高中数学上教版（2020）必修 第二册 9.3 实系数一元二次方程 一课一练（含解析）

沪教版（2020） 必修第二册 新课改一课一练 第9章 9.3 实系数一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．复数的平方根__________．
2．在复数范围内分解因式：________.
3．在复数范围内分解因式：______．
二、双空题
4．已知是关于x的方程的一个根，则实数p＝______，q＝______．
三、填空题
5．若实系数一元二次方程的一个根是，则这个方程可以是_____________．
6．已知方程有两个虚根，则的取值范围是________
7．已知顶点的直角坐标分别为，，，若虚数是实系数一元二次方程的根，且是钝角，则实数b的取值范围是______．
8．在复数范围内因式分解：______．
四、单选题
9．已知实系数一元二次方程，在下列各结论中正确的是（ ）
①是这个方程有实根的充分条件；
②是这个方程有实根的必要条件；
③是这个方程有实根的充要条件；
④是这个方程有实根的充分条件．
A．③ B．①② C．①②③ D．①②③④
10．设关于x的实系数一元二次方程在复数集中的两个根为 ，则下列结论中恒成立的是（ ）.
A．和互为共轭复数 B．，
C． D．
11．在复数范围内，有下列命题：①的平方根只有i；②i是1的平方根；③若复数是某一元二次方程的根，则一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
五、解答题
12．设复数是方程的一个根．
(1)求；
(2)设（其中i是虚数单位，），若的共轭复数满足，求．
13．（1）已知，i是虚数单位，若，是纯虚数，写出一个以z为其中一根的实系数一元二次方程；
（2）求纯虚数的平方根．
14．已知是实系数一元二次方程的两个虚根，且，求的值．
15．已知：对于任意的多项式与任意复数z，整除．利用上述定理解决下列问题：
(1)在复数范围内分解因式：；
(2)若，求的值；
(3)求所有满足整除的正整数n构成的集合A．
沪教版（2020） 必修第二册 新课改一课一练 第9章 9.3 实系数一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．复数的平方根__________．
【答案】或
【分析】设复数的平方根为，则，根据复数相等的条件列方程组可解得.
【详解】设复数的平方根为，
则，
所以，
根据复数相等的条件可得，解得或，
所以或.
故答案为：或
【点睛】本题考查了复数的开方运算和复数相等的条件，属于基础题.
2．在复数范围内分解因式：________.
【答案】
【解析】利用平方差公式逐步分解因式.
【详解】.
故答案为：
【点睛】本题考查利用平方差公式在复数范围内分解因式，属于基础题.
3．在复数范围内分解因式：______．
【答案】
【分析】配方后，再根据，利用平方差公式求解即可.
【详解】
.
故答案为：
二、双空题
4．已知是关于x的方程的一个根，则实数p＝______，q＝______．
【答案】 8 26
【分析】根据题意可得方程的两个根分别为和，然后利用根与系数的关系列方程可求得结果.
【详解】因为是关于x的方程的一个根，
所以是方程的另一个根，
所以，解得，
故答案为：8，26.
三、填空题
5．若实系数一元二次方程的一个根是，则这个方程可以是_____________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用根与系数的关系即可获解.
【详解】实系数一元二次方程的一个根是, 方程的另一个根为
不妨设方程为,则
即这个方程可以是,
故答案为: （答案不唯一）
6．已知方程有两个虚根，则的取值范围是________
【答案】
【详解】因为为方程两个根，所以，，方程有虚根，所以，故，故填.
7．已知顶点的直角坐标分别为，，，若虚数是实系数一元二次方程的根，且是钝角，则实数b的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据条件求出的值，然后由可得答案，注意排除共线的情况.
【详解】由已知，虚数也是实系数一元二次方程的根，
所以，解得，，
则、的坐标为，，
所以，，因是钝角，故，解得，
又当，共线时有，即．
所以的取值范围是．
故答案为：
8．在复数范围内因式分解：______．
【答案】或
【分析】将式子变形，构造出平方差形式在因式分解.
【详解】因为，
所以
①，
②，
故答案为：或.
四、单选题
9．已知实系数一元二次方程，在下列各结论中正确的是（ ）
①是这个方程有实根的充分条件；
②是这个方程有实根的必要条件；
③是这个方程有实根的充要条件；
④是这个方程有实根的充分条件．
A．③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据充分条件、必要条件以及充要条件的定理逐个判断可得答案.
【详解】等价于，
由可以推出有实根，故①正确；
由有实根可以推出，故②正确；
由①和②都正确，说明③正确；
由可以推出有实根，故④正确.
故选：D
10．设关于x的实系数一元二次方程在复数集中的两个根为 ，则下列结论中恒成立的是（ ）.
A．和互为共轭复数 B．，
C． D．
【答案】B
【分析】关于实数系一元二次方程根与系数的关系，选项B正确，选项C中，所以不正确，选项A两个复数根不一定是共轭复数.选项D当两根均为虚根，不成立.
【详解】两根为不相等实数时，选项A两个复数根不是共轭复数.实数系一元二次方程根与系数的关系，选项B正确，选项C中两根为虚数时，所以不正确.若两根均为虚根，选项D不成立.
故选：B.
11．在复数范围内，有下列命题：①的平方根只有i；②i是1的平方根；③若复数是某一元二次方程的根，则一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
【答案】D
【分析】对于①②，根据平方根的定义即可判断；对于③，举反例即可排除；对于④，利用平方根的定义与复数相等的性质求得的平方根，从而得以判断.
【详解】对于①，的平方根有两个，分别为和，故①错误；
对于②，1的平方根是和1，故②错误；
对于③，令，则是方程的一个根，但方程的另一个根是，并非，
实际上，只有实系数方程的虚根才是共轭复数，故③错误；
对于④，设的平方根为，则，即，
故，解得或，
所以的平方根为或，显然z的平方根是虚数，故④正确；
综上：①②③错误，④正确，故真命题的个数为.
故选：D.
五、解答题
12．设复数是方程的一个根．
(1)求；
(2)设（其中i是虚数单位，），若的共轭复数满足，求．
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）利用实系数一元二次方程的求根公式解得；
（2）根据复数的乘法运算及复数的模的运算可得，进而即得.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以或；
（2）由，可得，
当时，，
所以，解得，
当时，，
当时，.
13．（1）已知，i是虚数单位，若，是纯虚数，写出一个以z为其中一根的实系数一元二次方程；
（2）求纯虚数的平方根．
【答案】（1）（2）当时，纯虚数的平方根为或；当时，纯虚数的平方根为或
【分析】（1）根据复数的四则运算和纯虚数的概念解出复数，即可写出要求的一元二次方程；（2）设复数是的平方根，根据复数相等的概念即可求得结果.
【详解】（1）由题可知，
因为是纯虚数，所以，得，
所以，，
一个以z为其中一根的实系数一元二次方程是.
（2）设复数满足
即，所以，
当时，解得 即或，
当时，解得即或
所以， 当时，纯虚数的平方根为或；
当时，纯虚数的平方根为或
14．已知是实系数一元二次方程的两个虚根，且，求的值．
【答案】
【分析】根据实数系一元二次方程虚根成对原理，写出的值，再代入式子计算即可.
【详解】∵ 为实系数一元二次方程 的两个虚根，
不妨设 ，则，
，，则 ,
即，
∴
∵ n ≠ 0 ,∴
即
∴ ，
若 则
若 ，则
综上所述，
故答案为：
15．已知：对于任意的多项式与任意复数z，整除．利用上述定理解决下列问题：
(1)在复数范围内分解因式：；
(2)若，求的值；
(3)求所有满足整除的正整数n构成的集合A．
【答案】(1)
(2)0
(3)或.
【分析】（1）令求得复数范围内的两个根为，即可因式分解；（2）根据求出复数根，找到根的次方的规律性变化的特点即可求解；（3）分三种情况讨论求解.
【详解】（1）令解得两个根，
这里，，
所以.
（2）由（1）知解得两个根，，
，
所以，同理，
所以.
（3）记，有两个根，这里，
，
当时，
，
故在这种情形有整除，
当时，
，
故在这种情形有整除，
当时，
，
故不整除，
所以或.
试卷第10页，共11页
试卷第11页，共11页