2023版新教材高中数学单元素养测评卷三第三章 圆锥曲线方程(含解析)

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名称 2023版新教材高中数学单元素养测评卷三第三章 圆锥曲线方程(含解析)
格式 doc
文件大小 115.6KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-06-11 10:05:11

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文档简介

单元素养测评卷(三) 圆锥曲线方程
时间:120分钟 满分:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线-x2=1的渐近线方程是(  )
A.2x±y=0 B.4x±y=0 C.x±2y=0 D.x±4y=0
2.抛物线y=x2的焦点坐标为(  )
A.(0,) B.(,0) C.(0,) D.(,0)
3.椭圆C:+=1(a>)的左、右焦点分别为F1,F2,经过点F1的直线与椭圆C相交于A,B两点,若△ABF2的周长为16,则椭圆C的离心率为(  )
A.B.C.D.
4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-2)2+y2=2相切,则该双曲线的离心率为(  )
A.B.C.D.2
5.已知椭圆+=1与椭圆+=1(k<4),则下列结论正确的是(  )
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.焦距相等 D.离心率相等
6.如图是抛物线拱形桥,当水面在AB时,拱顶离水面4 m,水面宽AB=20 m,若水面上升0.8 m,则水面宽是(结果精确到0.1 m)(参考数值:≈1.41,≈1.73,≈2.24)(  )
A.9.0 mB.17.3 m
C.17.9 mD.21.9 m
7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为(  )
A.-=1 B.-=1
C.-y2=1 D.x2-=1
8.设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是(  )
A.[,1) B.[,1) C.(0,] D.(0,]
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若方程+=1所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是(  )
A.若t<1,则C为双曲线
B.若1C.若C为双曲线,则焦距为4
D.若C为焦点在y轴上的椭圆,则310.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点,则(  )
A.抛物线C的准线方程为x=-1
B.点F到直线l的距离为
C.∠AOB=
D.|AB|=10
11.已知椭圆C:+=1,F1,F2分别为它的左、右焦点,点P是椭圆上的一个动点,下列结论中正确的有(  )
A.点P到右焦点的距离的最大值为9
B.焦距为10
C.若∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为9
D.△F1PF2的周长为20
12.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)左、右两个顶点分别是A1,A2,一条渐近线过点(2,),P是双曲线上异于A1,A2的任意一点,则下列说法正确的是(  )
A.双曲线C与双曲线-=1有相同的渐近线
B.双曲线C的离心率为
C.直线PA1,PA2的斜率之积等于定值
D.若直线l:x=与渐近线围成的三角形面积为4,则焦距为6
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若椭圆+=1的一个焦点坐标为(0,3),则长轴长为________.
14.双曲线C:x2-=1,写出一个与双曲线C有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程________.
15.过点P(2,1)作直线与抛物线y2=4x相交于A,B两点,若点P是线段AB的中点,则直线AB的方程是________________________.
16.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且直线PF1的斜率为,若半径为b的圆M同时与F1P的延长线,F1F2的延长线以及线段PF2相切,则椭圆的离心率为________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(1,2)在C上.
(1)求p的值及点F的坐标;
(2)过F且斜率为的直线l与C交于A,B两点(A在第一象限),求.
18.(本小题满分12分)已知O为坐标原点,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,点P在双曲线C上,点F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,(|PF1|-|PF2|)2=4.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知点A(-1,0),B(1,0),设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.证明:k1k2为定值.
19.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过点P(1,).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)倾斜角为45°的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A,B两点,求△OAB的面积.
20.(本小题满分12分)已知抛物线Ω:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为Ω上任意一点,以P为圆心,PF为半径的圆与直线x=-相切.
(1)求p的值;
(2)若点A(2p,0),过点A的直线l与Ω交于G,H两点,在x轴上是否存在定点B,使∠ABG=∠ABH恒成立,若存在,求出点B的坐标,若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求C的方程;
(2)经过点M(1,4)的直线l交C于A,B两点,且M为线段AB的中点,求l的方程.
22.(本小题满分12分)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
单元素养测评卷(三)
1.答案:A
解析:双曲线-x2=1中,a=2,b=1,
故渐近线方程为y=±x=±2x,
即2x±y=0.故选A.
2.答案:C
解析:抛物线方程为x2=y,故焦点坐标为(0,).故选C.
3.答案:A
解析:由题可知4a=16,即a=4,
所以椭圆C的离心率e==.故选A.
4.答案:C
解析:由题意可知双曲线的渐近线方程之一为bx+ay=0,
圆(x-2)2+y2=2的圆心(2,0),半径为,
因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-2)2+y2=2相切,
所以=,整理得a2=b2,
因为由c2=a2+b2,
所以c=a,所以e==.故选C.
5.答案:C
解析:∵k<4,
∴9-k>4-k>0且9-k-(4-k)=9-4,
∴椭圆+=1与椭圆+=1(k<4)的关系是有相等的焦距.故选C.
6.答案:C
解析:如图建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,
由题意,将B(10,-4)代入x2=my,得m=-25,所以抛物线的方程为x2=-25y,
令y=-,解得x=±4,
所以水面宽度为8≈2.24×8≈17.9 m.故选C.
7.答案:D
解析:不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,
由于△OAF是等边三角形,则∠AOF=60°,所以=tan 60°=,
由题意可得,解得,
因此该双曲线的标准方程为x2-=1.故选D.
8.答案:C
解析:设P(x0,y0),由B(0,b),因为+=1,a2=b2+c2,所以|PB|2=x+(y0-b)2=a2(1-)+(y0-b)2=-(y0+)2++a2+b2,
因为-b≤y0≤b,当-≤-b,即b2≥c2时,|PB|=4b2,即|PB|max=2b,符合题意,由b2≥c2可得a2≥2c2,即0当->-b,即b29.答案:AD
解析:对于A,当t<1时,5-t>4,t-1<0,此时表示焦点在x轴上的双曲线,所以正确;
对于B,当t=3时,此时方程x2+y2=2表示圆,所以不正确;
当方程+=1表示焦点在y轴上椭圆,则满足解得3对于C,当t=0时,方程-=1,此时双曲线的焦距为2,所以不正确.
10.答案:AB
解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1,A选项正确.
直线l:y=x-2,即x-y-2=0,
点F到x-y-2=0的距离为=,B选项正确.
由解得或,
不妨设A(4+2,2+2),B(4-2,2-2),
则·=(4+2,2+2)·(4-2,2-2)=16-12+4-12=-4,
所以∠AOB≠,C选项错误.
|AB|= =4,D选项错误.故选AB.
11.答案:AC
解析:由椭圆C:+=1的方程得
a=5,b=3,c=4,A(-5,0),B(5,0),F1(-4,0),F2(4,0).
对于A,当点P为椭圆的左顶点时,点P到右焦点的距离最大,且为9,故A正确;
对于B,焦距为2c=8,B错误;
对于C,由题意得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2, ①
由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=10,
即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=100, ②
②-①得|PF1|·|PF2|=18,
△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×18=9,故C正确;
对于D,△F1PF2的周长为2a+2c=18,故D错误.故选AC.
12.答案:ACD
解析:设渐近线方程为y=x,因为渐近线经过点(2,),所以=×2,解得=,
所以渐近线方程为y=±x,而双曲线-=1,焦点在y轴,渐近线方程为y=±x,
则得y=±x,故双曲线C与双曲线-=1有相同的渐近线,A正确;
由A知,=,则==-1=,解得e=,故B错误;
对于C,设P(x,y),则-=1(a>0,b>0),
所以kPA1·kPA2=·==,
因为=,所以=,直线PA1,PA2的斜率之积等于定值,正确;
对于D,如图所示:设x=与渐近线交点分别为MN.
由图可知,S△OMN=4,将M点横坐标代入y=x中,得M点纵坐标为,则=,
由面积公式得S△OMN=|MN|×==4,
即a4=8c2, ①
由前面可知,e==, ②
联立①②可得c=3,则焦距2c为6,D正确.故选ACD.
13.答案:10
解析:因为椭圆+=1的一个焦点坐标为(0,3),故椭圆焦点在y轴上,
所以m-16=9,解得m=25,所以长轴长为2×=10.
14.答案:-x2=1
解析:与双曲线C有共同的渐近线的双曲线方程可设为x2-=λ,
当λ=-1时,得到双曲线方程为-x2=1,显然该双曲线与双曲线C有共同的渐近线但离心率不同.
15.答案:2x-y-3=0
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),由y=4x1,y=4x2,两式相减可得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),所以==2,所以kAB=2,所以直线AB的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
16.答案:
解析:设圆M分别与F1P的延长线,F1F2的延长线以及线段PF2相切于点Q,T,N,
则|PQ|=|PN|,|F2N|=|F2T|,|F1Q|=|F1T|,
所以2|F1T|=|F1T|+|F1Q|=|F1F2|+|F2T|+|PF1|+|PQ|=|F1F2|+|PF1|+|PF2|=2c+2a,∠PF1T=2∠MF1T,tan ∠MF1T=,
所以tan ∠PF1T==,解得tan ∠MF1T=,即=,
又b2=a2-c2,===,
整理得=,所以椭圆的离心率为.
17.解析:(1)将M(1,2)代入y2=2px,得4=2p,解得p=2,
所以F(1,0).
(2)由(1)得抛物线方程为y2=4x,
直线l的方程为y=(x-1),
联立消去y得4x2-17x+4=0,
解得x=或x=4,
因为A在第一象限,所以xA=4,xB=,
所以|AF|=xA+1=5,|BF|=xB+1=,
所以=4.
18.解析:(1)由题知:||PF1|-|PF2||=2,
由双曲线的定义知:2a=2,a=1,
又因为e==,所以c=,所以b2=c2-a2=2,
所以双曲线C的标准方程为x2-=1.
(2)证明:设P(x0,y0),则x-=1.
因为A(-1,0),B(1,0),所以k1=,k2=,
所以k1k2=()()===2.
所以k1k2为定值.
19.解析:(1)因为椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,
所以设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),
因为椭圆的离心率为,且过点P(1,),
所以,∴,所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)由(1)可知:F(1,0),倾斜角为45°的直线l的斜率为1,
所以直线l的方程为y-0=1×(x-1)即x-y-1=0,
代入椭圆方程中,得+=1,
∴7x2-8x-8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
所以x1+x2=,x1x2=-.
因此|AB|=×=×=,
原点到直线AB的距离d==,
S△OAB=d·|AB|=××=,
所以△OAB的面积为.
20.解析:(1)根据抛物线的定义,显然x=-是抛物线Ω的准线,则=,解得p=1.
(2)根据(1)中所求,点A的坐标为(2,0),假设存在B(t,0)符合题意,则kBG+kHB=0,
设直线l方程为x=my+2,由可得y2-2my-4=0,
设G(x1,y1),H(x2,y2),则y1+y2=2m,y1y2=-4,
故+=0,即y1(x2-t)+y2(x1-t)=0,又x1=my1+2,x2=my2+2,
故2my1y2+(2-t)(y1+y2)=0,故-8m+2m(2-t)=0,所以t=-2,
综上所述:在x轴上存在定点B(-2,0),使∠ABG=∠ABH恒成立.
21.解析:(1)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线为y=±x,即ax±by=0,所以=2,
又焦点(0,c)到直线y=2x的距离d==1,所以c=,
又c2=a2+b2,所以a2=4,b2=1,所以双曲线方程为-x2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的斜率为k,则x1+x2=2,y1+y2=8,
所以-x=1,-x=1,
两式相减得--x+x=0,即=(x1+x2)(x1-x2),
即=4,所以4k=4,解得k=1,
所以直线l的方程为y-4=x-1,即y=x+3,
经检验直线l:y=x+3与双曲线C有两个交点,满足条件,
所以直线l的方程为y=x+3.
22.解析:(1)设F(c,0),因为直线AF的斜率为,A(0,-2),所以=,c=.又=,b2=a2-c2,
解得a=2,b=1,
所以椭圆E的方程为+y2=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2)
由题意可知直线l的斜率存在且不为0,故设直线l的方程为y=kx-2(k≠0),
联立消去y得(1+4k2)x2-16kx+12=0,
当Δ=16(4k2-3)>0,所以k2>,
即k<-或k>时,
x1+x2=,x1x2=.
所以|PQ|=

=.
点O到直线l的距离d=,
所以S△OPQ=d|PQ|=,
设=t>0,则4k2=t2+3,
S△OPQ==≤=1,
当且仅当t=2,即=2,
解得k=±时取等号,满足k2>,
所以当△OPQ的面积最大时,直线l的方程为y=x-2或y=-x-2.