3.1.1椭圆及其标准方程 课时作业（含解析）

3．1.1　椭圆及其标准方程
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．[2023·江苏连云港高二检测]已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋x2＝1 D．＋＝1
2．[2023·山东青岛高二检测]在平面上，动点P与两个定点F1，F2的距离之和为7，若|F1F2|＝10，则P点的轨迹为(　　)
A．线段 B．两条射线
C．椭圆 D．不存在
3．[2023·天津河北高二检测]若椭圆＋＝1上一点P到右焦点的距离为5，则它到左焦点的距离为(　　)
A．31 　 　B．15 C．7　　　D．1
4．[2023·山西太原高二检测]已知椭圆C的一个焦点为(1，0)，且过点(0，)，则椭圆C的标准方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
5．[2023·江苏扬州高二检测]设m为实数，若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．
C．16．[2023·河北邢台高二检测]如果方程kx2＋y2＝2表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1，2)
C．(，1) D．(0，1)
7．[2023·黑龙江鸡西高二检测]已知a＝2，b＝1，焦点在x轴上，则此椭圆的标准方程为________．
8．[2023·福建莆田高二检测]设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P是C上的点，则△PF1F2的周长为________．
关键能力综合练 进阶训练第二层
1．[2023·辽宁沈阳高二检测]椭圆M的左、右焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，过点F1的直线交椭圆M于点A，B.若△ABF2的周长为20，则该椭圆的标准方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
2．[2023·浙江温州高二检测]已知M为圆P：(x＋2)2＋y2＝36的一个动点，定点Q(2，0)，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
3．[2023·广东江门高二测试]已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则·的最大值为(　　)
A．36 B．25
C．20 D．16
4．[2023·山东青岛高二检测]已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的一个动点，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为(　　)
A．9 B．3
C． D．
5．[2023·广东广州高二检测](多选)对于曲线C：＋＝1，下列说法正确的是(　　)
A．曲线C不可能是圆
B．“3C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“6D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“36．[2023·黑龙江牡丹江高二检测](多选)点F1，F2为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则椭圆C的方程可以是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
7．椭圆经过点(2，－)和(2，)，则该椭圆的标准方程为____________________．
8．[2023·广东揭阳高二测试]椭圆＋＝1的左焦点为F1，M为椭圆上的一点，N是MF1的中点，O为原点，若|ON|＝3，则|MF1|＝________．
9．一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
10.已知平面上两点F(－4，0)，F′(4，0)，△PFF′的周长为18.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)当动点P满足∠FPF′＝90°时，求点P的纵坐标．
核心素养升级练 进阶训练第三层
1．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的面积为8π，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
2．[2023·湖北华中师大附中高二检测]已知椭圆E：＋＝1的右焦点F，P是椭圆E上的一个动点，Q点坐标是(1，3)，则|PQ|＋|PF|的最大值是________．
3．已知点A(－3，0)，B(3，0)，圆O以AB为直径，点P为圆O上任一点，过P作x轴的垂线段，垂足为D，点M在PD上，且＝，记M点的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设点Q为曲线C上异于A，B的任一点，求kQA·kQB的值．
3．1.1　椭圆及其标准方程
必备知识基础练
1．答案：D
解析：根据椭圆的定义知动点M的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，2a＝6，a＝3，c＝2，b2＝a2－c2＝5，
即动点M的轨迹方程为＋＝1.故选D.
2．答案：D
解析：由题意可知，|PF1|＋|PF2|＝7<10＝|F1F2|，
所以点P的轨迹不存在．故选D.
3．答案：C
解析：在椭圆＋＝1中，a2＝36 a＝6，
记椭圆＋＝1的左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF2|＝5，
由椭圆的定义可知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝12，
所以|PF1|＝12－5＝7.故选C.
4．答案：B
解析：根据题意，椭圆的焦点在x轴上，故设其方程为＋＝1(a>b>0)，显然c＝1，b＝，
则a2＝b2＋c2＝4，故椭圆方程为＋＝1.故选B.
5．答案：A
解析：由题意得，m－1>2－m>0，解得6．答案：D
解析：由方程kx2＋y2＝2，可得＋＝2，
因为方程kx2＋y2＝2表示焦点在x轴上的椭圆，可得>2，解得0所以实数k的取值范围是(0，1).故选D.
7．答案：＋y2＝1
解析：因为椭圆的焦点在x轴上且a＝2，b＝1，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
8．答案：16
解析：由椭圆C：＋＝1，
得a＝5，b＝4，c＝3，
因为P是C上的点，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝16.
关键能力综合练
1．答案：B
解析：因为△ABF2的周长为20，由椭圆定义可知：4a＝20，即a＝5，
又因为c＝3，所以b2＝a2－c2＝52－32＝16，
所以该椭圆的标准方程为＋＝1.故选B.
2．答案：C
解析：根据题意，作图如图：
易知|NM|＝|NQ|，则|NP|＋|NM|＝6，即|NP|＋|NQ|＝6>|PQ|＝4，
故点N的轨迹是以P，Q为焦点且长轴长为6的椭圆，
设其方程为＋＝1(a>b>1)，则c＝2，2a＝6，则a＝3，
故b＝＝，则椭圆方程为＋＝1.故选C.
3．答案：B
解析：由椭圆C：＋＝1易知a＝5，根据椭圆定义可知＋＝2a＝10，
所以|MF1|·|MF2|≤()2＝25，
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝5时，等号成立，
所以|MF1|·|MF2|≤25，即|MF1|·|MF2|的最大值为25.故选B.
4．答案：B
解析：由＋＝1，得a2＝25，b2＝9，c2＝a2－b2＝25－9＝16，即a＝5，b＝3，c＝4，
由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝10，|F1F2|＝8，
在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，可得
82＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝12.
所以△PF1F2的面积为S△PF1F2＝·|PF1|·|PF2|·sin 60°＝×12×＝3.故选B.
5．答案：CD
解析：当9－k＝k－3，即k＝6时，
方程＋＝1为x2＋y2＝3，
曲线C表示圆心是(0，0)，半径为的圆，A错误；
若曲线C是椭圆，则，解得3所以“3若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，解得6所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“6若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则，解得3“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“36．答案：AC
解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
设椭圆上顶点为B，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，
则需∠F1BF2≥90°，
∴|BF1|2＋|BF2|2≤|F1F2|2，
即a2＋a2≤4c2，∵c2＝a2－b2，2a2≤4a2－4b2，
则a2≥2b2，所以选项AC满足．故选AC.
7．答案：＋＝1
解析：由题意得：
椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
∵椭圆经过点(2，－)和(2，)，
∴将(2，－)和(2，)代入mx2＋ny2＝1，
，
∴椭圆标准方程为＋＝1.
8．答案：4
解析：
椭圆＋＝1的左焦点为F1，如图，设右焦点为F2，则a＝5，
由N是MF1的中点，O为F1F2的中点，|ON|＝3，
故|MF2|＝2|ON|＝6，
又|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，
所以|MF1|＝4.
9．解析：设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，
将圆方程分别配方得(x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100，
O1(－3，0)，半径r1＝2，O2(3，0)，半径r2＝10，
当⊙M与⊙O1外切时，有|O1M|＝R＋2，①
当⊙M与⊙O2内切时，有|O2M|＝10－R，②
将①②两式的两边分别相加，得|O1M|＋|O2M|＝12，由椭圆的定义知，M的轨迹是以O1、O2为焦点的椭圆，
设椭圆方程为＋＝1，则有a＝6，c＝3，b2＝27.从而所求椭圆方程为＋＝1.
10．解析：(1)因为△PFF′的周长为18，故|PF|＋|PF′|＝10，
由椭圆的定义可得P的轨迹为椭圆，其长轴长2a＝10，故a＝5，
而半焦距c＝4，故b＝3，
故方程为＋＝1(x≠±5).
(2)设P(x0，y0)，则＝(－4－x0，－y0)，＝(4－x0，－y0)，
因为∠FPF′＝90°，故·＝0，所以x＋y＝16，
而＋＝1，解得y0＝±，
故点P的纵坐标为±.
核心素养升级练
1．答案：B
解析：
由椭圆面积公式可得＝ab，当S＝8π时，ab＝8，　①
如图，当△PF1F2为等边三角形时，＝＝，　②
联立①②得a2＝16，b2＝12，故椭圆C的方程为＋＝1.故选B.
2．答案：13
解析：由E：＋＝1可知a＝4，b＝，c＝＝3.
设椭圆左焦点F′(－3，0)，则|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋2a－|PF′|≤8＋|QF′|
＝8＋＝8＋5＝13，
当且仅当P，Q，F′共线时且当P在QF′的延长线上P′时等号成立．
∴|PQ|＋|PF|的最大值为13.
3．解析：(1)由题知，圆O的方程为x2＋y2＝9，
因为点P为圆O上任一点，过P作x轴的垂线段，垂足为D，M在PD上，
设M(x，y)，P(x0，y0)，则D(x0，0)，x＋y＝9，
＝(x－x0，y)，＝(0，y0).
因为＝，所以，
因为x＋y＝9，
所以x2＋＝9，即＋＝1.
所以曲线C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知曲线C的方程为＋＝1，
设Q(x1，y1)(x1≠±3)，则＋＝1，y＝4(1－)，
所以kQA·kQB＝·＝＝＝－.