2023版新教材高中数学单元素养测评卷二 第二章 直线和圆的方程（含解析）

单元素养测评卷(二)　直线和圆的方程
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l经过点(1，－2)，(3，0)，则直线l的倾斜角为(　　)
A．B．C．D．
2．已知直线l1：y－m＝(x－t)与直线l2：y＝kx＋3垂直，则k＝(　　)
A．2 B．C．－2 D．－
3．已知O为原点，点A(2，－2)，以OA为直径的圆的方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝8
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝8
4．下列说法正确的是(　　)
A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)不能表示平行y轴的直线
C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线方程为y－y1＝(x－x1)
5．已知直线x＋my－3－2m＝0恒过定点Q，Q点在直线l上，则l的方程可以是(　　)
A．x＋y－3＝0 B．x－y－1＝0
C．2x＋y－7＝0 D．x＋2y－5＝0
6．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝r2(r>0)与圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数r等于(　　)
A．7 B．3
C．3或7 D．5
7．已知过点P(2，1)有且仅有一条直线与圆：x2＋y2＋2ax＋ay＋2a2＋a－1＝0相切，则a＝(　　)
A．－1 B．－2
C．1或2 D．－1或－2
8．如果圆C：(x－m)2＋(y－m)2＝16上总存在两个点到原点的距离为2，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3，3) B．(－，)
C．(－3，) D．(－3，－)∪(，3)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是(　　)
A．过点P(1，2)且在x，y轴截距相等的直线方程为x＋y－3＝0
B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2
C．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为60°
D．过点(－1，2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＝0
10．设直线l：ax＋(2a＋3)y－3＝0与n：(a－2)x＋ay－1＝0，则(　　)
A．当a＝－2时，l∥n
B．当a＝时，l⊥n
C．当l∥n时，l，n间的距离为
D．坐标原点到直线n的距离的最大值为
11．已知圆O1：x2＋y2＋2x－3＝0和圆O2：x2＋y2＋2y－1＝0的交点为A，B，则(　　)
A．两圆的圆心距|O1O2|＝2
B．直线AB的方程为x－y－1＝0
C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|
D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋
12．若关于x的方程x＋－b＝0有唯一解，则b的取值可能是(　　)
A． B．1 C．－ D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过点P(3，4)且与直线2x－y＋1＝0平行的直线方程为________________．
14．已知圆C的圆心在直线3x－y－1＝0上，且过点A(－2，3)，B(2，5)，则圆C的一般方程为________．
15．已知圆C：(x－1)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，若圆C与y轴交于M，N两点，且＝，则r＝________．
16．一条沿直线传播的光线经过点P(－3，7)和Q(－2，5)，然后被直线y＝x－2反射，则入射点的坐标为________，反射光线所在直线在y轴上的截距为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求l的倾斜角α的取值范围；
(2)求l的斜率k的取值范围．
18．(本小题满分12分)已知直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程．
19．(本小题满分12分)已知圆M经过点A(－3，－1)，B(－6，8)，C(1，1).
(1)求圆M的标准方程；
(2)过点P(2，3)向圆M作切线，求切线方程．
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋F＝0，且圆C被直线x－y＋3＋＝0截得的弦长为2.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，求切线l的方程．
21．(本小题满分12分)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.
(1)求证两圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求过两圆的交点且圆心在直线2x＋4y＝1上的圆的方程．
22．(本小题满分12分)已知圆C：(x－2)2＋y2＝16，P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是QP中点．
(1)求点E的轨迹方程；
(2)过点M(1，0)的直线与点E的轨迹交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
单元素养测评卷(二)
1．答案：A
解析：设直线l的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，则tan θ＝＝1，所以θ＝.故选A.
2．答案：C
解析：直线l1：y－m＝(x－t)斜率为，
直线l2：y＝kx＋3斜率为k，
又两直线垂直，故k＝－2.故选C.
3．答案：A
解析：由题知圆心为(1，－1)，半径r＝|OA|＝，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选A.
4．答案：D
解析：A选项：当斜率不存在时，直线方程不能用y－y0＝k(x－x0)表示，故A错；
B选项：当m＝0时，直线方程为x＝2，跟y轴平行，故B错；
C选项：当θ＝90°时，tan θ不存在，故C错；
D选项：经过P1，P2两点时，直线斜率为k＝，再根据点斜式得到直线方程为y－y1＝(x－x1)，故D正确．故选D.
5．答案：B
解析：由题意知x＋my－3－2m＝0可化为m(y－2)＝－(x－3)，
则直线l恒过定点Q(3，2)，验证选项得直线l的方程可以为x－y－1＝0.故选B.
6．答案：C
解析：|C1C2|＝＝5，
因为圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，所以圆C1与圆C2相内切或外切，
所以r－2＝5或r＋2＝5，所以r＝7或r＝3.故选C.
7．答案：A
解析：过点P(2，1)有且仅有一条直线与圆C：x2＋y2＋2ax＋ay＋2a2＋a－1＝0相切，
则点P(2，1)在圆上，
则22＋12＋4a＋a＋2a2＋a－1＝0，解得a＝－2或a＝－1，
又x2＋y2＋2ax＋ay＋2a2＋a－1＝0为圆的方程，
则(2a)2＋a2－4(2a2＋a－1)>0，即－2即a＝－1.故选A.
8．答案：D
解析：问题可转化为圆C：(x－m)2＋(y－m)2＝16和圆O1：x2＋y2＝4相交，
两圆圆心距d＝＝|m|，
由R－r<|CO1|解得<|m|<3，即m∈(－3，－)∪(，3).故选D.
9．答案：BD
解析：过点P(1，2)且在x，y轴截距相等的直线方程为x＋y－3＝0和y＝2x，A错误；
取x＝0，y＝－2，则直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，B正确；
直线x＋y＋1＝0的斜率为k＝－，倾斜角为120°，C错误；
垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程斜率为k＝－2，过点(－1，2)的直线方程为y＝－2(x＋1)＋2＝－2x，即2x＋y＝0，D正确．故选BD.
10．答案：ACD
解析：A：a＝－2时，l：2x＋y＋3＝0，n：2x＋y＋＝0，易知l∥n，正确；
B：a＝时，l：x＋11y－9＝0，n：5x－y＋3＝0，则11×(－1)＋5×1＝－6≠0，故l⊥n不成立，错误；
C：l∥n时，a2＝(2a＋3)(a－2)，则a2－a－6＝(a－3)(a＋2)＝0，可得a＝3或a＝－2，
当a＝3时，l：x＋3y－1＝0，n：x＋3y－1＝0，两线重合，排除；
所以a＝－2，由A知：它们的距离d＝＝，正确；
D：坐标原点到直线n的距离h＝＝，故a＝1时hmax＝，正确．故选ACD.
11．答案：BD
解析：由圆O1：x2＋y2＋2x－3＝0和圆O2：x2＋y2＋2y－1＝0，
可得圆O1：(x＋1)2＋y2＝4和圆O2：x2＋(y＋1)2＝2，
则圆O1的圆心坐标为(－1，0)，半径为2，
圆O2的圆心坐标为(0，－1)，半径为，
对于A，两圆的圆心距|O1O2|＝＝，故A错误；
对于B，将两圆方程作差可得x－y－1＝0，即得直线AB的方程为x－y－1＝0，故B正确；
对于C，直线AB经过圆O2的圆心坐标(0，－1)，所以线段AB是圆O2的直径，
故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；
对于D，圆O1的圆心坐标为(－1，0)，半径为2，
圆心O1到直线AB：x－y－1＝0的距离为＝，
所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋，故D正确．故选BD.
12．答案：AD
解析：由题设1－x2≥0，即－1≤x≤1，
问题等价于＝b－x在x∈[－1，1]上有唯一解，
令y＝表示圆心为(0，0)，半径为1圆的上半部分，
而y＝b－x表示斜率为－1的直线，如图所示：
只需y＝，y＝b－x有唯一交点，
当直线与半圆右上部相切时，有，得b＝，此时有唯一交点；
当直线过(1，0)，(0，1)时，直线方程为y＝1－x，由图知：1≤b<恒有两个交点；
当直线过(－1，0)时，直线方程为y＝－1－x，由图知：－1≤b<1恒有一个交点；
综上，－1≤b<1或b＝，原方程有唯一解．故选AD.
13．答案：2x－y－2＝0
解析：设与直线2x－y＋1＝0平行的直线方程为2x－y＋m＝0，把点P(3，4)的坐标代入直线方程，求得m＝－2×3＋4＝－2，所以所求直线方程为2x－y－2＝0.
14．答案：x2＋y2－2x－4y－5＝0
解析：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得，解得，
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝10，即x2＋y2－2x－4y－5＝0.
15．答案：2
解析：由题意知C：(x－1)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的圆心C(1，b)，半径为r，
圆心到y轴的距离为1，
因为圆C与y轴交于M，N两点，且＝，
|MC|＝r(r>0)，所以|MN|＝r，
由垂径定理得，r2＝12＋()2，
即r2＝12＋r2，解得r＝2.
16．答案：(1，－1)　－
解析：直线PQ的斜率为k＝＝－2，
所以直线PQ的方程为y－7＝－2(x＋3)，即y＝－2x＋1，
则直线y＝－2x＋1与y＝x－2的交点即为入射点，
，解得，故入射点坐标为(1，－1)，
反射光线所在的直线即为直线y＝－2x＋1关于直线y＝x－2对称的直线，
在直线y＝－2x＋1上任取一点(0，1)，
设点(0，1)关于直线y＝x－2对称的点的坐标为(m，n)，
则，解得，即(3，－2)，
因此反射光线的斜率为k＝＝－，
所以反射光线的直线方程为y＋1＝－(x－1)，即x＋2y＋1＝0.所以反射光线所在直线在y轴上截距为－.
17．解析：(1)如图，当直线l过B时设直线l的倾斜角为α(0≤α＜π)，
则tan α＝＝1，α＝，
当直线l过A时设直线l的倾斜角为β(0≤β＜π)，
则tan β＝＝－1，β＝，
∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是≤α≤.
(2)由≤α≤，可得tan α≤－1或tan α≥1，
∴直线l的斜率的取值范围是k≤－1或k≥1.
18．解析：①若直线l1，l2的斜率存在，设直线的斜率为k，
设l1的斜截式方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
l2的点斜式方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，
因为直线l1过点A(0，1)，所以点A到直线l2的距离d＝＝5，
所以25k2＋10k＋1＝25k2＋25，解得k＝，
所以l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
②若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，
它们之间的距离为5，同样满足条件．
综上所述，满足条件的直线方程有两组：
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.
19．解析：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则，解得，
则圆M的方程为x2＋y2＋6x－8y＝0，
则圆M的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝25.
(2)由(1)知，圆M的圆心M(－3，4)，半径r＝5.
当过点P(2，3)的直线斜率不存在时，直线方程为x＝2，与圆M相切，符合题意；
当过点P(2，3)的直线斜率存在时，直线方程可设为y＝k(x－2)＋3，
则＝5，解得k＝，
则y＝(x－2)＋3，整理得12x－5y－9＝0，
故过点P(2，3)的圆M的切线方程为x＝2或12x－5y－9＝0.
20．解析：(1)圆C：x2＋y2＋2x－4y＋F＝0即为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－F，
故C(－1，2)，故C到直线x－y＋3＋＝0的距离为＝1，
故5－F＝12＋12，故F＝3.
故圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
(2)若直线l过原点，则其方程为y＝kx，故＝，故k2－4k－2＝0，故k＝2±.
故此时直线方程为y＝(2＋)x，y＝(2－)x.
若直线l不过原点，则可设其方程为x＋y＋m＝0(m≠0)，
故＝，故|1＋m|＝2，解得m＝1或m＝－3．
故此时直线方程为y＝－x－1，y＝－x＋3.
所以切线l的方程为y＝(2＋)x，y＝(2－)x，y＝－x－1，y＝－x＋3.
21．解析：(1)证明：圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0化为标准方程分别为圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5与圆C2：x2＋(y－1)2＝5，
∴圆心C1(2，－1)与圆心C2(0，1)，半径都为，
∴圆心距为0＜＝2＜2，两圆相交．
(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，
即x－y－1＝0.
(3)由(2)得y＝x－1代入圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0，化简可得2x2－4x－1＝0，∴x＝，当x＝时，y＝；当x＝时，y＝－.设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则
，
∴，∴r2＝(－)2＋(－－)2＝，
∴过两圆的交点且圆心在直线2x＋4y＝1上的圆的方程为(x－)2＋(y＋)2＝.
22．解析：(1)O为坐标原点，连接OE，则|OE|＝|CP|＝2.
所以E满足圆的定义，E在以O为圆心，半径为2的圆周上，圆E：x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN，
∴＋＝0，∴＋＝0，
∴2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，
∴－＋2t＝0 t＝4，
所以当点N为(4，0)时，能使得x轴平分∠ANB总成立．