4.1.3独立性与条件概率的关系 课时作业（含解析）

4．1.3　独立性与条件概率的关系
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．(多选)已知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，P(AB)＝，P(AC)＝，P(BC)＝，P(BD)＝，则(　　)
A．事件A与事件C相互独立
B．事件A与事件B相互独立
C．事件B与事件C相互独立
D．事件B与事件D相互独立
2．如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，设该数字为x.若设事件A＝“x为奇数”，事件B＝“x为偶数”，事件C＝“x为3的倍数”，事件D＝“x≤3”，其中是相互独立事件的是(　　)
A．事件A与事件B
B．事件B与事件C
C．事件A与事件D
D．事件C与事件D
3．下列A，B为独立事件的是________(写出所有正确选项的序号).
①投掷骰子一次，A：投出点数为3，B：投出点数为2；
②投掷骰子两次，A：第一次投出点数为3，B：第二次投出点数为5；
③从一副52张牌中，随机不放回地依次抽取2张，A：第一张抽中7，B：第二张抽中7；
④从一副52张牌中，随机有放回地依次抽取2张，A：第一张抽中红桃，B：第二张抽中黑桃．
4．从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数．
(1)写出此试验的样本空间；
(2)求组成的两位数是偶数的概率；
(3)判断事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”是否独立，并说明理由．
5．国家大力提倡大学生自主创业．小李大学毕业后在同一城市开了A，B两家小店，每家店各有2名员工．五一期间，假设每名员工请假的概率都是，且是否请假互不影响．若某店的员工全部请假，而另一家店没有人请假，则调剂1人到该店以维持正常运转，否则该店就关门停业．
(1)求有员工被调剂的概率；
(2)求至少有一家店停业的概率．
6．在某校举办的元旦有奖知识问答中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是.
(1)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三人同时回答这道题时恰有一人答错该题的概率．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)下列四个命题正确的为(　　)
A．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为
B．新高考改革实行“3＋1＋2”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任选两科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为
C．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为
8．(多选)抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，事件C＝“两枚骰子出现点数和为8”，事件D＝“两枚骰子出现点数和为9”，则(　　)
A．A与B互斥 B．C与D互斥
C．A与D独立 D．B与C独立
9．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”记为事件A，“第二次摸得白球”记为事件B，那么事件A与B，A与间的关系是(　　)
A.A与B，A与均相互独立
B．A与B相互独立，A与互斥
C．A与B，A与均互斥
D．A与B互斥，A与相互独立
10．甲、乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制(先胜三场者获胜，比赛结束)，根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“客客主主客”，设甲队主场取胜的概率为0.5，客场取胜的概率为0.4，且各场比赛相互独立，则甲队在0∶1落后的情况下最后获胜的概率为(　　)
A．0.24 B．0.25
C．0.2 D．0.3
11．2022年2月6日，中国女足在亚洲杯赛场上以3∶2逆转击败韩国女足，成功夺冠．之前半决赛中，中国女足通过点球大战6∶5惊险战胜日本女足．假设罚点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且即使方向判断正确也有的可能性扑不到球，不考虑其它因素，在一次点球大战中，门将在第一次射门就扑出点球的概率为(　　)
A． B．
C． D．
12．某学校组织数学知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，. 甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响．
(1)求该小组未能进入第二轮的概率；
(2)该小组能进入第三轮的概率；
(3)乙猜歌曲的次数不小于2的概率．
14．某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
4．1.3　独立性与条件概率的关系
必备知识基础练
1．答案：AD
解析：对于A：因为P(A)＝，P(C)＝，P(AC)＝，
P(A)·P(C)＝×＝.
所以P(AC)＝P(A)·P(C)，所以事件A与事件C相互独立，故A正确；
对于B：因为P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，
P(A)·P(B)＝×＝，
所以P(AB)≠P(A)·P(B)，所以事件A与事件B并不相互独立，故B错误；
对于C：因为P(B)＝，P(C)＝，P＝，P(B)·P(C)＝×＝，
所以P≠P(B)·P(C)，所以事件B与事件C并不相互独立，故C错误；
对于D：因为P(B)＝，P(D)＝，P＝，P(B)·P(D)＝×＝，
所以P(BD)＝P(B)·P(D)，所以事件B与事件D相互独立，故D正确．故选AD.
2．答案：B
解析：由题意可得A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}，C＝{3，6}，D＝{1，2，3}，
AB＝ ，BC＝{6}，AD＝{1，3}，CD＝{3} ，
由古典概型概率公式可得：
P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，P(AB)＝0，P(BC)＝，P(AD)＝，P(CD)＝，
所以P(AB)≠P(A)P(B)，P(BC)＝P(B)P(C)，P(AD)≠P(A)P(D)，P(CD)≠P(C)P(D)，
故ACD错误，B正确．故选B.
3．答案：②④
解析：①投掷骰子一次，A：投出点数为3，B：投出点数为2，
则P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝0，
则P(AB)≠P(A)P(B)，则A，B不为独立事件；
②投掷骰子两次，A：第一次投出点数为3，B：第二次投出点数为5，
则P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，
则P(AB)＝P(A)P(B)，则A，B为独立事件；
③从一副52张牌中，随机不放回地依次抽取2张，
A：第一张抽中7，B：第二张抽中7；
则P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
则P(AB)≠P(A)P(B)，则A，B不为独立事件；
④从一副52张牌中，随机有放回地依次抽取2张，
A：第一张抽中红桃，B：第二张抽中黑桃．
则P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
则P(AB)＝P(A)P(B)，则A，B为独立事件．
4．解析：(1)从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数，
则此试验的样本空间为{12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54}．
(2)组成的两位数是偶数的共有8种情况，样本空间共有20种情况，则组成的两位数是偶数的概率为＝.
(3)组成的两位数是3的倍数的共有8种情况，样本空间共有20种情况，
则组成的两位数是3的倍数的概率为＝，
组成的两位数是偶数且为3的倍数共有4种情况，样本空间共有20种情况，
则组成的两位数是偶数且为3的倍数的概率为＝.
记“组成的两位数是偶数” 为事件A; 记“组成的两位数是3的倍数”为事件B，
则“组成的两位数是偶数且为3的倍数” 为事件AB，
则P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由×＝≠，可得P(A)·P(B)≠P(AB)，
则事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”不互相独立．
5．解析：(1)记事件Ai＝“A家小店有i名员工请假”，Bi＝“B家小店有i名员工请假”，其中i＝0，1，2，
由题设知，事件Ai，Bi相互独立，且P(A0)＝P(B0)＝()2＝，
P(A1)＝P(B1)＝2·()2＝，
P(A2)＝P(B2)＝()2＝，
记事件C＝“有员工被调剂”，则C＝A0B2＋A2B0，
且A0B2，A2B0互斥，
所以P(C)＝P(A0B2＋A2B0)＝P(A0)P(B2)＋P(A2)P(B0)＝2××＝，
故有员工被调剂的概率为.
(2)记事件D＝“至少有1家店停业”，则D＝A2B1＋A1B2＋A2B2，
且A2B1，A1B2，A2B2互斥，所以P(D)＝P(A2B1＋A1B2＋A2B2)＝P(A2B1)＋P(A1B2)＋P(A2B2)＝×＋×＋×＝，
故至少有一家店停业的概率为.
6．解析：(1)设A为“甲回答对这道题”，B为“乙回答对这道题”，C为“丙回答对这道题”，则P(A)＝，
而P()＝，故[1－P(A)][1－P(C)]＝，故P(C)＝，
又P(BC)＝P(B)P(C)＝，故P(B)＝.故乙回答对这道题的概率为，丙回答对这道题的概率为.
(2)“甲、乙、丙三人同时回答这道题时恰有一人答错该题”可表示为
AB＋BC＋AC，而P(AB＋BC＋AC)＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)
＝××＋××＋××＝.
关键能力综合练
7．答案：ABD
解析：对于A：抛掷两枚质地均匀的骰子，总的基本事件数为
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种，其中向上点数之和不小于10的有，(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6种，
则向上点数之和不小于10的概率为＝，故A正确；
对于B：某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任选两科参加高考有C＝6种，
选出的两科中含有政治学科的有CC＝3种，则选出的两科中含有政治学科的概率为＝，故B正确；
对于C：该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，则前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，所以该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为(1－)2×＝，故C错误；
对于D：由题意得，解得P(A)＝P(B)＝，故D正确．故选ABD.
8．答案：BC
解析：对于A，记(x，y)表示事件“第一枚点数为x，第二枚点数为y”，则事件A包含事件(1，2)，事件B也包含事件(1，2)，所以A∩B≠ ，故A与B不互斥，故A错误；
对于B，事件C包含的基本事件有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)共5件，事件D包含的基本事件有(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)共4件，故C∩D＝ ，即C与D互斥，故B正确；
对于C，总的基本事件有6×6＝36件，事件A的基本事件有3×6＝18件，故P(A)＝＝，
由选项B知P(D)＝＝，
而事件AD包含的基本事件有(3，6)，(5，4)共2件，
故P(AD)＝＝，
所以P(AD)＝P(A)P(D)，故A与D独立，故C正确；
对于D，事件B的基本事件有6×3＝18件，
故P(B)＝＝，由选项B知P(C)＝，
而事件BC包含的基本事件有(2，6)，(4，4)，(6，2)共3件，故P(BC)＝＝，
所以P(B)P(C)＝×＝≠＝P(BC)，故B与C不独立，故D错误．故选BC.
9．答案：A
解析：由于是有放回地摸球，事件A的发生并不影响事件B的发生，故A与B，A与均相互独立．故选A.
10．答案：A
解析：由题意可知，甲队在第一场比赛输了，若甲队在0∶1落后的情况下最后获胜，分以下几种情况讨论：
①甲队在第二、三、四场比赛都获胜，概率为P1＝0.4×0.52＝0.1；
②甲队在第二场比赛输了，在第三、四、五场比赛获胜，概率为P2＝0.6×0.52×0.4＝0.06；
③甲队在第二、四、五场比赛获胜，在第三场比赛输了，概率为P3＝0.4×0.52×0.4＝0.04；
④甲队在第二、三、五场比赛获胜，在第四场比赛输了，概率为P4＝0.4×0.52×0.4＝0.04.
综上所述，所求概率为0.1＋0.06＋0.04×2＝0.24.故选A.
11．答案：B
解析：由题意可得门将在第一次射门就扑出点球的概率为×＝.故选B.
12．解析：(1)设事件A1表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件A2表示“甲在第二轮比赛中胜出”，
事件B1表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件B2表示“乙在第二轮比赛中胜出”，则A1A2表示“甲赢得比赛”，
P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，B1B2表示“乙赢得比赛”，
P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝×＝，∵>，∴派甲参赛赢得比赛的概率更大．
(2)设C表示“甲赢得比赛”，D表示“乙赢得比赛”，由(1)知P()＝1－P(A1A2)＝1－＝，
P()＝1－P(B1B2)＝1－＝，∴C∪D表示“两人中至少有一个赢得比赛”，
∴P(C∪D)＝1－P()＝1－P()P()＝1－×＝，
所以两人至少一人赢得比赛的概率为.
核心素养升级练
13．解析：(1)设该小组未能进入第二轮为事件A，则P(A)＝1－××＝，
故该小组未能进入第二轮的概率为.
(2)设该小组能进入第三轮为事件B，
则P(B)＝×××××＝，
故该小组能进入第三轮的概率为.
(3)设乙猜歌曲的次数不小于2为事件C，
P(C)＝×××＝.
故乙猜歌曲的次数不小于2的概率为.
14．解析：(1)设甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件A，B，C，根据题意，则有P(A)＝，则P()＝，
又P()＝，所以P()＝，即P(C)＝，
又P(BC)＝，所以P(B)＝.
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为和.
(2)设甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件D，
则有P(D)＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＋P(ABC)＝××＋××＋××＋××＝，所以甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为.