河南省南阳市名校2022-2023学年高一下学期6月第四次月考数学试题（含答案）

南阳市名校2022-2023学年高一下学期6月第四次月考
数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分,共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）
1. 若tanα>0，，则角α的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 如图所示，水平放置的一个平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是（ )
A. 8cm B. 10cm C. 6cm D. 12cm
3. 若z=1+i，则( ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
4. 设a，b，c表示不同直线，，表示不同平面，下列命题：①若，，则;②若，，则③若,，则： ④若,，，则其中真命题的个数是( ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知，则( )
A. B. C. D.
6. 已知函数，则下面结论错误的是（ ）
A. 当时，f(x)的取值范围是
B. y=f(x)在上单调递减
C. y=f(x)的图像关于直线对称
D. y=f(x)的图像可由函数的图像向右平移个单位得到
7. 已知圆锥的母线长为2，底面半径为，则过顶点的截面面积的最大值等于（ ）
A. B. C. 3 D. 2
8. 设,,，则有（ ）
A. a>b>c B. a二、多选题（本题共4小题，每小题5分,共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法不正确的是（ ）
A. 底面是矩形的四棱柱是长方体
B. 有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的几何体叫平行六面体
C. 棱柱的各个侧面都是平行四边形
D. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
10. 已知复数，，则（ ）
A.
B. 复数的虚部为
C. 复数与在复平面内所对应的点位于同一象限
D. 复数在复平面内对应的点在函数的图像上
11. 已知向量,，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最大值为2
D. 的取值范围是[1,3]
12. 已知为的重心，D为边的中点，则（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分,共20分）
13. 若满足，AC=6，BC=k的恰有一个，则的取值范围是______.
14. 在正方体中，E是的中点，连接DE、，则异面直线DE、所成角的正弦值为____.
15. 已知向量，且，则______.
16. 已知中，点在边上，,AD=2,CD=2BD．当取得最小值时,BD=_____.
四、解答题（本题共6小题,共70分）
17. （10分）已知复数，其中且a>0，i为虚数单位，且为纯虚数
(1)求实数的值；
(2)若，求复数并指出其对应复平面内的点所在的象限.
18. （12分）已知向量，满足，，与不共线.
(1)若向量与为方向相反的向量，求实数的值；
(2)若向量与的夹角为，求与的夹角
19. （12分）已知a,为锐角，,
（1）求cos2α的值； (2)求的值.
20. （12分）如图，已知点是正方形所在平面外一 点，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2）若中点为Q，求证：平面平面PAD.
(3)若平面ABCD，AB=PA=2，求直线与面 PAD所成的角.
21. （12分）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(I)求角的大小； (Ⅱ)求的取值范围
22. （12分）已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴
(1)求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作y=g(x)，已知常数，且函数在（0,nπ)内恰有个零点，求常数与n的值.
南阳市名校2022-2023学年高一下学期6月第四次月考
数学答案
一、单选题
1.C 2.A 3.D 4.A 5.A 6.D 7.D 8.C
二、多选题
9.ABD 10.BC 11.ACD 12.ABC
三、填空题
13.
14.
15.
16. 【详解】[方法一]：余弦定理
设CD=2BD=2m>0，
则在中，,
在中，ADcOs∠ADC=4m2+4-4m，
所以
当且仅当即时，等号成立
所以当取最小值时，
故答案为:.
[方法二]：建系法
令BD=t，以为原点，OC为轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），，
当且仅当即时等号成立。
四、解答题
第17题：
【解析】（1），
为纯虚数，且a>0，∴。解得a=4.
(2）
对应复平面内的点的坐标为，在第二象限
18.(12分）解：(1).向量与的方向相反，∴存在实数λ<0，使26)，且,不共线，∴，解得或(舍去），
(2),, （2a+b）·（a－b）=-3
且
∴
19.（12分）解：（1）因为,，所以因为，所以, 因此，
（2）因为α，为锐角，所以又因为，所以因此. 因为，所以, 因此.
20.(1)证明见解析证明见解析(3)
【详解】（1）取的中点E，连接AE，NE， 因为是PC的中点，所以且, 又是AB的中点，ABCD是正方形，所以AM∥DC且, 所以且NE=AM， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面PAD，AE平面PAD， 所以MN∥平面PAD.
（2)因为为PB的中点，M是的中点 ,所以MQ∥AP,又MQ平面PAD，平面PAD， 所以MQ∥平面PAD, 又MN∥平面PAD,MQ MN=M， MQ,MNc平面MNQ，所以平面平面PAD.
（3）因为平面ABCD，平面PAD， 所以平面平面ABCD， 又为正方形，所以，AB平面ABCD，平面 平面ABCD=AD， 所以平面PAD， 所以即为直线与面所成的角，又AB=PA=2，所以为等腰直角三角 形，所以，即直线与面所成的角为.
21.（12分）(1)
【详解】(1)[方法一]：余弦定理 由，得，即结合余弦定，即即即2, 即∵为锐角三角形，,， 所以又为的一个内角，故
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角 由2bsin，结合正弦定理可得：2sinBsin4=<5 sinA4,∴为锐角三角形，故. (Ⅱ)[方法一]：余弦定理基本不等式 因为，并利用余弦定理整理得即. 结合，得由临界状态（不妨取可知而为锐角三角形，所以由余弦定理得，代入化简得故cos A+cosB+cosC的取值范围是
22.（12分）（1）;（2）λ=-1，n=1347.
【详解】（1）由三角函数的周期公式可得，令，得由于直线为函数的一条对称轴，所以，, 得，由于，∴k=-1，则, 因此，:
（2）将函数的图象向右平移个单位， 得到函数, 再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为g(x）=sinx， 令，可得, 令，得，， 则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号，
(i)当且时，则方程和在区间均有偶数个根， 从而方程在也有偶数个根，不合乎题意；
(ii)当，则，当时，只有一根，有两根. 所以，关于的方程在上有三个根
由于2021=3×673+2，则方程在(0,1346π）上有3×673=2019个根， 由于方程在区间(1346π，1367π)上只有一个根，在区间(1367π,1368π)上无实解，方程在区间上无实数解，在区间（1367π，1368π)上有两个根，因此，关于的方程在区间(0,1347π)上有个根，在区间上有个根， 不合乎题意；
（iii)当时，则，当时，只有一根，有两根
所以，关于的方程在上有三个根，
由于2021=3×673+2，则方程在(0,1346π)上有3×673=2019个根
由于方程在区间上无实数根，在区间(1347π,1348π)上只有一个实数根， 方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，
因此，关于的方程在区间(0，1347π)上有个根，在区间 (0,1348π)上有个根，此时，，得=-1.
综上所述：=-1，n=1347.