3.1.1椭圆及其标准方程 课时作业(含解析)

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名称 3.1.1椭圆及其标准方程 课时作业(含解析)
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文件大小 118.6KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-06-11 10:17:52

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文档简介

3.1.1 椭圆及其标准方程
必备知识基础练 进阶训练第一层
1.[2023·江苏连云港高二检测]已知动点M到两个定点A(-2,0),B(2,0)的距离之和为6,则动点M的轨迹方程为(  )
A.+y2=1 B.+=1
C.+x2=1 D.+=1
2.[2023·山东青岛高二检测]在平面上,动点P与两个定点F1,F2的距离之和为7,若|F1F2|=10,则P点的轨迹为(  )
A.线段 B.两条射线
C.椭圆 D.不存在
3.[2023·天津河北高二检测]若椭圆+=1上一点P到右焦点的距离为5,则它到左焦点的距离为(  )
A.31    B.15 C.7   D.1
4.[2023·山西太原高二检测]已知椭圆C的一个焦点为(1,0),且过点(0,),则椭圆C的标准方程为(  )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
5.[2023·江苏扬州高二检测]设m为实数,若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是(  )
A.
C.16.[2023·河北邢台高二检测]如果方程kx2+y2=2表示焦点在x轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是(  )
A.(1,+∞) B.(1,2)
C.(,1) D.(0,1)
7.[2023·黑龙江鸡西高二检测]已知a=2,b=1,焦点在x轴上,则此椭圆的标准方程为________.
8.[2023·福建莆田高二检测]设F1,F2分别是椭圆C:+=1的左、右焦点,P是C上的点,则△PF1F2的周长为________.
关键能力综合练 进阶训练第二层
1.[2023·辽宁沈阳高二检测]椭圆M的左、右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),过点F1的直线交椭圆M于点A,B.若△ABF2的周长为20,则该椭圆的标准方程为(  )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
2.[2023·浙江温州高二检测]已知M为圆P:(x+2)2+y2=36的一个动点,定点Q(2,0),线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点,则N点的轨迹方程为(  )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
3.[2023·广东江门高二测试]已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则·的最大值为(  )
A.36 B.25
C.20 D.16
4.[2023·山东青岛高二检测]已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上的一个动点,若∠F1PF2=60°,则△PF1F2的面积为(  )
A.9 B.3
C. D.
5.[2023·广东广州高二检测](多选)对于曲线C:+=1,下列说法正确的是(  )
A.曲线C不可能是圆
B.“3C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“6D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“36.[2023·黑龙江牡丹江高二检测](多选)点F1,F2为椭圆C的两个焦点,若椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=90°,则椭圆C的方程可以是(  )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
7.椭圆经过点(2,-)和(2,),则该椭圆的标准方程为____________________.
8.[2023·广东揭阳高二测试]椭圆+=1的左焦点为F1,M为椭圆上的一点,N是MF1的中点,O为原点,若|ON|=3,则|MF1|=________.
9.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
10.已知平面上两点F(-4,0),F′(4,0),△PFF′的周长为18.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)当动点P满足∠FPF′=90°时,求点P的纵坐标.
核心素养升级练 进阶训练第三层
1.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的面积为8π,两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形,则椭圆C的方程为(  )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
2.[2023·湖北华中师大附中高二检测]已知椭圆E:+=1的右焦点F,P是椭圆E上的一个动点,Q点坐标是(1,3),则|PQ|+|PF|的最大值是________.
3.已知点A(-3,0),B(3,0),圆O以AB为直径,点P为圆O上任一点,过P作x轴的垂线段,垂足为D,点M在PD上,且=,记M点的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设点Q为曲线C上异于A,B的任一点,求kQA·kQB的值.
3.1.1 椭圆及其标准方程
必备知识基础练
1.答案:D
解析:根据椭圆的定义知动点M的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,2a=6,a=3,c=2,b2=a2-c2=5,
即动点M的轨迹方程为+=1.故选D.
2.答案:D
解析:由题意可知,|PF1|+|PF2|=7<10=|F1F2|,
所以点P的轨迹不存在.故选D.
3.答案:C
解析:在椭圆+=1中,a2=36 a=6,
记椭圆+=1的左焦点为F1,右焦点为F2,则|PF2|=5,
由椭圆的定义可知:|PF1|+|PF2|=2a=12,
所以|PF1|=12-5=7.故选C.
4.答案:B
解析:根据题意,椭圆的焦点在x轴上,故设其方程为+=1(a>b>0),显然c=1,b=,
则a2=b2+c2=4,故椭圆方程为+=1.故选B.
5.答案:A
解析:由题意得,m-1>2-m>0,解得6.答案:D
解析:由方程kx2+y2=2,可得+=2,
因为方程kx2+y2=2表示焦点在x轴上的椭圆,可得>2,解得0所以实数k的取值范围是(0,1).故选D.
7.答案:+y2=1
解析:因为椭圆的焦点在x轴上且a=2,b=1,
所以椭圆方程为+y2=1.
8.答案:16
解析:由椭圆C:+=1,
得a=5,b=4,c=3,
因为P是C上的点,所以|PF1|+|PF2|=2a=10,
所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16.
关键能力综合练
1.答案:B
解析:因为△ABF2的周长为20,由椭圆定义可知:4a=20,即a=5,
又因为c=3,所以b2=a2-c2=52-32=16,
所以该椭圆的标准方程为+=1.故选B.
2.答案:C
解析:根据题意,作图如图:
易知|NM|=|NQ|,则|NP|+|NM|=6,即|NP|+|NQ|=6>|PQ|=4,
故点N的轨迹是以P,Q为焦点且长轴长为6的椭圆,
设其方程为+=1(a>b>1),则c=2,2a=6,则a=3,
故b==,则椭圆方程为+=1.故选C.
3.答案:B
解析:由椭圆C:+=1易知a=5,根据椭圆定义可知+=2a=10,
所以|MF1|·|MF2|≤()2=25,
当且仅当|MF1|=|MF2|=5时,等号成立,
所以|MF1|·|MF2|≤25,即|MF1|·|MF2|的最大值为25.故选B.
4.答案:B
解析:由+=1,得a2=25,b2=9,c2=a2-b2=25-9=16,即a=5,b=3,c=4,
由椭圆的定义可知,|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=8,
在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°,可得
82=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=12.
所以△PF1F2的面积为S△PF1F2=·|PF1|·|PF2|·sin 60°=×12×=3.故选B.
5.答案:CD
解析:当9-k=k-3,即k=6时,
方程+=1为x2+y2=3,
曲线C表示圆心是(0,0),半径为的圆,A错误;
若曲线C是椭圆,则,解得3所以“3若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则,解得6所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“6若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则,解得3“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“36.答案:AC
解析:设椭圆方程为+=1(a>b>0),
设椭圆上顶点为B,椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=90°,
则需∠F1BF2≥90°,
∴|BF1|2+|BF2|2≤|F1F2|2,
即a2+a2≤4c2,∵c2=a2-b2,2a2≤4a2-4b2,
则a2≥2b2,所以选项AC满足.故选AC.
7.答案:+=1
解析:由题意得:
椭圆的标准方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
∵椭圆经过点(2,-)和(2,),
∴将(2,-)和(2,)代入mx2+ny2=1,

∴椭圆标准方程为+=1.
8.答案:4
解析:
椭圆+=1的左焦点为F1,如图,设右焦点为F2,则a=5,
由N是MF1的中点,O为F1F2的中点,|ON|=3,
故|MF2|=2|ON|=6,
又|MF1|+|MF2|=2a=10,
所以|MF1|=4.
9.解析:设动圆圆心为M(x,y),半径为R,设已知圆的圆心分别为O1、O2,
将圆方程分别配方得(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100,
O1(-3,0),半径r1=2,O2(3,0),半径r2=10,
当⊙M与⊙O1外切时,有|O1M|=R+2,①
当⊙M与⊙O2内切时,有|O2M|=10-R,②
将①②两式的两边分别相加,得|O1M|+|O2M|=12,由椭圆的定义知,M的轨迹是以O1、O2为焦点的椭圆,
设椭圆方程为+=1,则有a=6,c=3,b2=27.从而所求椭圆方程为+=1.
10.解析:(1)因为△PFF′的周长为18,故|PF|+|PF′|=10,
由椭圆的定义可得P的轨迹为椭圆,其长轴长2a=10,故a=5,
而半焦距c=4,故b=3,
故方程为+=1(x≠±5).
(2)设P(x0,y0),则=(-4-x0,-y0),=(4-x0,-y0),
因为∠FPF′=90°,故·=0,所以x+y=16,
而+=1,解得y0=±,
故点P的纵坐标为±.
核心素养升级练
1.答案:B
解析:
由椭圆面积公式可得=ab,当S=8π时,ab=8, ①
如图,当△PF1F2为等边三角形时,==, ②
联立①②得a2=16,b2=12,故椭圆C的方程为+=1.故选B.
2.答案:13
解析:由E:+=1可知a=4,b=,c==3.
设椭圆左焦点F′(-3,0),则|PQ|+|PF|=|PQ|+2a-|PF′|≤8+|QF′|
=8+=8+5=13,
当且仅当P,Q,F′共线时且当P在QF′的延长线上P′时等号成立.
∴|PQ|+|PF|的最大值为13.
3.解析:(1)由题知,圆O的方程为x2+y2=9,
因为点P为圆O上任一点,过P作x轴的垂线段,垂足为D,M在PD上,
设M(x,y),P(x0,y0),则D(x0,0),x+y=9,
=(x-x0,y),=(0,y0).
因为=,所以,
因为x+y=9,
所以x2+=9,即+=1.
所以曲线C的方程为+=1.
(2)由(1)知曲线C的方程为+=1,
设Q(x1,y1)(x1≠±3),则+=1,y=4(1-),
所以kQA·kQB=·===-.