3.3.2抛物线的简单几何性质 第2课时 直线和抛物线的位置关系 课时作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.3.2抛物线的简单几何性质 第2课时 直线和抛物线的位置关系 课时作业（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 263.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-11 10:01:40 | ||
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文档简介
第2课时 直线和抛物线的位置关系
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．直线y＝k＋2与抛物线x2＝4y的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
2．已知x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y＝ax2(a>0)的准线相切，则a＝( )
A． B．16 C． D．8
3．[2023·广东深圳高二测试]抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置．当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上．如图所示的太阳灶中，灶深CD即焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为1 m，则灶口直径AB为( )
A．2 m B．3 m
C．4 m D．5 m
4．[2023·湖南益阳高二检测]党的十八大报告指出，必须坚持在发展中保障和改善民生，不断实现人民对美好生活的向往，为响应中央号召，某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4 m的圆形水池来规划喷泉景观．设计如下：在水池中心竖直安装一根高出水面为2 m的喷水管(水管半
径忽略不计)，它喷出的水柱呈抛物线型，要求水柱在与水池中心水平距离为 m处达到最高，且水柱刚好落在池内，则水柱的最大高度为( )
A． m B． m
C． m D． m
5．[2023·福建厦门高二检测]如图，已知直线l与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为(1，1)，则l的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋2＝0
C．x－y＋2＝0 D．x－y－2＝0
6．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2＝－12y B．x2＝12y
C．y2＝12x D．y2＝－12x
7．[2023·山东滨州高二检测]抛物线型塔桥的顶点距水面2米时，水面宽8米，若水面上升1米，则此时水面宽为________米．
8．若抛物线x2＝4y的弦被点A(2，2)平分，则此弦所在直线的斜率为________．
关键能力综合练 进阶训练第二层
1．[2023·浙江温州高二测试]已知抛物线C：y＝x2，过点P(1，0)与抛物线C有且只有一个交点的直线有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
2．[2023·湖南岳阳高二检测]已知直线l交抛物线C：y2＝4x于x轴异侧两点A，B，且·＝12，过O向AB作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程为( )
A．(x－3)2＋y2＝9
B．(x－3)2＋y2＝9(x≠0)
C．(x－3)2＋y2＝9(y≠0)
D．(x－3)2＋y2＝9(x≠0)或(x＋1)2＋y2＝1(x≠0)
3．[2023·山东济南高二检测]已知某抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点A在F的正上方，过点A的直线l与抛物线交于另一点B，满足|BF|＝2|AF|，则钝角∠AFB＝( )
A． B．
C． D．
4．设抛物线的顶点为坐标原点，焦点F的坐标为(1，0)，若该抛物线上两点A，B的横坐标之和为6，则弦|AB|的长的最大值为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
5．[2023·江苏盐城高二检测](多选)泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点M(1，0)，直线l：x＝－2，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论不正确的是( )
A．点P的轨迹曲线是一条线段
B．点P的轨迹与直线l′：x＝－1是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)
C．y＝2x＋6不是“最远距离直线”
D．y＝x＋1是“最远距离直线”
6．过抛物线C：y2＝2px上一点A(1，－4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则( )
A．C的准线方程是x＝－4
B．过C的焦点的最短弦长为8
C．直线MN过定点(0，4)
D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为2x＋y－38＝0
7．设过抛物线焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是________．
8．[2023·北京丰台高二测试]在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px，过点M(m，0)(m≠0)的直线l与抛物线C交于A，B两点．若OA⊥OB，则＝________．
9．[2023·江西赣州高二检测]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，点P(2，y0)在抛物线C上且到焦点F的距离为2.
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)已知点M(2，－1)，直线y＝kx＋1(k≠0)与抛物线C交于A，B两点，记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求＋的值．
10．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB＝10米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．
(1)问船只能否顺利通过该桥？
(2)已知每加一层货箱，船只吃水深度增加1 cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1 cm.若每层小货箱高3 cm，且货物与桥壁需上下留2 cm间隙方可通过，问船只需增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？
核心素养升级练 进阶训练第三层
1．[2022·新高考Ⅰ卷](多选)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为y＝－1
B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2
D．|BP|·|BQ|>|BA|2
2．[2023·广东深圳高二测试]已知点F(1，0)，直线l1：x＝－1，动圆P过点F且与直线l1相切，其圆心P的轨迹为曲线C，C上的动点Q到y轴的距离为d1，到直线l2：x－y＋2＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．
3．[2023·江苏南通高二检测]已知圆C：(x－2)2＋y2＝1，抛物线E：y2＝2px(p>0)，过原点作圆C的切线交抛物线于A，且|OA|＝16.
(1)求抛物线E的方程；
(2)设P是抛物线E上一点，过点P作圆C的两条切线分别交抛物线E于Q，R，若直线QR的斜率为－1，求点P的坐标．
第2课时 直线和抛物线的位置关系
必备知识基础练
1．答案：A
解析：直线y＝k(x－1)＋2过定点(1，2)，
∵12<4×2，
∴(1，2)在抛物线x2＝4y内部，
∴直线y＝k(x－1)＋2与抛物线x2＝4y相交．故选A.
2．答案：A
解析：抛物线的准线方程为y＝－，
圆的方程x2＋y2－6x－7＝0 (x－3)2＋y2＝16，圆心(3，0)，半径为r＝4.
由已知得＝4，解得a＝.故选A.
3．答案：C
解析：由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合，
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
由题意可得D(1，0)是抛物线的焦点，即＝1，可得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，
当x＝1时，|y|＝2，所以|AB|＝4 m．故选C.
4．答案：C
解析：取一截面建系如图，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，记最大高度为h，
依题意可知A(－1.5，2－h)，B(2.5，－h)在抛物线上，故，两式相除有＝，解得h＝ m．故选C.
5．答案：A
解析：由题意可知点D的坐标为(1，1)，故直线OD的斜率为1，因为OD⊥AB，所以直线l的斜率为－1，
则l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.故选A.
6．答案：A
解析：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以＝3，2p＝12，其方程为x2＝－12y.故选A.
7．答案：4
解析：
根据题意，建立如图所示的坐标系，可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
因为顶点距水面2米时，水面宽8米，所以D(4，－2)，
代入方程得p＝4，所以x2＝－8y，
当水面上升1米后，即y＝－1，
代入方程得x2＝8，x＝±2，
所以水面的宽是4米．
8．答案：1
解析：设过点A的弦的端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
直线MN的斜率一定存在，则，
两式作差可得(x1＋x2)(x1－x2)＝4(y1－y2)，
又x1＋x2＝4，因此直线MN的斜率为＝＝1.
关键能力综合练
1．答案：D
解析：抛物线C：y＝x2的对称轴为y轴，直线x＝1过点P且与y轴平行，它与抛物线C只有一个公共点，
设过点P(1，0)与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程为y＝k(x－1)，
由消去y并整理得x2－kx＋k＝0，则Δ＝k2－4k＝0，解得k＝0或k＝4，
因此过点P(1，0)与抛物线C相切的直线有两条，相交且只有一个公共点的直线有一条，
所以过点P(1，0)与抛物线C有且只有一个交点的直线有3条．故选D.
2．答案：B
解析：设直线l：x＝my＋t，将它与抛物线方程联立得y2－4my－4t＝0，则Δ＝16m2＋16t>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－4t，
所以·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝t2－4t＝12，故t＝6或－2，
当t＝－2时，A，B位于x轴同侧，故舍去，所以t＝6，
所以直线l经过定点E(6，0)，由OD⊥AB可知D在以OE为直径的圆(x－3)2＋y2＝9(原点除外)上．故选B.
3．答案：D
解析：由题知，抛物线的焦点为F(，0)，准线方程为x＝－，因为点A在F的正上方，所以点A的坐标为(，p)，
因为∠AFB为钝角，则点B在x轴下方，
所以xB＋＝|BF|＝2|AF|＝2p，解得xB＝p，
即B点坐标为(，p)(舍去)或(，－p).
因为直线BF的斜率为kBF＝＝－，所以直线BF的倾斜角为，故钝角∠AFB＝＋π－＝.故选D.
4．答案：A
解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|≤|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，
当且仅当A，B，F三点共线时，等号成立，
故弦|AB|的长的最大值为8.故选A.
5．答案：BCD
解析：由题意可得，点P到点M的距离比到直线l的距离小1，即等价于“点P到点M的距离等于到直线l′：x＝－1的距离”，故P点轨迹是以M(1，0)为焦点，直线l′：x＝－1为准线的抛物线，其方程是y2＝4x，故A错误；
点P的轨迹方程是抛物线y2＝4x，它与直线l′没有交点，即两者是没有交会的轨迹，故B正确；
要满足“最远距离直线”，则必须满足与抛物线y2＝4x有交点，把y＝2x＋6代入抛物线y2＝4x，消去y并整理得x2＋5x＋9＝0，因为Δ＝52－4×1×9＝－11<0，无解，
所以y＝2x＋6不是“最远距离直线”，故C正确；
把y＝x＋1代入抛物线y2＝4x，消去y并整理得x2－12x＋4＝0，因为Δ＝(－12)2－4×1×4＝128>0，有解，所以y＝x＋1是“最远距离直线”，故D正确．故选BCD.
6．答案：AD
解析：将A(1，－4)代入C中得p＝8，则C为y2＝16x，
所以C的准线方程是x＝－4，故A正确；
由题可知C的焦点为(4，0)，可设过C的焦点的直线为x＝ty＋4，
由，可得y2－16ty－64＝0，设交点为E(xE，yE)，F(xF，yF)，
则yE＋yF＝16t，xE＋xF＝t(yE＋yF)＋8＝16t2＋8≥8，
所以|EF|＝xE＋xF＋8≥16，即过C的焦点的最短弦长为16，故B不正确；
设M(，y1)，N(，y2)，直线MN为x＝my＋n，联立抛物线得y2－16my－16n＝0，
所以y1＋y2＝16m，y1y2＝－16n，又AM⊥AN，
所以·＝(－1，y1＋4)·(－1，y2＋4)
＝＋(y1＋4)(y2＋4)＝0，
因为y1≠－4，y2≠－4，即(y1＋4)(y2＋4)≠0，
所以＋1＝0，整理得y1y2－4(y1＋y2)＋272＝0，
故－16n－64m＋272＝0，得n＝－4m＋17，
所以直线MN为x＝m(y－4)＋17，所以直线MN过定点P(17，4)，故C不正确；
当MN⊥AP时，A到直线MN的距离最大，此时直线MN为2x＋y－38＝0，故D正确．故选AD.
7．答案：相切
解析：过点P作PA垂直于准线，垂足为A，过点Q作QB垂直于准线，垂足为B，设PQ的中点为M，过点M作MN垂直准线，垂足为N，
所以＝MN，
由抛物线定义可得PA＝PF，QB＝QF，
所以＝MN，又PF＋QF＝PQ，
所以＝MN，即圆心M到准线的距离为圆的半径，
所以以PQ为直径的圆与抛物线的准线相切．
8．答案：2
解析：设直线l为x＝ny＋m，
由，得y2－2pny－2pm＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pn，y1y2＝－2pm，
因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，所以y＝2px1，y＝2px2，即x1x2＝，
因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即＋y1y2＝0，
所以＝－1，即2pm＝4p2，又因为m≠0，所以＝2.
9．解析：(1)由题意得，解得p＝2.
从而得到抛物线C的方程为x2＝4y，
准线方程为y＝－1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，
得x2－4kx－4＝0，
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1
∴＋＝＋
＝＋
＝
＝
＝＝＝－2，
所以＋的值为－2.
10．解析：(1)以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：
设抛物线方程为x2＝my，根据题意知点B(5，－4)在抛物线上，∴25＝－4m，∴m＝－，∴x2＝－y.
可设C(3，－4)，过C作AB的垂线，交抛物线于D(3，y0)，
则9＝－y0，∴y0＝－.
∵|CD|＝－－(－4)＝>1.5，∴货箱能顺利通过该桥．
(2)由题(1)知，货物超出高度为×100＝106(cm)，
每增加一层，则船体连货物高度整体上升3＋1＝4(cm)，
由货物与桥壁需留下2 cm间隙．则需要增加层数为＝26层，所以船只能顺利通过该桥，可以增加26层可恰好能从中央通过．
核心素养升级练
1．答案：BCD
解析：将点A(1，1)代入抛物线方程得1＝2p，所以抛物线方程为x2＝y，故准线方程为y＝－，A错误；
kAB＝＝2，所以直线AB的方程为y＝2x－1，
联立，可得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，故B正确；
设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，
所以，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立，得x2－kx＋1＝0，
所以，所以k>2或k<－2，y1y2＝(x1x2)2＝1，
又|OP|＝＝，|OQ|＝＝，
所以|OP|·|OQ|＝＝＝|k|>2＝|OA|2，故C正确；
因为|BP|＝|x1|，|BQ|＝|x2|，
所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2>5，而|BA|2＝5，故D正确．故选BCD.
2．答案：－1
解析：设动圆P的圆心为P(x，y)，
依题意可知，点P到点F的距离等于点P到直线l1：x＝－1的距离，
则＝|x＋1|，两边平方化简得y2＝4x，
即点P的轨迹为抛物线，方程为y2＝4x.
由抛物线的定义可知d1＝|QM|＝|QF|－1，
点F到直线l2：x－y＋2＝0的距离为|FK|＝＝，d1＋d2＝|QF|＋|QN|－1≥|FK|－1＝－1(当且仅当F，Q，N共线时取等号)，即d1＋d2的最小值为－1.
3．解析：(1)设直线OA：y＝kx，d＝＝r＝1，解得k＝±，由对称性，不妨取k＝，解得x＝6p，y＝2p，∴A(6p，2p)，|OA|＝＝＝16，解得p＝4，∴抛物线E：y2＝8x.
(2)设P(x0，y0)，满足y＝8x0，设Q(x1，y1)，R(x2，y2)满足y＝8x1，y＝8x2，
kQR＝＝＝＝－1，即y1＋y2＝－8，
kPQ＝＝＝，
直线PQ：y－y0＝(x－x0)，化为一般式为8x－(y0＋y1)y＋y0y1＝0，由题意知：d＝＝r＝1，
化简得(16＋y0y1)2＝64＋(y0＋y1)2，同理(16＋y0y2)2＝64＋(y0＋y2)2，
故y1，y2为方程：(16＋y0y)2＝64＋(y0＋y)2的两根，
化简整理为(y－1)y2－30y0y＋192－y＝0，
由韦达定理知：y1＋y2＝＝－8，解得y0＝或y0＝－4，∴P(，)或P(2，－4).
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．直线y＝k＋2与抛物线x2＝4y的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
2．已知x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y＝ax2(a>0)的准线相切，则a＝( )
A． B．16 C． D．8
3．[2023·广东深圳高二测试]抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置．当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上．如图所示的太阳灶中，灶深CD即焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为1 m，则灶口直径AB为( )
A．2 m B．3 m
C．4 m D．5 m
4．[2023·湖南益阳高二检测]党的十八大报告指出，必须坚持在发展中保障和改善民生，不断实现人民对美好生活的向往，为响应中央号召，某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4 m的圆形水池来规划喷泉景观．设计如下：在水池中心竖直安装一根高出水面为2 m的喷水管(水管半
径忽略不计)，它喷出的水柱呈抛物线型，要求水柱在与水池中心水平距离为 m处达到最高，且水柱刚好落在池内，则水柱的最大高度为( )
A． m B． m
C． m D． m
5．[2023·福建厦门高二检测]如图，已知直线l与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为(1，1)，则l的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋2＝0
C．x－y＋2＝0 D．x－y－2＝0
6．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2＝－12y B．x2＝12y
C．y2＝12x D．y2＝－12x
7．[2023·山东滨州高二检测]抛物线型塔桥的顶点距水面2米时，水面宽8米，若水面上升1米，则此时水面宽为________米．
8．若抛物线x2＝4y的弦被点A(2，2)平分，则此弦所在直线的斜率为________．
关键能力综合练 进阶训练第二层
1．[2023·浙江温州高二测试]已知抛物线C：y＝x2，过点P(1，0)与抛物线C有且只有一个交点的直线有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
2．[2023·湖南岳阳高二检测]已知直线l交抛物线C：y2＝4x于x轴异侧两点A，B，且·＝12，过O向AB作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程为( )
A．(x－3)2＋y2＝9
B．(x－3)2＋y2＝9(x≠0)
C．(x－3)2＋y2＝9(y≠0)
D．(x－3)2＋y2＝9(x≠0)或(x＋1)2＋y2＝1(x≠0)
3．[2023·山东济南高二检测]已知某抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点A在F的正上方，过点A的直线l与抛物线交于另一点B，满足|BF|＝2|AF|，则钝角∠AFB＝( )
A． B．
C． D．
4．设抛物线的顶点为坐标原点，焦点F的坐标为(1，0)，若该抛物线上两点A，B的横坐标之和为6，则弦|AB|的长的最大值为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
5．[2023·江苏盐城高二检测](多选)泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点M(1，0)，直线l：x＝－2，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论不正确的是( )
A．点P的轨迹曲线是一条线段
B．点P的轨迹与直线l′：x＝－1是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)
C．y＝2x＋6不是“最远距离直线”
D．y＝x＋1是“最远距离直线”
6．过抛物线C：y2＝2px上一点A(1，－4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则( )
A．C的准线方程是x＝－4
B．过C的焦点的最短弦长为8
C．直线MN过定点(0，4)
D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为2x＋y－38＝0
7．设过抛物线焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是________．
8．[2023·北京丰台高二测试]在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px，过点M(m，0)(m≠0)的直线l与抛物线C交于A，B两点．若OA⊥OB，则＝________．
9．[2023·江西赣州高二检测]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，点P(2，y0)在抛物线C上且到焦点F的距离为2.
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)已知点M(2，－1)，直线y＝kx＋1(k≠0)与抛物线C交于A，B两点，记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求＋的值．
10．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB＝10米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．
(1)问船只能否顺利通过该桥？
(2)已知每加一层货箱，船只吃水深度增加1 cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1 cm.若每层小货箱高3 cm，且货物与桥壁需上下留2 cm间隙方可通过，问船只需增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？
核心素养升级练 进阶训练第三层
1．[2022·新高考Ⅰ卷](多选)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为y＝－1
B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2
D．|BP|·|BQ|>|BA|2
2．[2023·广东深圳高二测试]已知点F(1，0)，直线l1：x＝－1，动圆P过点F且与直线l1相切，其圆心P的轨迹为曲线C，C上的动点Q到y轴的距离为d1，到直线l2：x－y＋2＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．
3．[2023·江苏南通高二检测]已知圆C：(x－2)2＋y2＝1，抛物线E：y2＝2px(p>0)，过原点作圆C的切线交抛物线于A，且|OA|＝16.
(1)求抛物线E的方程；
(2)设P是抛物线E上一点，过点P作圆C的两条切线分别交抛物线E于Q，R，若直线QR的斜率为－1，求点P的坐标．
第2课时 直线和抛物线的位置关系
必备知识基础练
1．答案：A
解析：直线y＝k(x－1)＋2过定点(1，2)，
∵12<4×2，
∴(1，2)在抛物线x2＝4y内部，
∴直线y＝k(x－1)＋2与抛物线x2＝4y相交．故选A.
2．答案：A
解析：抛物线的准线方程为y＝－，
圆的方程x2＋y2－6x－7＝0 (x－3)2＋y2＝16，圆心(3，0)，半径为r＝4.
由已知得＝4，解得a＝.故选A.
3．答案：C
解析：由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合，
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
由题意可得D(1，0)是抛物线的焦点，即＝1，可得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，
当x＝1时，|y|＝2，所以|AB|＝4 m．故选C.
4．答案：C
解析：取一截面建系如图，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，记最大高度为h，
依题意可知A(－1.5，2－h)，B(2.5，－h)在抛物线上，故，两式相除有＝，解得h＝ m．故选C.
5．答案：A
解析：由题意可知点D的坐标为(1，1)，故直线OD的斜率为1，因为OD⊥AB，所以直线l的斜率为－1，
则l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.故选A.
6．答案：A
解析：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以＝3，2p＝12，其方程为x2＝－12y.故选A.
7．答案：4
解析：
根据题意，建立如图所示的坐标系，可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
因为顶点距水面2米时，水面宽8米，所以D(4，－2)，
代入方程得p＝4，所以x2＝－8y，
当水面上升1米后，即y＝－1，
代入方程得x2＝8，x＝±2，
所以水面的宽是4米．
8．答案：1
解析：设过点A的弦的端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
直线MN的斜率一定存在，则，
两式作差可得(x1＋x2)(x1－x2)＝4(y1－y2)，
又x1＋x2＝4，因此直线MN的斜率为＝＝1.
关键能力综合练
1．答案：D
解析：抛物线C：y＝x2的对称轴为y轴，直线x＝1过点P且与y轴平行，它与抛物线C只有一个公共点，
设过点P(1，0)与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程为y＝k(x－1)，
由消去y并整理得x2－kx＋k＝0，则Δ＝k2－4k＝0，解得k＝0或k＝4，
因此过点P(1，0)与抛物线C相切的直线有两条，相交且只有一个公共点的直线有一条，
所以过点P(1，0)与抛物线C有且只有一个交点的直线有3条．故选D.
2．答案：B
解析：设直线l：x＝my＋t，将它与抛物线方程联立得y2－4my－4t＝0，则Δ＝16m2＋16t>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－4t，
所以·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝t2－4t＝12，故t＝6或－2，
当t＝－2时，A，B位于x轴同侧，故舍去，所以t＝6，
所以直线l经过定点E(6，0)，由OD⊥AB可知D在以OE为直径的圆(x－3)2＋y2＝9(原点除外)上．故选B.
3．答案：D
解析：由题知，抛物线的焦点为F(，0)，准线方程为x＝－，因为点A在F的正上方，所以点A的坐标为(，p)，
因为∠AFB为钝角，则点B在x轴下方，
所以xB＋＝|BF|＝2|AF|＝2p，解得xB＝p，
即B点坐标为(，p)(舍去)或(，－p).
因为直线BF的斜率为kBF＝＝－，所以直线BF的倾斜角为，故钝角∠AFB＝＋π－＝.故选D.
4．答案：A
解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|≤|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，
当且仅当A，B，F三点共线时，等号成立，
故弦|AB|的长的最大值为8.故选A.
5．答案：BCD
解析：由题意可得，点P到点M的距离比到直线l的距离小1，即等价于“点P到点M的距离等于到直线l′：x＝－1的距离”，故P点轨迹是以M(1，0)为焦点，直线l′：x＝－1为准线的抛物线，其方程是y2＝4x，故A错误；
点P的轨迹方程是抛物线y2＝4x，它与直线l′没有交点，即两者是没有交会的轨迹，故B正确；
要满足“最远距离直线”，则必须满足与抛物线y2＝4x有交点，把y＝2x＋6代入抛物线y2＝4x，消去y并整理得x2＋5x＋9＝0，因为Δ＝52－4×1×9＝－11<0，无解，
所以y＝2x＋6不是“最远距离直线”，故C正确；
把y＝x＋1代入抛物线y2＝4x，消去y并整理得x2－12x＋4＝0，因为Δ＝(－12)2－4×1×4＝128>0，有解，所以y＝x＋1是“最远距离直线”，故D正确．故选BCD.
6．答案：AD
解析：将A(1，－4)代入C中得p＝8，则C为y2＝16x，
所以C的准线方程是x＝－4，故A正确；
由题可知C的焦点为(4，0)，可设过C的焦点的直线为x＝ty＋4，
由，可得y2－16ty－64＝0，设交点为E(xE，yE)，F(xF，yF)，
则yE＋yF＝16t，xE＋xF＝t(yE＋yF)＋8＝16t2＋8≥8，
所以|EF|＝xE＋xF＋8≥16，即过C的焦点的最短弦长为16，故B不正确；
设M(，y1)，N(，y2)，直线MN为x＝my＋n，联立抛物线得y2－16my－16n＝0，
所以y1＋y2＝16m，y1y2＝－16n，又AM⊥AN，
所以·＝(－1，y1＋4)·(－1，y2＋4)
＝＋(y1＋4)(y2＋4)＝0，
因为y1≠－4，y2≠－4，即(y1＋4)(y2＋4)≠0，
所以＋1＝0，整理得y1y2－4(y1＋y2)＋272＝0，
故－16n－64m＋272＝0，得n＝－4m＋17，
所以直线MN为x＝m(y－4)＋17，所以直线MN过定点P(17，4)，故C不正确；
当MN⊥AP时，A到直线MN的距离最大，此时直线MN为2x＋y－38＝0，故D正确．故选AD.
7．答案：相切
解析：过点P作PA垂直于准线，垂足为A，过点Q作QB垂直于准线，垂足为B，设PQ的中点为M，过点M作MN垂直准线，垂足为N，
所以＝MN，
由抛物线定义可得PA＝PF，QB＝QF，
所以＝MN，又PF＋QF＝PQ，
所以＝MN，即圆心M到准线的距离为圆的半径，
所以以PQ为直径的圆与抛物线的准线相切．
8．答案：2
解析：设直线l为x＝ny＋m，
由，得y2－2pny－2pm＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pn，y1y2＝－2pm，
因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，所以y＝2px1，y＝2px2，即x1x2＝，
因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即＋y1y2＝0，
所以＝－1，即2pm＝4p2，又因为m≠0，所以＝2.
9．解析：(1)由题意得，解得p＝2.
从而得到抛物线C的方程为x2＝4y，
准线方程为y＝－1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，
得x2－4kx－4＝0，
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1
∴＋＝＋
＝＋
＝
＝
＝＝＝－2，
所以＋的值为－2.
10．解析：(1)以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：
设抛物线方程为x2＝my，根据题意知点B(5，－4)在抛物线上，∴25＝－4m，∴m＝－，∴x2＝－y.
可设C(3，－4)，过C作AB的垂线，交抛物线于D(3，y0)，
则9＝－y0，∴y0＝－.
∵|CD|＝－－(－4)＝>1.5，∴货箱能顺利通过该桥．
(2)由题(1)知，货物超出高度为×100＝106(cm)，
每增加一层，则船体连货物高度整体上升3＋1＝4(cm)，
由货物与桥壁需留下2 cm间隙．则需要增加层数为＝26层，所以船只能顺利通过该桥，可以增加26层可恰好能从中央通过．
核心素养升级练
1．答案：BCD
解析：将点A(1，1)代入抛物线方程得1＝2p，所以抛物线方程为x2＝y，故准线方程为y＝－，A错误；
kAB＝＝2，所以直线AB的方程为y＝2x－1，
联立，可得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，故B正确；
设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，
所以，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立，得x2－kx＋1＝0，
所以，所以k>2或k<－2，y1y2＝(x1x2)2＝1，
又|OP|＝＝，|OQ|＝＝，
所以|OP|·|OQ|＝＝＝|k|>2＝|OA|2，故C正确；
因为|BP|＝|x1|，|BQ|＝|x2|，
所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2>5，而|BA|2＝5，故D正确．故选BCD.
2．答案：－1
解析：设动圆P的圆心为P(x，y)，
依题意可知，点P到点F的距离等于点P到直线l1：x＝－1的距离，
则＝|x＋1|，两边平方化简得y2＝4x，
即点P的轨迹为抛物线，方程为y2＝4x.
由抛物线的定义可知d1＝|QM|＝|QF|－1，
点F到直线l2：x－y＋2＝0的距离为|FK|＝＝，d1＋d2＝|QF|＋|QN|－1≥|FK|－1＝－1(当且仅当F，Q，N共线时取等号)，即d1＋d2的最小值为－1.
3．解析：(1)设直线OA：y＝kx，d＝＝r＝1，解得k＝±，由对称性，不妨取k＝，解得x＝6p，y＝2p，∴A(6p，2p)，|OA|＝＝＝16，解得p＝4，∴抛物线E：y2＝8x.
(2)设P(x0，y0)，满足y＝8x0，设Q(x1，y1)，R(x2，y2)满足y＝8x1，y＝8x2，
kQR＝＝＝＝－1，即y1＋y2＝－8，
kPQ＝＝＝，
直线PQ：y－y0＝(x－x0)，化为一般式为8x－(y0＋y1)y＋y0y1＝0，由题意知：d＝＝r＝1，
化简得(16＋y0y1)2＝64＋(y0＋y1)2，同理(16＋y0y2)2＝64＋(y0＋y2)2，
故y1，y2为方程：(16＋y0y)2＝64＋(y0＋y)2的两根，
化简整理为(y－1)y2－30y0y＋192－y＝0，
由韦达定理知：y1＋y2＝＝－8，解得y0＝或y0＝－4，∴P(，)或P(2，－4).