2023版新教材高中数学单元素养测评卷三第三章 圆锥曲线方程（含解析）

单元素养测评卷(三)　圆锥曲线方程
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．双曲线－x2＝1的渐近线方程是(　　)
A．2x±y＝0 B．4x±y＝0 C．x±2y＝0 D．x±4y＝0
2．抛物线y＝x2的焦点坐标为(　　)
A．(0，) B．(，0) C．(0，) D．(，0)
3．椭圆C：＋＝1(a>)的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的直线与椭圆C相交于A，B两点，若△ABF2的周长为16，则椭圆C的离心率为(　　)
A．B．C．D．
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝2相切，则该双曲线的离心率为(　　)
A．B．C．D．2
5．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(k<4)，则下列结论正确的是(　　)
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
6．如图是抛物线拱形桥，当水面在AB时，拱顶离水面4 m，水面宽AB＝20 m，若水面上升0.8 m，则水面宽是(结果精确到0.1 m)(参考数值：≈1.41，≈1.73，≈2.24)(　　)
A．9.0 mB．17.3 m
C．17.9 mD．21.9 m
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
8．设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)
A．[，1) B．[，1) C．(0，] D．(0，]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是(　　)
A．若t<1，则C为双曲线
B．若1C．若C为双曲线，则焦距为4
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则310．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝x－2与抛物线C交于A，B两点，则(　　)
A．抛物线C的准线方程为x＝－1
B．点F到直线l的距离为
C．∠AOB＝
D．|AB|＝10
11．已知椭圆C：＋＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有(　　)
A．点P到右焦点的距离的最大值为9
B．焦距为10
C．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为9
D．△F1PF2的周长为20
12．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左、右两个顶点分别是A1，A2，一条渐近线过点(2，)，P是双曲线上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是(　　)
A．双曲线C与双曲线－＝1有相同的渐近线
B．双曲线C的离心率为
C．直线PA1，PA2的斜率之积等于定值
D．若直线l：x＝与渐近线围成的三角形面积为4，则焦距为6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(0，3)，则长轴长为________．
14．双曲线C：x2－＝1，写出一个与双曲线C有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程________．
15．过点P(2，1)作直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的方程是________________________．
16．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且直线PF1的斜率为，若半径为b的圆M同时与F1P的延长线，F1F2的延长线以及线段PF2相切，则椭圆的离心率为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(1，2)在C上．
(1)求p的值及点F的坐标；
(2)过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点(A在第一象限)，求.
18．(本小题满分12分)已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点P在双曲线C上，点F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，(|PF1|－|PF2|)2＝4.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点A(－1，0)，B(1，0)，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2.证明：k1k2为定值．
19．(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(1，).
(1)求椭圆的标准方程；
(2)倾斜角为45°的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A，B两点，求△OAB的面积．
20．(本小题满分12分)已知抛物线Ω：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为Ω上任意一点，以P为圆心，PF为半径的圆与直线x＝－相切．
(1)求p的值；
(2)若点A(2p，0)，过点A的直线l与Ω交于G，H两点，在x轴上是否存在定点B，使∠ABG＝∠ABH恒成立，若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由．
21．(本小题满分12分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求C的方程；
(2)经过点M(1，4)的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程．
22．(本小题满分12分)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
单元素养测评卷(三)
1．答案：A
解析：双曲线－x2＝1中，a＝2，b＝1，
故渐近线方程为y＝±x＝±2x，
即2x±y＝0.故选A.
2．答案：C
解析：抛物线方程为x2＝y，故焦点坐标为(0，).故选C.
3．答案：A
解析：由题可知4a＝16，即a＝4，
所以椭圆C的离心率e＝＝.故选A.
4．答案：C
解析：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为bx＋ay＝0，
圆(x－2)2＋y2＝2的圆心(2，0)，半径为，
因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝2相切，
所以＝，整理得a2＝b2，
因为由c2＝a2＋b2，
所以c＝a，所以e＝＝.故选C.
5．答案：C
解析：∵k<4，
∴9－k>4－k>0且9－k－(4－k)＝9－4，
∴椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(k<4)的关系是有相等的焦距．故选C.
6．答案：C
解析：如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，
由题意，将B(10，－4)代入x2＝my，得m＝－25，所以抛物线的方程为x2＝－25y，
令y＝－，解得x＝±4，
所以水面宽度为8≈2.24×8≈17.9 m．故选C.
7．答案：D
解析：不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，
由于△OAF是等边三角形，则∠AOF＝60°，所以＝tan 60°＝，
由题意可得，解得，
因此该双曲线的标准方程为x2－＝1.故选D.
8．答案：C
解析：设P(x0，y0)，由B(0，b)，因为＋＝1，a2＝b2＋c2，所以|PB|2＝x＋(y0－b)2＝a2(1－)＋(y0－b)2＝－(y0＋)2＋＋a2＋b2，
因为－b≤y0≤b，当－≤－b，即b2≥c2时，|PB|＝4b2，即|PB|max＝2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0当－>－b，即b29．答案：AD
解析：对于A，当t<1时，5－t>4，t－1<0，此时表示焦点在x轴上的双曲线，所以正确；
对于B，当t＝3时，此时方程x2＋y2＝2表示圆，所以不正确；
当方程＋＝1表示焦点在y轴上椭圆，则满足解得3对于C，当t＝0时，方程－＝1，此时双曲线的焦距为2，所以不正确．
10．答案：AB
解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，A选项正确．
直线l：y＝x－2，即x－y－2＝0，
点F到x－y－2＝0的距离为＝，B选项正确．
由解得或，
不妨设A(4＋2，2＋2)，B(4－2，2－2)，
则·＝(4＋2，2＋2)·(4－2，2－2)＝16－12＋4－12＝－4，
所以∠AOB≠，C选项错误．
|AB|＝ ＝4，D选项错误．故选AB.
11．答案：AC
解析：由椭圆C：＋＝1的方程得
a＝5，b＝3，c＝4，A(－5，0)，B(5，0)，F1(－4，0)，F2(4，0)．
对于A，当点P为椭圆的左顶点时，点P到右焦点的距离最大，且为9，故A正确；
对于B，焦距为2c＝8，B错误；
对于C，由题意得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，　①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝100，　②
②－①得|PF1|·|PF2|＝18，
△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×18＝9，故C正确；
对于D，△F1PF2的周长为2a＋2c＝18，故D错误．故选AC.
12．答案：ACD
解析：设渐近线方程为y＝x，因为渐近线经过点(2，)，所以＝×2，解得＝，
所以渐近线方程为y＝±x，而双曲线－＝1，焦点在y轴，渐近线方程为y＝±x，
则得y＝±x，故双曲线C与双曲线－＝1有相同的渐近线，A正确；
由A知，＝，则＝＝－1＝，解得e＝，故B错误；
对于C，设P(x，y)，则－＝1(a>0，b>0)，
所以kPA1·kPA2＝·＝＝，
因为＝，所以＝，直线PA1，PA2的斜率之积等于定值，正确；
对于D，如图所示：设x＝与渐近线交点分别为MN.
由图可知，S△OMN＝4，将M点横坐标代入y＝x中，得M点纵坐标为，则＝，
由面积公式得S△OMN＝|MN|×＝＝4，
即a4＝8c2，　①
由前面可知，e＝＝，　②
联立①②可得c＝3，则焦距2c为6，D正确．故选ACD.
13．答案：10
解析：因为椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(0，3)，故椭圆焦点在y轴上，
所以m－16＝9，解得m＝25，所以长轴长为2×＝10.
14．答案：－x2＝1
解析：与双曲线C有共同的渐近线的双曲线方程可设为x2－＝λ，
当λ＝－1时，得到双曲线方程为－x2＝1，显然该双曲线与双曲线C有共同的渐近线但离心率不同．
15．答案：2x－y－3＝0
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，由y＝4x1，y＝4x2，两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，所以＝＝2，所以kAB＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.
16．答案：
解析：设圆M分别与F1P的延长线，F1F2的延长线以及线段PF2相切于点Q，T，N，
则|PQ|＝|PN|，|F2N|＝|F2T|，|F1Q|＝|F1T|，
所以2|F1T|＝|F1T|＋|F1Q|＝|F1F2|＋|F2T|＋|PF1|＋|PQ|＝|F1F2|＋|PF1|＋|PF2|＝2c＋2a，∠PF1T＝2∠MF1T，tan ∠MF1T＝，
所以tan ∠PF1T＝＝，解得tan ∠MF1T＝，即＝，
又b2＝a2－c2，＝＝＝，
整理得＝，所以椭圆的离心率为.
17．解析：(1)将M(1，2)代入y2＝2px，得4＝2p，解得p＝2，
所以F(1，0).
(2)由(1)得抛物线方程为y2＝4x，
直线l的方程为y＝(x－1)，
联立消去y得4x2－17x＋4＝0，
解得x＝或x＝4，
因为A在第一象限，所以xA＝4，xB＝，
所以|AF|＝xA＋1＝5，|BF|＝xB＋1＝，
所以＝4.
18．解析：(1)由题知：||PF1|－|PF2||＝2，
由双曲线的定义知：2a＝2，a＝1，
又因为e＝＝，所以c＝，所以b2＝c2－a2＝2，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)证明：设P(x0，y0)，则x－＝1.
因为A(－1，0)，B(1，0)，所以k1＝，k2＝，
所以k1k2＝()()＝＝＝2．
所以k1k2为定值．
19．解析：(1)因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，
所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
因为椭圆的离心率为，且过点P(1，)，
所以，∴，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)可知：F(1，0)，倾斜角为45°的直线l的斜率为1，
所以直线l的方程为y－0＝1×(x－1)即x－y－1＝0，
代入椭圆方程中，得＋＝1，
∴7x2－8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝，x1x2＝－.
因此|AB|＝×＝×＝，
原点到直线AB的距离d＝＝，
S△OAB＝d·|AB|＝××＝，
所以△OAB的面积为.
20．解析：(1)根据抛物线的定义，显然x＝－是抛物线Ω的准线，则＝，解得p＝1.
(2)根据(1)中所求，点A的坐标为(2，0)，假设存在B(t，0)符合题意，则kBG＋kHB＝0，
设直线l方程为x＝my＋2，由可得y2－2my－4＝0，
设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则y1＋y2＝2m，y1y2＝－4，
故＋＝0，即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0，又x1＝my1＋2，x2＝my2＋2，
故2my1y2＋(2－t)(y1＋y2)＝0，故－8m＋2m(2－t)＝0，所以t＝－2，
综上所述：在x轴上存在定点B(－2，0)，使∠ABG＝∠ABH恒成立．
21．解析：(1)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，即ax±by＝0，所以＝2，
又焦点(0，c)到直线y＝2x的距离d＝＝1，所以c＝，
又c2＝a2＋b2，所以a2＝4，b2＝1，所以双曲线方程为－x2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的斜率为k，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，
所以－x＝1，－x＝1，
两式相减得－－x＋x＝0，即＝(x1＋x2)(x1－x2)，
即＝4，所以4k＝4，解得k＝1，
所以直线l的方程为y－4＝x－1，即y＝x＋3，
经检验直线l：y＝x＋3与双曲线C有两个交点，满足条件，
所以直线l的方程为y＝x＋3.
22．解析：(1)设F(c，0)，因为直线AF的斜率为，A(0，－2)，所以＝，c＝.又＝，b2＝a2－c2，
解得a＝2，b＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为y＝kx－2(k≠0)，
联立消去y得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
当Δ＝16(4k2－3)>0，所以k2>，
即k<－或k>时，
x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|PQ|＝
＝
＝.
点O到直线l的距离d＝，
所以S△OPQ＝d|PQ|＝，
设＝t>0，则4k2＝t2＋3，
S△OPQ＝＝≤＝1，
当且仅当t＝2，即＝2，
解得k＝±时取等号，满足k2>，
所以当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.