3.3.2抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 课时作业（含解析）

第1课时　抛物线的简单几何性质
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．[2023·安徽合肥高二测试]顶点在原点，准线方程为x＝的抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝3x D．y2＝－3x
2．若抛物线y2＝mx的焦点与椭圆＋＝1的左焦点重合，则m的值为(　　)
A．4　　　B．－4 C．2　　　D．－2
3．[2023·湖北武汉高二测试]抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点(－5，2)在抛物线上，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝－2x B．y2＝－4x
C．y2＝2x D．y2＝4x
4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线l与抛物线C交于A，B两点，若|AB|＝8，则p＝(　　)
A．1　　　B．2 C．4　　　D．8
5．过抛物线y2＝2x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为4，则|AB|＝(　　)
A．10 B．9
C．6 D．5
6．[2023·河北邯郸高二检测](多选)对于抛物线x2＝y，下列描述正确的是(　　)
A．开口向上，焦点为(0，2)
B．开口向上，焦点为(0，)
C．焦点到准线的距离为4
D．准线方程为y＝－4
7．抛物线C：y2＝2px的焦点F恰好是圆(x－1)2＋y2＝1的圆心，过点F且倾斜角为45°的直线l与C交于不同的A，B两点，则|AB|＝________．
8．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝72x上，则这个三角形的边长是________．
关键能力综合练 进阶训练第二层
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2，则p＝(　　)
A．2 B．2或4
C．1或2 D．1
2．[2023·江苏连云港高二测试]已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线C的标准方程是(　　)
A．x2＝－8y
B．y2＝16x或x2＝－8y
C．x2＝－12y
D．y2＝16x
3．圆心在抛物线x2＝2y(x>0)上，并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2－x－2y－＝0
B．x2＋y2＋2x－2y＋1＝0
C．x2＋y2－x－2y＋1＝0
D．x2＋y2－2x－y＋＝0
4．[2023·广西钦州高二检测]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若＝3，则点P到准线l的距离为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
5．(多选)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，经过A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN交抛物线于点Q，连接QF，NF，NB，NA.下列说法正确的是(　　)
A．|MN|＝|AB|
B．FN⊥AB
C．Q是线段MN的一个三等分点
D．∠QFM＝∠QMF
6．[2023·江西抚州高二检测](多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为θ的直线l与抛物线C交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，其中点M在第一象限，若cos θ＝，|MN|＝，则下列说法正确的是(　　)
A．焦点F到准线的距离为6
B．x1x2＝
C．y1y2＝－9
D．＝
7．过抛物线y2＝4x的焦点的直线和抛物线交于A，B两点，若弦|AB|＝8，则该直线方程是________．
8．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，则抛物线的方程为________________．
9．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点A(4，m)(m>0)到其准线的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知O为原点，点B在抛物线C上，若△AOB的面积为6，求点B的坐标．
10．[2023·江苏省镇江一中高二测试]已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是F(1，0)，斜率为的直线l经过F且与抛物线相交于A，B两点．
(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；
(2)求线段AB的长．
核心素养升级练 进阶训练第三层
1．[2023·广东东莞高二测试]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，若以线段PQ为直径的圆与直线x＝5相切，则＝(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
2．已知直线l是抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线，半径为的圆过抛物线的顶点O和焦点F，且与l相切，则抛物线C的方程为________；若A为C上一点，l与C的对称轴交于点B，在△ABF中，sin ∠AFB＝sin ∠ABF，则|AB|的值为________．
3．[2023·江苏常州高二检测]抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然．如图所示，今有抛物线y2＝2px(p>0)，一光源在点M(，4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：2x－4y－17＝0上的点N，再反射后又射回点M，设P，Q两点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1)证明：y1y2＝－p2；
(2)求抛物线方程．
第1课时　抛物线的简单几何性质
必备知识基础练
1．答案：D
解析：由题意可知，抛物线的开口向左，设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则＝，所以p＝，所以抛物线的标准方程为y2＝－3x.故选D.
2．答案：B
解析：由题可知抛物线的焦点为(，0)，椭圆左焦点为(－1，0)，∴＝－1 m＝－4.故选B.
3．答案：B
解析：根据题意设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)，因为点(－5，2)在抛物线上，所以有20＝－5m，解得m＝－4，所以抛物线的方程是y2＝－4x.故选B.
4．答案：C
解析：依题可知，2p＝8，所以p＝4.故选C.
5．答案：B
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得＝4，
所以由抛物线的几何意义得|AB|＝x1＋＋x2＋＝8＋1＝9.故选B.
6．答案：AC
解析：由抛物线x2＝y，即x2＝8y，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为(0，2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y＝－2.故选AC.
7．答案：8
解析：由题意知，焦点F(1，0)，则抛物线C：y2＝4x，
直线l：y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，消去y并整理得x2－6x＋1＝0.则x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
8．答案：144
解析：设正三角形ABC的顶点A(0，0)，边长为a(a>0)，
由于正三角形的两个顶点在抛物线y2＝72x上，
根据正三角形和抛物线的对称性可设B(a，a)，
将B点坐标代入抛物线y2＝72x得a2＝72×a，a＝144.
所以正三角形的边长为144.
关键能力综合练
1．答案：B
解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2，
所以，即，代入抛物线方程可得8＝2p(3－)，
整理得p2－6p＋8＝0，解得p＝2或p＝4.故选B.
2．答案：B
解析：直线x－2y－4＝0交x轴于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，－2)，
①当焦点为A(4，0)时，设方程为y2＝2px(p>0)，得＝4，2p＝16，抛物线方程为y2＝16x.
②当焦点为B(0，－2)时，设方程为x2＝－2py(p>0)，得＝2，2p＝8，抛物线方程为x2＝－8y.
综上，抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.故选B.
3．答案：D
解析：由题意设所求圆的圆心为，半径为r，其中a>0，因为抛物线x2＝2y(x>0)的准线方程为y＝－，
且该圆与抛物线的准线及y轴都相切，
所以a＝＋＝r，解得r＝a＝1，
所以该圆的方程为(x－1)2＋2＝1，
即x2＋y2－2x－y＋＝0.故选D.
4．答案：C
解析：由抛物线C：y2＝4x，可知F(1，0)，准线l的方程为x＝－1，
过点P作y轴的垂线，垂足为N，
因为OF∥PN，所以＝＝，
所以|PN|＝4|FO|＝4，
所以点P到准线l的距离为4＋1＝5.故选C.
5．答案：ABD
解析：如图，由抛物线的定义，得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.
又|MN|＝，则|MN|＝＝|AB|，A正确．
由|MN|＝|AB|，|AM|＝|MB|，得|MN|＝|AM|，所以∠MAN＝∠MNA.而∠MNA＝∠CAN，所以∠MAN＝∠CAN，所以△ANC≌△ANF，可知∠ACN＝∠AFN＝90°，所以FN⊥AB，B正确．
在Rt△MNF中，|QN|＝|QF|，可知∠QNF＝∠QFN，所以∠QFM＝∠QMF，D正确．
由∠QFM＝∠QMF，可知|QF|＝|QM|，所以|NQ|＝|QM|，即Q是MN的中点，故C不正确．
6．答案：BCD
解析：根据题意可得sin θ＝＝，故直线l的斜率k＝tanθ＝4，
设直线MN的方程为y＝4(x－)，联立抛物线方程y2＝2px，
可得：24x2－25px＋6p2＝0，显然Δ>0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，y1y2＝－2p＝－p2，
|MN|＝x1＋x2＋p＝，故＋p＝，解得p＝3；
对A：焦点F到准线的距离为p＝3，故A错误；
对B：x1x2＝＝，故B正确；
对C：y1y2＝－p2＝－9，故C正确；
对D：因为p＝3，则24x2－25px＋6p2＝0即24x2－75x＋54＝0，
解得x1＝2，x2＝，则＝＝＝，故D正确．故选BCD.
7．答案：y＝±(x－1)
解析：由题，抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，
设过(1，0)的直线为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得y2－4ty－4＝0，则，
所以|AB|＝·＝·＝4(1＋t2)＝8，
所以t＝±1，
所以该直线方程为x＝±y＋1，即y＝±(x－1).
8．答案：y2＝3x或y2＝－3x
解析：设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，由对称性，知x1＝x2，y2＝－y1，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2y1＝2，所以y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝.
所以所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
9．解析：(1)由抛物线C的方程可得其准线方程x＝－，
依抛物线的性质得＋4＝5，解得p＝2.
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)将A(4，m)代入y2＝4x，得m＝4.
所以A(4，4)，直线OA的方程为y＝x，即x－y＝0.
设B(t2，2t)，
则点B到直线OA的距离d＝，又|OA|＝4，
由题意得×4×＝6，解得t＝－1或t＝3.
∴点B的坐标是(1，－2)或(9，6).
10．解析：(1)由焦点F(1，0)，得＝1，解得p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).
直线l的方程为y＝(x－1).
与抛物线方程联立，得，
消去y，整理得4x2－17x＋4＝0，
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.
所以线段AB的长为.
核心素养升级练
1．答案：C
解析：
抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线x＝－1，
取PQ的中点H，分别过P，Q，H作抛物线准线的垂线，垂足分别为N，M，E，则四边形NPQM为直角梯形，HE为梯形的中位线，|HE|＝(|MQ|＋|NP|).
由抛物线定义可知，|MQ|＝|QF|，|NP|＝|PF|，则|PQ|＝|MQ|＋|NP|，
故|HE|＝|PQ|，即点H到抛物线准线的距离为|PQ|的一半，
则以线段PQ为直径的圆与抛物线的准线相切．又以线段PQ为直径的圆与直线x＝5相切，
则以线段PQ为直径的圆的直径等于直线x＝5与直线x＝－1间的距离．
即|PQ|＝5－(－1)＝6.故选C.
2．答案：y2＝2x　
解析：由题意得圆心的横坐标为p，半径为，
∴p＝ p＝1，
∴抛物线C的方程为y2＝2x.
设A到准线的距离为d，
∵sin ∠AFB＝sin ∠ABF，∴|AB|＝|AF|，
∴＝＝cos ∠ABF，∴∠ABF＝45°，
∴lAB：y＝x＋代入y2＝2x，解得xA＝，yA＝1，
∴|AF|＝xA＋＝1＝d，
∴|AB|＝.
3．解析：(1)根据抛物线的光学性质可知，直线PQ过抛物线的焦点F(，0)，且与x轴不平行，
设直线PQ的方程为x＝my＋，
由消去x并化简得y2－2mpy－p2＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，Δ＝4m2p2＋4p2>0，
则y1y2＝－p2.
(2)依题意，M(，4)，所以y1＝4，x1＝＝，则P(，4)．
设M关于直线l的对称点为M1(m，n)，
则，解得m＝，n＝－1，即M1.
则y2＝－1，x2＝＝，则Q(，－1)，
P(，4)，F(，0)，Q(，－1)三点共线，＝(－，－4)，＝(－，－5)，
所以(－)×(－5)＝－4×(－)，解得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.