3.1.3组合与组合数 课时作业（含解析）

3．1.3　组合与组合数
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．以下四个问题，属于组合问题的是(　　)
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
2．用列举法写出下列组合：
(1)从4个不同元素中任取3个元素的所有组合___________________________；
(2)从5个不同元素中任取2个元素的所有组合___________________________．
3．某学校拟邀请5位学生家长中的3位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法有________种．
4．某班从3名男同学和5名女同学中，选取3人参加学校的“创文知识”竞赛，要求男女生都有，则不同的选法共有________种．
5．乾隆皇帝欲将4幅不同的字画全部赏赐给刘墉、纪昀、和珅3位大臣，每位大臣至少1幅，共有(　　)种不同的分法．
A．24 B．36
C．48 D．72
6．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有(　　)
A．如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法
B．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
D．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
8．有8名学生，其中2名学生会下象棋但不会下围棋，3名学生会下围棋但不会下象棋，3名学生既会下象棋又会下围棋．现从这8名学生中选出2名学生，其中一名学生参加象棋比赛，另一名学生参加围棋比赛，则不同的选派方法有(　　)
A．18 B．24
C．27 D．30
9．如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女) 在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为(　　)
A．14 B．18
C．30 D．36
10．若C＋C＋C＋…＋C＝363，则正整数n＝________．
11．从1到9这九个数字中任取3个偶数和4个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起的有多少个？
(3)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起、4个奇数也排在一起的有多少个？
(4)在(1)中的七位数中，任意2个偶数都不相邻的有多少个？
12．学校组织甲、乙、丙、丁4名同学去A，B，C 3个工厂进行社会实践活动，每名同学只能去1个工厂．
(1)问有多少种不同的分配方案？
(2)若每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？
(3)若同学甲、乙不能去工厂A，且每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？(结果全部用数字作答)
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有(　　)种分配方案．
A．135 B．10
C．75 D．120
14．将4个编号为1，2，3，4的不同小球全部放入4个编号为1，2，3，4的4个不同盒子中．求：
(1)每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？
(2)恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？
(3)每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
(4)把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球(无编号)，其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？
3．1.3　组合与组合数
必备知识基础练
1．答案：C
解析：只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题，而A，B，D均与顺序有关．故选C.
2．答案：(1)见解析　(2)见解析
解析：(1)设4个不同元素为1，2，3，4，
从中任取3个元素，所有组合为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}．
(2)设5个不同元素为1，2，3，4，5，从中任取2个元素，所有组合为
{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}．
3．答案：6
解析：甲同学家长必须参加，则还需从剩下的4位家长中选2位，方法数为C＝6.
4．答案：45
解析：在所有组合中排除全为男生和全为女生的情况，则共有C－C－C＝45种．
5．答案：B
解析：先将4幅不同的字画分为三组，每组的容量分别为2、1、1，再将这三组字画分配给3位大臣，
由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为CA＝36种．故选B.
6．解析：(1)C－C＝825(种).
(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，
所以共有CC＋CC＋C＝966(种)选法．
(3)分两类：第一类：女队长当选，有C＝495(种)选法，
第二类：女队长没当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295(种)选法，所以共有495＋295＝790(种)选法．
关键能力综合练
7．答案：CD
解析：只从男生中选择4人，有C＝15种，故A错误；
如果4人中男生女生各有2人，则共有CC＝90种，故B错误；
如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么在剩下的8人中任选2人，共有C＝28种选法，故C正确；
从10人中任选4人，共有C＝210种选法，排除甲乙两人任选4人，有C＝70种选法，
故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有210－70＝140种，故D正确．故选CD.
8．答案：C
解析：3名既会下象棋又会下围棋的学生中选取0人时，方法数有C·C＝6种．
3名有既会下象棋又会下围棋的学生中选取1人时，方法数有C×(C＋C)＝15种．
3名有既会下象棋又会下围棋的学生中选取2人时，方法数有A＝6种．
故总的方法数有6＋15＋6＝27种．故选C.
9．答案：B
解析：将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为CCC＝30，其中两名女航天员在一个舱内的方案数为CCC＝12，所以满足条件的方案数为30－12＝18种．故选B.
10．答案：13
解析：由C＋C＋C＋…＋C＝363，得1＋C＋C＋C＋…＋C＝364，
即C＋C＋C＋C＋…＋C＝364.又C＋C＝C，则C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C，所以C＝364，化简可得＝364，
又n是正整数，解得n＝13.
11．解析：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C种情况；
第二步，在5个奇数中取4个，有C种情况；
第三步，将3个偶数，4个奇数进行全排列，有A种情况．
所以符合题意的七位数有CCA＝100 800(个).
(2)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA＝14 400(个).
(3)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有CCAAA＝5 760(个).
(4)在(1)中的七位数中，任意2个偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入到5个空位中，共有CCAA＝28 800(个).
12．解析：(1)每名同学都有3种分配方法，则不同的分配方案有34＝81(种).
(2)先把4个同学分3组，有C种方法；再把这3组同学分到A，B，C 3个工厂，有A种方法，则不同的分配方案有CA＝36(种).
(3)同学甲、乙不能去工厂A，分配方案分两类：
①另外2名同学都去工厂A，甲、乙去工厂B，C，有A＝2(种)情况；
②另外2名同学中有一名去工厂A，有CCA＝12(种)情况．所以不同的分配方案共有2＋12＝14(种).
核心素养升级练
13．答案：B
解析：“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”，故有C＝10.故选B.
14．解析：(1)根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为A＝24(种).
(2)先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2，1，1，然后分配给4个盒子中的3个盒子，
由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为CA＝144(种).
(3)考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，则其它3个球均未放入相应编号的盒子，
那么编号为2，3，4的盒子中放入的小球编号可以依次为3，4，2或4，2，3，
因此，所求放法种数为2×4＝8(种).
(4)按两步进行，空盒编号有4种情况，
然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒，
则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空(不包括两端)中插入2块板，
由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为4C＝12(种).