高中数学上教版（2020）必修 第二册 8.4 向量的应用 练习（含解析）

沪教版（2020） 必修第二册第8章 向量的应用 （A卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知向量，，则的面积为_____________ .
2．河水的流速大小为，一艘小船想垂直于河岸方向驶向对岸，且速度大小为，则小船的静水速度大小为__________.
3．点P是△所在平面上一点，若，则△与△的面积之比是___________.
4．，，，均为非零向量，且，，，则四边形ABCD的形状是______．
5．已知平面向量，的夹角为，且，，在△中，，，D为BC的中点，则______．
6．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.
7．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：
①越大越费力，越小越省力；
②的范围为；
③当时，；
④当时，.
其中正确结论的序号是______.
8．已知，，，则的取值范围为______．
9．的三个顶点坐标分别为，，，是上一点，若，则的坐标为________.
10．已知O为平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点D满足：，则点D一定在的______线所在直线上．
二、单选题
11．已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
12．已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
13．人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（ ）
A． B． C． D．
14．已知，若对任意，恒成立，则为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
三、解答题
15．已知，，，判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形．若是，请指出哪个角是直角．
16．在中，，分别为边上的点，且．求证：．
17．四边形ABCD中，，，，试判断四边形ABCD的形状（其中，为不平行的非零向量）．
18．已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，且，求边c的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积的坐标运算及三角公式化简整理可得角C的大小；
（2）将中的角化边，再将用三角形的边角表示出来，然后利用余弦定理求出边c的长.
19．已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)，分别对质点所做的功；
(2)，的合力对质点所做的功．
20．如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．
(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？
(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？
沪教版（2020） 必修第二册 单元训练 第8章 向量的应用 （A卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知向量，，则的面积为_____________ .
【答案】5
【分析】根据向量的坐标可得向量垂直，从而得到三角形为直角三角形，求出向量的模长，即可得答案；
【详解】因为，又因为，所以，
所以．
故答案为：5．
【点睛】本题考查向量的模、数量积的坐标运算，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题.
2．河水的流速大小为，一艘小船想垂直于河岸方向驶向对岸，且速度大小为，则小船的静水速度大小为__________.
【答案】8m/s
【分析】直接利用向量的线性运算和勾股定理的应用求出结果．
【详解】根据河水的流速大小为,一艘小船想垂直于河岸方向驶向对岸，且速度大小为，
则小船的静水速度．
故答案为：8m/s
【点睛】本题考查向量的线性运算，勾股定理，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
3．点P是△所在平面上一点，若，则△与△的面积之比是___________.
【答案】
【解析】结合平面向量的线性运算，可推出，从而可知点在边上，且，进而可得，即可得出答案.
【详解】由题意，，
所以，即.
所以在△中，点在边上，且，
设点到边上的高为,则.
故答案为：.
【点睛】若，则三点共线，且.
4．，，，均为非零向量，且，，，则四边形ABCD的形状是______．
【答案】矩形
【分析】由向量关系得到对角线互相平分且相等，进而可得四边形ABCD的形状.
【详解】由已知，，
则且共线反向，且共线反向，
则四边形ABCD为平行四边形，
又，对角线相等，
所以四边形ABCD为矩形.
故答案为：矩形.
5．已知平面向量，的夹角为，且，，在△中，，，D为BC的中点，则______．
【答案】2
【分析】用表示出，由已知条件结合向量数量积的运算律求 .
【详解】△中，由D为BC的中点，则，
又，平面向量，的夹角为，
∴.
故答案为：2.
6．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.
【答案】2
【详解】
所以最大值为2
7．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：
①越大越费力，越小越省力；
②的范围为；
③当时，；
④当时，.
其中正确结论的序号是______.
【答案】①④.
【解析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可.
【详解】解：对于①，由为定值，
所以，
解得；
由题意知时，单调递减，所以单调递增，
即越大越费力，越小越省力；①正确.
对于②，由题意知，的取值范围是，所以②错误.
对于③，当时，，所以，③错误.
对于④，当时，，所以，④正确.
综上知，正确结论的序号是①④.
故答案为：①④.
【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题
8．已知，，，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据题意令，的夹角为，则，然后由的范围可求得结果.
【详解】令，则，，
设的夹角为，则
，
因为，所以，
所以，
所以，
即的取值范围为，
故答案为：.
9．的三个顶点坐标分别为，，，是上一点，若，则的坐标为________.
【答案】
【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比,可得,再得到,设出的坐标,代入可解得.
【详解】因为,又因为,所以,
所以,所以,
所以,
设,
所以,,
所以,
所以且,
解得,且,
所以的坐标为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示,平面向量基本定理,属于基础题.
10．已知O为平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点D满足：，则点D一定在的______线所在直线上．
【答案】角A的平分
【分析】根据分别表示平行于的单位向量，平分求解.
【详解】解：因为，
所以，
而分别表示平行于的单位向量，
所以平分，即平分，
所以点D一定在的角A的平分线所在直线上，
故答案为：角A的平分
二、单选题
11．已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【分析】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G,可得，
又=-，则有=-，即AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上,即可得出结果.
【详解】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)，
∴，
又，可得=-，∴=-，
∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心.
故选：C.
12．已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】一组对边平行，可能为平行四边形或梯形，结合选项判定即可.
【详解】若，则四边形ABCD为平行四边形或梯形；
若四边形ABCD为平行四边形，则,
则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要非充分条件，
故选：B.
13．人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】因为速度是既有大小又有方向的量，根据图示由向量的加法法则即可得出结果.
【详解】因为速度是既有大小又有方向的量，
如下图，由向量的加法法则可知，逆风行驶的速度为＋.
故选：B.
14．已知，若对任意，恒成立，则为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
【答案】C
【分析】在直线上取一点，根据向量减法运算可得到，由垂线段最短可确定结论.
【详解】在直线上取一点，使得，则，
.
对于任意，都有不等式成立，由垂线段最短可知：，即，
为直角三角形.
故选：.
【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.
三、解答题
15．已知，，，判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形．若是，请指出哪个角是直角．
【答案】是直角三角形，为直角，证明见解析
【分析】根据A，B，C三点的坐标可写出向量，可利用向量数量积来证明是否存在垂直，即可判断三角形是否为直角三角形.
【详解】是直角三角形，为直角．
证明如下：
∵，
，
∴，∴，即.
所以是直角三角形，为直角．
16．在中，，分别为边上的点，且．求证：．
【答案】证明见解析.
【分析】选择、为基向量，将和用基向量表示，再利用且，可得，则可得.
【详解】因为，
．
由且，
得，
所以.
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量垂直问题，考查了平面向量的数量积，属于基础题.
17．四边形ABCD中，，，，试判断四边形ABCD的形状（其中，为不平行的非零向量）．
【答案】四边形ABCD为梯形．
【分析】求出与，根据两向量的关系确定四边形ABCD的形状.
【详解】，，
∴，
所以四边形ABCD为梯形．
18．已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，且，求边c的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积的坐标运算及三角公式化简整理可得角C的大小；
（2）将中的角化边，再将用三角形的边角表示出来，然后利用余弦定理求出边c的长.
【详解】（1）由已知得．
因为，所以，
所以．
又，所以，
，则
所以．又，
所以；
（2）由已知及正弦定理得．
因为，所以，所以．
由余弦定理得，
所以，所以，
所以．
19．已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)，分别对质点所做的功；
(2)，的合力对质点所做的功．
【答案】(1)120；-9
(2)111
【分析】（1）由已知可得两个力，和位移，再由公式计算即可求解；
（2）先计算，的合力，再由公式即可求得合力对质点所做的功．
【详解】（1）依题意有，，，
则做的功为，
做的功为．
（2）由，
所以做的功为．
20．如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．
(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？
(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？
【答案】（1）和AC的长度分别为750米和1500米（2）万元
【详解】试题分析：（1）设长为米，长为米，依题意得，即，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）利用向量方法，将表示为，根据向量的数量积与模长的关系可得结果.
试题解析：（1）设长为米，长为米，依题意得，
即，

=
当且仅当，即时等号成立，
所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米
（2）在(1)的条件下，因为．
由
得

，
元
所以，建水上通道还需要万元．
解法二：在中，

在中，

在中，
=
元
所以，建水上通道还需要万元．
解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则，
,即，设
由，求得， 所以
所以，
元
所以，建水上通道还需要万元．
试卷第2页，共17页
试卷第1页，共17页