若曲线y2＝4x上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为________．
8．已知抛物线y＝mx2的准线方程为y＝，则实数m＝________．
关键能力综合练 进阶训练第二层
1．[2023·河北保定高二测试]已知抛物线x2＝4y的焦点为F，若抛物线上一点P到x轴的距离为2，则|PF|的值为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
2．已知抛物线y＝ax2过点(1，2)，则抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(，0) B．(，0)
C．(0，) D．(0，)
3．[2023·江西高二检测]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(3，y0)在抛物线C上，O为坐标原点，若|AF|＝6，则|OA|＝(　　)
A．3 B．3 C．6 D．6
4．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线，如图2，已知该卫星接收天线的口径AB＝a米，深度MO＝b米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则该抛物线的方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝x
C．x2＝y D．x2＝y
5．[2023·山西长治一中高二检测]设A(2，m)是抛物线y2＝ax上一点，若点A到抛物线的焦点距离为3，则抛物线的准线方程是(　　)
A．y＝－1 B．x＝1 C．x＝－1 D．y＝－2
6．[2023·安徽泗县一中高二检测](多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，顶点为O，点M(x0，y0)在抛物线C上，若|MF|＝3，则(　　)
A．x0＝2 B．y0＝2
C．|OM|＝ D．S△OMF＝
7．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，t)与焦点F的距离|MF|＝p，则M到坐标原点的距离为________．
8．[2023·福建福州高二测试]已知点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，y1)，B(，y2)分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若|AF|＝10，则△ABF的面积为________．
9．已知抛物线的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上的点A的横坐标为2，且·＝16，求此拋物线的方程．
10．[2023·广东江门高二测试]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到双曲线－y2＝1的渐近线的距离为1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上一点A到F的距离是4，求点A的坐标．
核心素养升级练 进阶训练第三层
1．[2023·湖南怀化高二测试]设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
2．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________．
3．[2023·江苏常州高二测试]在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，且椭圆C1与抛物线C2：y2＝2px(p>0)在第一象限的交点为Q，已知∠F1QF2＝60°.
(1)求△F1QF2的面积；
(2)求抛物线C2的标准方程．
3．3.1　抛物线及其标准方程
必备知识基础练
1．答案：B
解析：2p＝4，p＝2，所以焦点到准线的距离为2.故选B.
2．答案：D
解析：抛物线y＝2x2的方程为x2＝y，所以焦点在y轴，由2p＝，所以焦点坐标为(0，).故选D.
3．答案：D
解析：因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝8x.故选D.
4．答案：D
解析：对于A，y2＝－4x的焦点坐标为，A错误；
对于B，y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，B错误；
对于C，x2＝－4y的焦点坐标为(0，－1)，C错误；
对于D，x2＝4y的焦点坐标为(0，1)，D正确．故选D.
5．答案：C
解析：对于抛物线y2＝2x，2p＝2，＝，准线方程为x＝－＝－，
设点P(x0，y0)，根据抛物线的定义得
点P到抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离为x0＋＝4，所以x0＝，
则y＝2×＝7，y0＝±，所以点P的坐标为或．故选C.
6．答案：AD
解析：当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.故选AD.
7．答案：3
解析：因为点P到焦点的距离为4，
所以点P到抛物线准线x＝－1的距离为4，
所以点P到y轴的距离为3.
8．答案：－2
解析：由y＝mx2可得x2＝·y，则其准线为y＝－＝，得m＝－2.
关键能力综合练
1．答案：C
解析：抛物线上一点P到x轴的距离为2，抛物线的准线方程为y＝－1，
由抛物线的定义可知，＝2－(－1)＝3.故选C.
2．答案：D
解析：因为抛物线y＝ax2过点(1，2)，
所以2＝a，所以抛物线方程为y＝2x2，
方程化成标准方程为x2＝y，
故抛物线的焦点坐标为(0，).故选D.
3．答案：B
解析：由题意可得|AF|＝3＋＝6，解得p＝6，
则y＝2×6×3＝36，
故|OA|＝＝3.故选B.
4．答案：A
解析：设抛物线方程为y2＝2px，
依题意A(b，)，代入y2＝2px(p>0)得＝2pb，2p＝，所以抛物线方程为y2＝x.故选A.
5．答案：C
解析：抛物线y2＝ax的准线方程为x＝－，
因点A(2，m)在抛物线上，∴a>0，
由A到抛物线的焦点距离为3得2＋＝3.解得＝1，
所以抛物线的准线方程为x＝－1.故选C.
6．答案：AD
解析：对A：由题意可知F(1，0)，由|MF|＝x0＋1＝3，可得x0＝2，故A正确；
对B：当x＝2时，y2＝8，解得y＝±2，即y0＝±2，故B错误；
对C：|OM|＝ ＝＝2，故C错误；
对D：S△OMF＝×|OF|×|y0|＝×1×2＝，故D正确．故选AD.
7．答案：3
解析：抛物线y2＝2px的准线为x＝－，由抛物线定义得3－＝p，解得p＝6，
抛物线方程为y2＝12x，而M(3，t)在抛物线上，则t2＝36，原点为O，即有|MO|＝＝3，
所以M到坐标原点的距离为3.
8．答案：42
解析：因为|AF|＝2＋＝10，所以p＝16，抛物线的方程为y2＝32x，把x＝代入方程，得y＝－4(y＝4舍去)，
即B(，－4).同理A(2，8)，直线AB的方程为＝，即y＝8x－8.所以直线AB与x轴交于点C(1，0)，
所以S△ABF＝×(8－1)×|y1－y2|＝42.
9．解析：依题意可知，抛物线开口向右，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
设A(2，y0)，F(，0)，y＝2p×2＝4p，
＝(2－，y0)，
由于·＝16，所以(2－，y0)·(2，y0)＝4－p＋y＝4－p＋4p＝3p＋4＝16，
解得p＝4，
所以抛物线方程为y2＝8x.
10．解析：(1)根据题意，抛物线的焦点F为，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，
则焦点F到双曲线－y2＝1的渐近线的距离为＝1，解得p＝4(负值舍去)，
故抛物线的方程为y2＝8x.
(2)设A(x0，y0)，由抛物线的定义可知|AF|＝x0＋＝4，即x0＋＝4，解得x0＝2，
将x0＝2代入抛物线方程y2＝8x，得y0＝±4，
所以点A的坐标为(2，4)或(2，－4).
核心素养升级练
1．答案：C
解析：y2＝4×3＝12>22＝4，所以点B(3，2)在抛物线的内部，过点P作抛物线的准线l：x＝－1的垂线PA，由抛物线的定义得|PF|＝|PA|，
∴|PB|＋|PF|＝|PB|＋|PA|≥|AB|＝3＋1＝4，
当且仅当P、B、A三点共线时，等号成立，
因此|PB|＋|PF|的最小值为4.故选C.
2．答案：6
解析：因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.
3．解析：(1)由椭圆方程知a＝2，b＝1，c＝，F1(－，0)，F2(，0)，
设|QF1|＝m，|QF2|＝n，则
即求得mn＝，
所以△F1QF2的面积为mn sin 60°＝××＝.
(2)设Q(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
由(1)中S△F1QF2＝×|F1F2|×y0＝y0＝，得y0＝，
又＋y＝1，x0＝，所以Q(，)
代入抛物线方程得2＝2p×，所以p＝，
所以抛物线的标准方程为y2＝x.