2023版新教材高中数学单元素养测评卷一第一章 空间向量与立体几何（含解析）

单元素养测评卷(一)　空间向量与立体几何
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，1，1)，则(　　)
A.l∥α B．l⊥α C．l α或l∥α D．l与α斜交
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)
A.130° B．60° C．40° D．50°
3．A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点(　　)
A.一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断是否共面
4．已知A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　)
A.(1，1，1) B．(，，) C．(，，) D．(，－，)
5．在四棱锥P ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h等于(　　)
A.1 B．2 C．13 D．26
6．已知向量a＝(4，－2，6)，b＝(－2，1，x)，则使a⊥b，a∥b成立的x分别为(　　)
A.，－3 B．，－3 C．，3 D．，3
7.
如图所示，E，F分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，D是线段EF的一个四等分点(靠近E点)，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A.a＋b＋c B．a＋b＋c
C.a＋b＋c D．a＋b＋c
8．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角为(　　)
A.30° B．45° C．60° D．120°
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．关于点P(1，－1，2)，下列说法正确的是(　　)
A.点P关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(1，－1，－2)
B.点P关于x轴的对称点P2的坐标为(－1，－1，2)
C.点P关于Oyz平面的对称点P3的坐标为(－1，－1，2)
D.点P关于y轴的对称点P4的坐标为(－1，－1，－2)
10．下列关于空间向量的命题中，正确的有(　　)
A.若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
B.若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b
C.空间向量a＝(－2，－1，1)，b＝(3，4，5)夹角的余弦值为－
D.已知a＝(－1，1，2)，b＝(0，2，3)，若ka＋b与2a－b垂直，则k＝－
11．已知v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量(l1，l2不重合)，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列说法正确的是(　　)
A.v1∥v2 l1⊥l2 B．v1⊥v2 l1⊥l2 C．n1∥n2 α⊥β D．n1⊥n2 α⊥β
12．如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点，以下说法正确的是(　　)
A.三棱锥C EFG的体积为1
B.A1C⊥平面EFG
C.过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是3
D.平面EGF与平面ABCD夹角的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－＋2＝________．
14．已知直线l过定点A(3，2，1)，且n＝(1，0，1)为其一个方向向量，则点P(3，3，2)到直线l的距离为________．
15．已知向量a＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).在直线AB上，存在一点E，使得⊥a，则点E的坐标为________．
16．在棱长为1的正方体ABCD A′B′C′D′中，已知点P是正方形AA′D′D内部(不含边界)的一个动点，若直线AP与平面AA′B′B所成角的正弦值和异面直线AP与DC′所成角的余弦值相等，则线段DP长度的最小值是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知：a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a＋c与b＋c所成角的余弦值．
18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB，AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a＝，b＝，c＝，试以a，b，c为基向量表示出向量，并求BN的长．
19．(本小题满分12分)在如图所示的平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°.
(1)证明：AC1⊥平面A1BD；
(2)若O是AC1的中点，求AO长．
20．(本小题满分12分)如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，M，E，F分别为PC，AB，BC的中点．
(1)求证：ME∥平面PAD；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
21．(本小题满分12分)如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝AA1＝2，Q为BC的中点．
(1)求证：平面AQC1⊥平面BCC1B1；
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
22．(本小题满分12分)已知在长方形ABCD中，AD＝2AB＝2，点E是AD的中点，沿BE折起平面ABE，使平面ABE⊥平面BCDE.
(1)求证：在四棱锥A BCDE中，AB⊥AC；
(2)在线段AC上是否存在点F，使二面角A BE F的余弦值为？若存在，找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
单元素养测评卷(一)
1．答案：C
解析：∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，
∴a·n＝0，即a⊥n，∴l∥α或l α.故选C.
2．答案：C
解析：因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，
所以它们所在直线的夹角为50°，
则直线l与平面α所成的角等于90°－50°＝40°.故选C.
3．答案：B
解析：因为＝＋＋，
则－＝－＋＋，
即－＝－)＋(－)，
即＝＋.
由空间向量共面定理可知，，，共面，则P，A，B，C四点一定共面．故选B.
4．答案：B
解析：因为A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，
所以＝(－2，2，0)，＝(－2，0，2).
令平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
可得，即，令x＝1，则y＝z＝1，所以n＝(1，1，1)，
故平面ABC的单位法向量是±，即(，，)或(－，－，－).故选B.
5．答案：B
解析：设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
不妨令x＝3，则y＝12，z＝4，
可得n＝(3，12，4)，
四棱锥的高h＝＝＝2.
6．答案：A
解析：当a⊥b时，a·b＝4×(－2)－2×1＋6x＝－10＋6x＝0，解得x＝；
当a∥b时，则有＝＝，解得x＝－3.故选A.
7．答案：C
解析：如图所示，连接OF，
＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋[(＋)－]＝＋＋＝a＋b＋c.故选C.
8．答案：A
解析：以点A为坐标原点，AD，AB，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，C(，1，0)，＝(，1，－1)，
平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
所以cos 〈，n〉＝＝－.
又因为〈，n〉∈[0，π]，所以〈，n〉＝120°，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在的直线所成的角为60°，
所以斜线PC与平面ABCD所成的角为30°.
9．答案：ACD
解析：求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称，谁不变”，如点(x，y，z)关于y轴的对称点为(－x，y，－z)，关于平面Oyz的对称点是(－x，y，z)，点(x，y，z)关于x轴的对称点为(x，－y，－z)，关于平面Oxy的对称点是(x，y，－z)，
故A选项点P关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(1，－1，－2)，故A正确；B选项点P关于x轴的对称点P2的坐标为(1，1，－2)，故B错误；
C选项点P关于Oyz平面的对称点P3的坐标为(－1，－1，2)，故C正确；
D选项点P关于y轴的对称点P4的坐标为(－1，－1，－2)，故D正确．故选ACD.
10．答案：BCD
解析：对于A，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系不确定，也有可能平行，故A错误；
对于B，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则只能两个向量是共线向量，故a∥b，故B正确；
对于C，因为a＝(－2，－1，1)，b＝(3，4，5)，所以|a|＝＝，|b|＝＝5，a·b＝－2×3－1×4＋1×5＝－5，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，故C正确；
对于D：因为a＝(－1，1，2)，b＝(0，2，3)，所以ka＋b＝k(－1，1，2)＋(0，2，3)＝(－k，k＋2，2k＋3)，2a－b＝2(－1，1，2)－(0，2，3)＝(－2，0，1)，因为ka＋b与2a－b垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，即－k×(－2)＋0×(k＋2)＋1×(2k＋3)＝0，解得k＝－，故D正确．故选BCD.
11．答案：BD
解析：因为v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量(l1，l2不重合)，
则v1∥v2 l1∥l2，故选项A错误；
则v1⊥v2 l1⊥l2，故选项B正确；
因为n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，
则n1∥n2 α∥β，故选项C错误；
则n1⊥n2 α⊥β，故选项D正确．故选BD.
12．答案：ABC
解析：对于A，VC EFG＝·S△ECF·CC1＝××2＝1，故A正确；
对于B，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，E(1，0，0)，F(2，1，0)，G(1，2，2)，
则＝(－2，2，－2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，2)，·＝0，·＝0，
则A1C⊥平面EFG，B正确；
对于C，作C1D1的中点N，BB1的中点M，DD1的中点T，连接GN，GM，FM，TN，ET，则正六边形EFMGNT为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为S＝6××()2＝3，故C正确；
对于D，平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
平面EGF的一个法向量为＝(－2，2，－2)，设两个平面夹角为θ，
cos θ＝＝＝，故D错误．故选ABC.
13．答案：
解析：＋－＋2＝＋＋2＝－＋2＝＋2＝.
14．答案：
解析：设a＝＝(0，1，1)，u＝＝(，0，)，则a·u＝，
则点P到直线l的距离d＝＝ ＝.
15．答案：(－，－，)
解析：设＝λ，因为A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)，所以＝(1，－1，－2)，＝(λ，－λ，－2λ)，＝(3，1，－4)，＝－＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，
因为⊥a，所以－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝0，解得λ＝，又A(－3，－1，4)，＝(λ，－λ，－2λ)，所以点E的坐标为(－，－，).
16．答案：
解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD′所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设P(x，0，z)，0＝(x－1，0，z)，＝(0，1，1)，＝(1，0，0)，
设直线AP与平面AA′B′B所成角为θ和异面直线AP与DC′所成角为α，
可得cos α＝cos 〈，〉＝，
sin θ＝|cos 〈，〉|＝，0由sin θ＝cos α，可得z＝(1－x)，
则||＝＝
＝ ，
当x＝时，线段DP长度的最小值为.
17．解析：(1)∵a∥b，∴＝＝，解得x＝2，y＝－4，
故a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1).
又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，
故c＝(3，－2，2).
(2)由(1)可得a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，
设向量a＋c与b＋c所成的角为θ，|a＋c|＝，|b＋c|＝，
(a＋c)·(b＋c)＝5－12＋3＝－4，
则cos θ＝＝－.
18．解析：＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋[－(＋)]
＝－＋＋.
所以＝－a＋b＋c，
||2＝2＝
＝(a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)
＝.
所以||＝，即BN的长为.
19．解析：(1)证明：连接BD和A1B，由于＝＋＋，＝－，＝－，
∴·＝·(－)＝0，
∴⊥BD，
同理·＝0，AC1⊥A1B，
且BD∩A1B＝B，
所以AC1⊥平面A1BD.
(2)||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝1＋1＋1＋3×2×1×1×cos 60°＝6.
∴||＝.
∴||＝||＝.
20．解析：(1)证明：取PD的中点N，连接MN和AN，则MN∥DC且MN＝DC，
又底面ABCD为正方形，∴MN∥AE且MN＝AE＝AB，
∴四边形MNAE为平行四边形，∴AN∥ME，
又AN 平面PAD，ME 平面PAD，
∴ME∥平面PAD.
(2)建立以D为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，，0)，F(，1，0)，所以＝(－，，0)，＝(1，，－1)，＝(1，，0)，设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，则，即，
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)，
因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.
又AC 平面PEF，EF 平面PEF，所以AC∥平面PEF；
因为＝(0，，0)，所以点A到平面PEF的距离d＝＝＝.
所以直线AC到平面PEF的距离为.
21．解析：(1)证明：因为三棱柱ABC A1B1C1为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，
因为Q为BC的中点，所以AQ⊥BC，
因为BB1⊥平面ABC，AQ 平面ABC，所以BB1⊥AQ，
因为BB1∩BC＝B，BB1 平面BCC1B1，BC 平面BCC1B1，
所以AQ⊥平面BCC1B1，
又因为AQ 平面AQC1，所以平面AQC1⊥平面BCC1B1.
(2)设AC，A1C1的中点分别为O，O1，由三棱柱ABC A1B1C1为正三棱柱可知，
OB⊥OC，OB⊥OO1，OO1⊥OC，以{OB，OC，OO1}为基底建立空间直角坐标系O xyz.
因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)，
因为Q为BC的中点，所以Q(，，0)，
所以＝(，，0)，＝(0，2，2)，＝(0，0，2)，
设n＝(x，y，z)为平面AQC1的法向量，
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.
22．解析：(1)证明：连接CE，∵E为AD的中点，AD＝2AB＝2，∴AE＝AB＝，
∵ABCD为长方形，∴AB⊥AD，AD＝BC＝2，
在△ABE中，BE＝＝＝2，
同理EC＝2，∴BE2＋EC2＝BC2，∴CE⊥BE，
在折叠后的图形中：
∵平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，CE⊥BE，∴CE⊥平面ABE，
又AB 平面ABE，∴CE⊥AB，
又∵AE⊥AB，CE 平面AEC，AE 平面AEC，CE∩AE＝E，∴AB⊥平面AEC，
又AC 平面AEC，∴AB⊥AC.
(2)由(1)可知：△ABE，△BEC均为等腰直角三角形，过A点作底边BE的高，交BE于O点，以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示：
则A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(－1，2，0)，E(－1，0，0)，＝(1，0，1)，＝(－1，2，－1)，＝(2，0，0)，
易知平面ABE的一个法向量为m＝(0，1，0)，
假设在线段AC上存在点F，使二面角A BE F的余弦值为，
设＝λ，则＝＋λ＝(1－λ，2λ，1－λ)，
设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，∴，∴，
取y＝1，则n＝(0，1，)，
cos 〈m，n〉＝＝，∴λ＝，
即当点F为线段AC靠近A的四等分点时，二面角A BE F的余弦值为.