2.1.1倾斜角与斜率 课时作业（含解析）

2．1.1　倾斜角与斜率
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．[2023·山东菏泽高二检测]直线l的倾斜角为，则l的斜率为(　　)
A．　　　B．－C．　　　D．－
2．[2023·安徽马鞍山二中高二检测]直线x＋3y－3＝0的倾斜角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
3．[2023·江苏盐城中学高二检测]过A(2，1)，B(3，2)两点的直线的倾斜角为(　　)
A．60° B．－45°
C．135° D．45°
4．已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，如图所示，则(　　)
A．k1C．k15．已知过点A(1，a)，B(2，－)的直线的倾斜角为60°，则实数a的值为(　　)
A．－2B．2
C．D．－
6．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．直线的倾斜角α的取值范围是0≤α<π
B．若直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为α
C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
7．直线l的方程为：x＝－3，则直线l的倾斜角为________．
8．[2023·河北沧州高二检测]已知两点M(m＋2，m2)，N(1，1)，若直线MN的斜率为－2m，则m＝________．
关键能力综合练 进阶训练第二层
1．[2023·江苏泰州高二检测]设直线l1：2x＋y－1＝0，l2：x－3y＝0，l3：x－3＝0的倾斜角分别为α，β，γ，则(　　)
A．α<β<γ B．β<α<γ
C．α<γ<β D．β<γ<α
2．已知直线l1：x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角是60°，则k的值为(　　)
A．或0 B．－或0
C．D．－
3．已知直角坐标系中A(1，1)，B(2，3)，C(4，－2)，连接两点的所有直线中倾斜角最大的直线的斜率为(　　)
A．2 B．－1
C．D．－
4．[2023·山东青岛十九中高二检测]设直线l：x cos θ－y＋2＝0，则l的倾斜角的范围为(　　)
A．[，] B．[0，]∪[，π)
C．[，) D．[0，]∪(，]
5．直线x－y sin θ＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A．[0，π) B．[，]
C．[，] D．[，)∪(，]
6．(多选)已知三条直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α，β，γ.若α<β<γ，则下列关系可能成立的是(　　)
A．k3C．k27．若过点P(1－a，1＋a)与Q(4，2a)的直线的倾斜角为钝角，则整数a的一个可能取值为________．
8．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，若k∈[－，1]，则α的取值范围为________．
9．(1)设坐标平面内三点A(m，－m－3)、B(2，m－1)、C(－1，4)，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实数m的值；
(2)已知直线l1的斜率为，直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍，求直线l2的斜率．
10．已知A(3，1)，B(2，4)，C(m，2)三点．
(1)若直线BC的倾斜角为135°，求m的值；
(2)是否存在m，使得A，B，C三点共线？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
核心素养升级练 进阶训练第三层
1．[2023·江苏苏州中学高二检测]斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如下图是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)约为4.4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为16 m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝57 m，|OA1|＝86 m，则最长拉索所在直线的斜率为(　　)
A．±0.40 B．±0.42
C．±0.43 D．±0.45
2．已知直线l过点A(2，1)和B(1，m2)(m∈R)，则直线l斜率的取值范围是____________，倾斜角的取值范围是____________．
3．已知A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求l的倾斜角α的取值范围；
(2)求l的斜率k的取值范围．
2．1.1　倾斜角与斜率
必备知识基础练
1．答案：B
解析：由题设，l的斜率为tan ＝－.故选B.
2．答案：D
解析：由x＋3y－3＝0得y＝－x＋1，该直线的斜率为－，又倾斜角在[0°，180°)内，故倾斜角为150°.故选D.
3．答案：D
解析：设过A(2，1)，B(3，2)两点的直线的倾斜角为θ，0°≤θ<180°，∴tan θ＝＝1，可得θ＝45°.故选D.
4．答案：C
解析：由图象可知：k1<0，k2>0，k3>0；设l2，l3的倾斜角分别为α，β，则0<β<α<，∴tan β5．答案：A
解析：由题意，得＝tan 60°＝，解得a＝－2.故选A.
6．答案：AC
解析：A.直线倾斜角α范围为0≤α<π，正确；B.当直线斜率为tan α，则该直线的倾斜角为[0，π)内正切值为tan α的角，错误；C.平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时没有斜率，正确；D.倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，错误．故选AC.
7．答案：90°
解析：由于直线l的方程为x＝－3和x轴垂直，故直线l的倾斜角为90°.
8．答案：
解析：因为两点M(m＋2，m2)，N(1，1)，且直线MN的斜率为－2m，所以m＋2≠1且＝－2m，解得m＝.
关键能力综合练
1．答案：D
解析：∵l1：2x＋y－1＝0，∴k1＝－2，即tan α＝－2<0，∴α∈(，π)；∵l2：x－3y＝0，∴k2＝，即tan β＝>0，∴β∈(0，)；∵l3：x－3＝0为垂直于x轴的直线，∴γ＝.综上所述可得β<γ<α.故选D.
2．答案：A
解析：直线l1：x＋y＝0的斜率为k1＝－，所以倾斜角为120°.要使直线l1与直线l2的夹角是60°，只需直线l2的倾斜角为0°或60°，所以k的值为0或.故选A.
3．答案：B
解析：因为kAB＝＝2，kAC＝＝－1，kBC＝＝－，而k＝tan α在[0，)上单调递增，且k>0，在(，π)上单调递增，且k<0，－1>－，所以连接两点的所有直线中倾斜角最大的直线为AC，其斜率为－1.故选B.
4．答案：B
解析：直线l的斜率k＝cos θ∈[－1，1]，设其倾斜角为α，则tan α∈[－1，1]，由正切函数图象可知l的倾斜角范围为[0，]∪[，π).故选B.
5．答案：B
解析：设α为直线的倾斜角，当sin θ＝0时，直线的斜率不存在，直线的倾斜角α＝，当sin θ≠0时，直线的斜率k＝tan α＝∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以直线的倾斜角的取值范围是[，)∪(，].综上所述，α∈[，].故选B.
6．答案：ABC
解析：由题意，根据直线的斜率与倾斜角的关系有：当0≤α<β<γ<或<α<β<γ<π时，0≤k17．答案：－2(或－1或0)
解析：因为过点P(1－a，1＋a)与Q(4，2a)的直线的倾斜角是钝角，所以＝<0，解得－38．答案：{α|0≤α≤或≤α<π}
解析：斜率k＝tan α，且α∈[0，π)，当k∈[0，1]时，即0≤tan α≤1，解得0≤α≤，当k∈[－，0)时，即－≤tan α<0，解得≤α<π，所以α的取值范围为{α|0≤α≤或≤α<π}．
9．解析：(1)由kAC＝3kBC，即＝3·，解得m＝1或m＝2，
经检验均符合题意，故m的值是1或2.
(2)设直线l1的倾斜角为α，则直线l2的倾斜角为2α.
由已知，tan α＝，则直线l2的斜率为tan 2α＝＝.
10．解析：(1)因为B(2，4)，C(m，2)，直线BC的倾斜角为135°，
所以kBC＝－1＝，解得m＝4，
故m的值为4.
(2)因为A(3，1)，B(2，4)，C(m，2)三点．
所以当A，B，C三点共线时，kAB＝kBC，即＝，解得m＝，
所以存在m，使得A，B，C三点共线，m＝.
核心素养升级练
1．答案：B
解析：如图，以O为原点建系，
根据题意，最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝57m，|OA1|＝86 m，且|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为4.4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为16 m，
则|OA10|＝|OA1|＋|A1A10|＝86＋9×16＝230 m，即点A10(230，0)，同理B10(－230，0)，
又|OP10|＝|OP1|＋|P1P10|＝57＋9×4.4＝96.6，即点P10(0，96.6)，
所以kA10P10＝＝－0.42，kB10P10＝＝0.42，
即最长拉索所在直线的斜率为±0.42.故选B.
2．答案：(－∞，1]　[0，]∪(，π)
解析：依题意，直线l的斜率为＝1－m2≤1，即直线l的斜率的取值范围是(－∞，1]，y＝tan x在[0，)和(，π)上是增函数，tan 0＝0，tan ＝1，所以直线l的倾斜角的取值范围是[0，]∪(，π).
3．解析：(1)如图，当直线l过B时设直线l的倾斜角为α(0≤α＜π)，则tan α＝＝1，α＝，
当直线l过点A时设直线l的倾斜角为β(0≤β＜π)，
则tan β＝＝－1，β＝，
∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是≤α≤.
(2)由≤α≤，可得tan α≤－1或tan α≥1，
∴直线l的斜率的取值范围是k≤－1或k≥1.