C
B
C
D
B
D
B
D
BCD
CD
60°
解答题
17. （10分）已知复数.求（1）；（2）.
解：因为
∴ 4分
6分
（2）
-----------10分
18．（12分）在△ABC中，有.
(1)求角的大小；
(2)若，求△ABC的面积.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用三角形的面积公式可得出的面积.
【详解】（1）解：由题意可得，，故.
（2）解：由三角形的面积公式可得.
因此，△ABC的面积为.
19．（12分）已知向量，．
(1)求；
(2)已知，且，求向量与向量的夹角．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由题知，，
所以，
所以.
（2）由题知，，，，
所以，，所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
向量与向量的夹角为.
20．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求△ABC面积的最大值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案;
（2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式求得答案.
【详解】（1）根据正弦定理及，
得.
∵，
∴.
∵，
∴.
（2）由（1）知，又，
由余弦定理得，
即， ∵，
∴，即，
当且仅当时取等号.
∴.
∴的最大值为.
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，
底面为菱形，为的中点．
(1)求证： BD⊥平面；
(2)若点是棱的中点，求证： 平面.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】由平面，且底面为菱形，即可得到平面内的两条相交直线，则可证得平面.
(2)由分别为中点，可得到，则问题即可得以证明.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为底面是菱形，则，，平面，所以平面.
（2）连接，如图所示：
因为分别为的中点，则且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面.
22．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,
PA=PC,E为PB的中点．
求证: (1) ∥ 平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明;
(2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.
【详解】（1）设,连接,如图所示:
因为O,E分别为,的中点,所以,
又因为平面,平面,
所以 ∥ 平面．
（2）连接,如图所示:
因为,为的中点,所以,
又因为四边形为菱形,所以,
因为平面,平面,且,
所以平面,又因为平面,
所以平面平面．辽源市第五高中2022-2023学年高一下学期6月第三次质量检测
数 学
本试卷共20题，满分120分，共4页。考试用时90分钟。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内。
2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意要求。）
1. 已知向量与平行，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2．是虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
3．若 ，则复数=（ ）
A. B． C． D． 5
4．已知中,,,则角等于( )
A. B. C. D.
5．若平面平面，直线，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．在内 D．无法判定
6．已知空间中两个角，的两边对应平行，且，则（ ）
A． B． C． D．或
7．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ）
A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能
第7题图 第8题图
8．如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。）
9．已知（ ）
A．虚部为1 B． C． D．
10．已知向量，，，则
A． B． C． D．
11．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
12．已知向量，设所成的角为，则
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．在中，角，，的对边分别是，，，，，，那么= _______
14．若圆柱的高为10，底面积为，则这个圆柱的侧面积为_____________．（结果保留）
15．如图所示，在正方体中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线与所成的角的大小为 。
第15题图 第16题图
16．在长方体中，，，，则与平面所成角的正切值为 。
三、解答题（本题共4小题，共40分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17. （10分）已知复数.求（1）；（2）.
18．（12分）在△ABC中，有.
(1)求角的大小；
(2)若，求△ABC的面积.
19．（12分）已知向量，．
(1)求；
(2)已知，且，求向量与向量的夹角．
20．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求△ABC面积的最大值.
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，
底面为菱形，为的中点．
(1)求证： BD⊥平面；
(2)若点是棱的中点，求证： 平面.
22．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,
PA=PC,E为PB的中点．
求证: (1) ∥ 平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
