2.5.2圆与圆的位置关系 课时作业（含解析）

2．5.2　圆与圆的位置关系
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．[2023·辽宁沈阳高二检测]已知圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆C2：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，则圆C1与圆C2的位置关系是(　　)
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
2．圆C1：x2＋y2－4x＋2y－4＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
3．[2023·江苏苏州高二检测]圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝m2(m>0)内切，则实数m的值为(　　)
A．4　　　B．5 C．6　　　D．7
4．[2023·广东茂名高二检测]圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋4y＝0的公共弦所在的直线方程是(　　)
A．x＋2y＝0 B．x－2y＝0
C．2x＋y＝0 D．2x－y＝0
5．两圆(x－2)2＋(y－1)2＝4与(x＋1)2＋(y－2)2＝1的公切线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
6．[2023·江西赣州高二检测]已知两圆C1：x2＋y2＝1与C2：(x－2)2＋(y－1)2＝5交于A，B两点，则直线AB的方程为________________．
7．圆C1：x2＋y2－2x＝0与圆C2：x2＋y2－4y＝0的公共弦长为________．
8．[2023·天津一中高二检测]与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且被y轴截得的弦长为4的圆的标准方程为________________．
关键能力综合练 进阶训练第二层
　
1．[2023·山东菏泽高二检测]如图，奥运五环由5个奥林匹克环套接组成，环从左到右互相套接，上面是蓝、黑、红环，下面是黄、绿环，整个造形为一个底部小的规则梯形．为迎接北京冬奥会召开，某机构定制一批奥运五环旗，已知该五环旗的5个奥林匹克环的内圈半径为1，外圈半径为1.2，相邻圆环圆心水平距离为2.6，两排圆环圆心垂直距离为1.1，则相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为(　　)
A． B．2.8
C． D．2.9
2．[2023·河南商丘高二检测]若圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋2)2＋(y＋3)2＝m有且仅有一条公切线，则m＝(　　)
A．16 B．25
C．36 D．16或36
3．已知两圆x2＋y2＝1和x2＋(y－a)2＝16无公共点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－3，3)
B．(－∞，－5)∪(5，＋∞)
C．(－5，－3)∪(3，5)
D．(－∞，－5)∪(－3，3)∪(5，＋∞)
4．[2023·河北沧州高二检测]点A(2，0)到直线l的距离为1，且直线l与圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝r2(r>0)相切，若这样的l有四条，则r的取值范围是(　　)
A．(0，2) B．(0，3)
C．(0，4) D．(0，5)
5．[2023·黑龙江牡丹江高二检测]已知圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆C2：(x－7)2＋(y－1)2＝50－a，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a＝(　　)
A．14 B．34
C．14或45 D．34或14
6．(多选)圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋6＝0与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则(　　)
A．AB的直线方程为4x－4y＋5＝0
B．公共弦AB的长为
C．圆C1与圆C2的公切线长为
D．线段AB的中垂线方程为x＋y－2＝0
7．[2023·福建漳州高二检测]已知圆C1：x2＋y2＝m2(m>0)与圆C2：x2＋y2－2x－4y－20＝0恰有两条公切线，则实数m的取值范围是________．
8．[2022·新高考Ⅰ卷]写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________．
9．已知圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝25，圆N：x2＋y2－14x－my＋52＝0，过圆M的圆心M作圆N的切线，切线长为5.
(1)求m的值，并判断圆M与圆N的位置关系；
(2)过圆N的圆心N作圆M的切线l，求l的方程．
10．[2023·山东潍坊高二检测]已知圆O：x2＋y2＝2，圆C过点M(5，3)且与圆O相切于点N(1，1).
(1)求圆C的标准方程；
(2)若P是圆C上异于点N的动点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，求四边形PAOB面积的最大值．
核心素养升级练 进阶训练第三层
1．与两圆(x＋2)2＋y2＝1，(x－2)2＋y2＝1都相切，且半径为3的圆一共有(　　)
A．2个 B．3个
C．5个 D．7个
2．[2023·辽宁抚顺高二检测]写出到原点及点M(－1，2)的距离分别为2，3的一条直线方程为________________．
3．[2023·河北邢台高二检测]已知圆C：x2＋y2＝4.
(1)过点M(4，2)，作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程；
(2)若点G是圆C上的任意一点，N(－1，0)，是否存在定点P，使得＝恒成立，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．5.2　圆与圆的位置关系
必备知识基础练
1．答案：A
解析：圆C1的圆心为(2，－1)，半径为.圆C2的圆心为(－3，4)，半径为2，所以两圆圆心之间的距离为＝5，半径和为＋2.因为5>＋2，所以两个圆相离．故选A.
2．答案：C
解析：将两圆的一般方程化为标准方程得C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝9；C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝4，
可知圆心C1(2，－1)，C2(－2，2)，半径r1＝3，r2＝2，
|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，
故两圆外切．故选C.
3．答案：C
解析：由题知C1：x2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝m2(m>0)，
所以C1(0，0)，r1＝1，C2(3，－4)，r2＝m，
因为圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝m2(m>0)内切，
所以|C1C2|＝|r1－r2|，即5＝|1－m|，
因为m>0，所以m＝6.故选C.
4．答案：A
解析：因为x2＋y2－2x＝0，x2＋y2＋4y＝0，所以(x2＋y2－2x)－(x2＋y2＋4y)＝0，所以x＋2y＝0，即所求直线方程为x＋2y＝0.故选A.
5．答案：D
解析：由题意，圆(x－2)2＋(y－1)2＝4与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1，
可得圆心坐标分别为C1(2，1)，C2(－1，2)，半径分别为r1＝2，r2＝1，
则|C1C2|＝＝，r2－r1＝1，r2＋r1＝3，
所以|C1C2|>r2＋r1，可得圆C1，C2外离，
所以两圆共有4条切线．故选D.
6．答案：4x＋2y－1＝0
解析：C1：x2＋y2＝1，C2：(x－2)2＋(y－1)2＝5，
两式作差得4x＋2y－5＝－4，化简得4x＋2y－1＝0.
所以直线AB的方程为4x＋2y－1＝0.
7．答案：
解析：圆C1：x2＋y2－2x＝0与圆C2：x2＋y2－4y＝0，
两式相减得，公共弦所在直线方程为x－2y＝0.
圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆心为C1：(1，0)，r＝1，
C1到公共弦的距离为d＝＝，
公共弦长为2 ＝.
8．答案：(x＋1)2＋(y－2)2＝5
解析：对圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0，其圆心C的坐标为(1，－2)，半径r＝，
设所求圆的圆心为C1(a，b)(a<0)，半径为r1，
因为所求圆与圆C外切于原点，故可得b＝－2a，且a2＋b2＝r；
又所求圆被y轴截得的弦长为4，故4＝2 ，
联立上式可得a＝－1，b＝2，r1＝，
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
关键能力综合练
1．答案：C
解析：如图所示，由题意可知|AB|＝2.6，在△ABC中，取AB的中点为D，连接CD，
所以|BD|＝1.3，|CD|＝1.1，
又因为AC＝BC，所以AB⊥CD，
所以|BC|＝＝.
即相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为.故选C.
2．答案：C
解析：根据题意，圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，其圆心为(2，0)，半径为1，
圆C2：(x＋2)2＋(y＋3)2＝m，圆心为(－2，－3)，半径为，
两圆的圆心距为d＝＝5，
若两圆有且仅有一条公切线，则两圆内切，则有|－1|＝5，
又由m>0，解得m＝36.故选C.
3．答案：D
解析：圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径r1＝1，
圆x2＋(y－a)2＝16的圆心为(0，a)，半径r2＝4，
设圆心距为d，则d＝|a|，
因为两圆x2＋y2＝1和x2＋(y－a)2＝16无公共点，
所以两圆外离或内含，
则dr2＋r1，
即|a|<3或|a|>5，
解得－35或a<－5，
所以实数a的取值范围为(－∞，－5)∪(－3，3)∪(5，＋∞).故选D.
4．答案：C
解析：点A(2，0)到直线l的距离为1，所以直线l与圆A：(x－2)2＋y2＝1相切，
直线l与圆A，圆C都相切且这样的l有四条，
所以圆C与圆A外离，圆心距大于半径之和，
即|AC|＝＝5>r＋1，解得r<4.故选C.
5．答案：D
解析：圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心为C1(3，－2)，r1＝1，
圆C2：(x－7)2＋(y－1)2＝50－a的圆心为C2(7，1)，r2＝，
|C1C2|＝＝5，
因为圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，故圆C1与圆C2相内切或外切，
故|1－r2|＝5或r2＋1＝5，从而r2＝6或r2＝4，
所以r2＝＝6或r2＝＝4，解得a＝34或a＝14，
所以实数a等于34或14.故选D.
6．答案：ACD
解析：由x2＋y2＋2x－6y＋6＝0，得(x＋1)2＋(y－3)2＝4，则C1(－1，3)，半径r1＝2，
由x2＋y2－2x－2y＋1＝0，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，则C2(1，1)，半径r2＝1，
对于A，公共弦AB所在的直线方程为x2＋y2＋2x－6y＋6－(x2＋y2－2x－2y＋1)＝0，
即4x－4y＋5＝0，所以A正确；
对于B，C2(1，1)到直线AB的距离d＝＝，
所以公共弦AB的长为|AB|＝2＝2＝，所以B错误；
对于C，因为|C1C2|＝＝2，r1＝2，r2＝1，
所以圆C1与圆C2的公切线长为＝＝，所以C正确；
对于D，根据题意可知线段AB的中垂线就是直线C1C2，因为kC1C2＝＝－1，
所以直线C1C2为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，所以D正确．故选ACD.
7．答案：(5－，5＋)
解析：由x2＋y2－2x－4y－20＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝25，
可知圆C2的圆心为(1，2)，半径为5；
因为圆C1与圆C2恰有两条公切线，所以圆C1与圆C2相交，
则|5－m|<|C1C2|<5＋m，∵|C1C2|＝＝，
解得5－8．答案：y＝－x＋或y＝x－或x＝－1
解析：圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为O1(3，4)，半径为4，
两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为kOO1＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t>0)
O到l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－x＋，
当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p>0，k<0，
由题意，解得，y＝x－，
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1.
9．解析：(1)由题意知，M(2，1)，N(7，)，圆N的半径rN＝＝，
由勾股定理得|MN|2＝r＋52，
即(7－2)2＋(－1)2＝()2＋52，
解得m＝4.
所以|MN|＝＝，rN＝1，rM＋rN＝6，rM－rN＝4.
因为rM－rN<|MN|(2)当l的斜率不存在时，l的方程为x＝7.检验知满足相切．
当l的斜率存在时，设l的方程为y－2＝k(x－7)，即kx－y－7k＋2＝0，
因为l与圆M相切，所以＝5，解得k＝－，
所以l的方程为y－2＝－(x－7)，即12x＋5y－94＝0.
综上所述，l的方程为x＝7或12x＋5y－94＝0.
10．解析：(1)设圆C的圆心为(a，b)，
由题意得＝，化简得2a＋b＝8，
因为圆C与圆O相切，切点为N(1，1)，
所以切点N(1，1)在直线OC上，直线OC为y＝x，
将N(1，1)代入y＝x中，得a＝b，
联立2a＋b＝8与a＝b可得a＝b＝，圆心为(，)，
故半径为 ＝，
故圆C的标准方程为(x－)2＋(y－)2＝.
(2)四边形PAOB面积可看作两个全等的直角三角形PAO面积与POB面积之和，
直角三角形PAO中直角边AO的长度为，故只需另一条直角边AP的长度最长即可，
由勾股定理可知只需OP最长即可，
显然连接OC并延长，交圆C于点P，此时OP最长，
为|OP|max＝ ＋＝，
此时AP最长，为|AP|max＝ ＝，
四边形PAOB面积的最大值为2×××＝.
核心素养升级练
1．答案：D
解析：圆O1：(x＋2)2＋y2＝1的圆心为O1(－2，0)，半径r1＝1，圆O2：(x－2)2＋y2＝1的圆心为O1(2，0)，半径r1＝1，设圆O3：(x－a)2＋(y－b)2＝9与圆O1，圆O2都相切，
当圆O3与圆O1，圆O2都外切时，则|O3O1|＝|O3O2|＝3＋1，
所以(a＋2)2＋b2＝16，(a－2)2＋b2＝16，所以a＝0，b＝±2，
所以圆O3的方程为x2＋(y＋2)2＝9或x2＋(y－2)2＝9，
当圆O3与圆O1，圆O2都内切时，则|O3O1|＝|O3O2|＝3－1，
所以(a＋2)2＋b2＝4，(a－2)2＋b2＝4，所以a＝0，b＝0，
所以圆O3的方程为x2＋y2＝9，
当圆O3与圆O1外切，与圆O2内切时，则|O3O1|＝3＋1，|O3O2|＝3－1，
所以(a＋2)2＋b2＝16，(a－2)2＋b2＝4，所以a＝，b＝±，
所以圆O3的方程为(x－)2＋(y＋)2＝9或(x－)2＋(y－)2＝9，
当圆O3与圆O1内切，与圆O2外切时，则|O3O1|＝3－1，|O3O2|＝3＋1，所以(a＋2)2＋b2＝4，(a－2)2＋b2＝16，所以a＝－，b＝±，所以圆O3的方程为(x＋)2＋(y＋)2＝9或(x＋)2＋(y－)2＝9，所以满足条件的圆共7个．故选D.
2．答案：x＝2或23x＋4y＋50＝0或x－2y＋10＝0
解析：到原点O(0，0)的距离为2的直线是以O为圆心2为半径的圆x2＋y2＝4的切线，
到点M(－1，2)的距离为3的直线是以M为圆心3为半径的圆(x＋1)2＋(y－2)2＝9的切线，
因此符合条件的直线是圆O与圆M的公切线，而|OM|＝＝5，即圆O与圆M外切，它们有3条公切线，
显然直线x＝2与圆O、圆M都相切，且圆O与圆M都在直线x＝2及左侧，因此直线x＝2是圆O与圆M的一条外公切线，
圆O与圆M的连心线所在直线OM：y＝－2x，则直线x＝2关于直线OM对称的直线为两圆的另一条外公切线，
设这条外公切线上任意一点为(x，y)，则它关于直线OM的对称点必在直线x＝2上，设此点为(2，y′)，
因此，消去y′并整理得23x＋4y＋50＝0，
则圆O与圆M的外公切线方程为x＝2，23x＋4y＋50＝0，
由，解得，即圆O与圆M相外切于点(－，)，
于是得圆O与圆M的内公切线方程为y－＝(x＋)，即x－2y＋10＝0，
所以所求直线方程为x＝2或23x＋4y＋50＝0或x－2y＋10＝0.
3．解析：(1)由题意得，圆C的圆心为C(0，0)，MA⊥CA，MB⊥CB，
则A，B，C，M四点共圆，且以CM为直径，
所以该圆的圆心坐标为(2，1)，故该圆的半径为r＝＝，
所以该圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，
联立，两式相减得2x＋y－2＝0，
所以直线AB方程为2x＋y－2＝0.
(2)假设存在定点P，使得＝，
设P(m，n)，G(x0，y0)，
因为＝，所以＝，
整理得3(x＋y)＋8x0＋2mx0＋2ny0＋4－m2－n2＝0，
x＋y＋x0＋y0＝，　①
由G(x0，y0)为圆C上任意一点，则点G满足x＋y＝4，　②
因为G同时满足①②，可得，解得，所以存在定点P(－4，0)，满足＝.