黑龙江省哈尔滨市香坊区2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

哈尔滨市香坊区2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题
考试时间：120分钟满分：150分
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第四象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第一象限
2.若为平面，有下列命题，其中真命题的是（ ）
A.若直线平行于平面内的无数条直线，则
B.若直线在平面外，则平面
C.若直线，直线平面，则平面
D.若直线平面，则平行于平面内的无数条直线
3.已知圆锥的体积为，其中为圆锥的底面积，为圆锥的高.现有一个空杯子，盛水部分为圆锥（底面半径为，高为），现向杯中以的速度匀速注入水，则注水后，杯中水的高度为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在正四棱锥中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为分别是线段上的一点，则的最小值为（ ）
A.4 B.8 C. D.
5.如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A.是钝角三角形
B.的面积是的面积的2倍
C.点的坐标为
D.的周长是
6.已知，则（ ）
A. B.2 C.1 D.
7.如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边，上的点，且，则下列说法正确的是（ ）
A.与平行
B.与异面
C.与的交点可能在直线上，也可能不在直线上
D.与的交点一定在直线上
8.已知锐角中，内角的对边分别为，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
10.如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）
A. B.
C. D.
11.在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则为等腰直角三角形
C.
D.若，则为钝角三角形
12.在中，分别为边上一点，交于点，且满足，，则下列结论正确的为（ ）
A.若且时，则
B.若且时，则
C.若时，则
D.
第Ⅱ卷（非选择题）
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知是与向量方向相向的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为__________.
14.棱长为1的正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，构成的几何体的表面积为__________.
15.在中，是边上一点，且，若是的中点，则__________；若，则的周长的最大值为__________.
16.已知中，，则面积的最大值是__________.
四 解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D E分别为A1B1 AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=.
（1）求证：EF平面BDC1；
（2）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由.
18.（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）证明：.
（2）若D为BC的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
19.（本小题满分12分）
在中，a b c分别是角A B C所对的边，已知在，，，且.
（1）求角A大小；
（2）若面积为，，求的长.
20.（本小题满分12分）
在中，分别为三个内角的对边，已知.
（1）求角大小；
（2）若，求的取值范围.
21.（本小题满分12分）
某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，，为路灯灯杆，，，在处安装路灯，且路灯的照明张角，已知，.
（1）当，重合时，求路灯在路面的照明宽度；
（2）求此路灯在路面上的照明宽度的最小值.
22.（本小题满分12分）
已知分别为三个内角的对边，且，
（1）求；
（2）若，求的取值范围；
（3）若为的外接圆，若分别切于点，求的最小值.
哈尔滨市香坊区2022-2023学年高一下学期期中考试
答案
一 单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D D B D D A D C
二 多选题
9 10 11 12
BD AC ACD AD
三 填空题
13. 14. 15.； 16.3
四 解答题
17.（1）证明：取AB的中点M，
∵AF=AB，∴F为AM的中点，
又∵E为AA1的中点，∴EF∥A1M
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分别为A1B1，AB的中点，
∴A1D∥BM，A1D=BM，
∴A1DBM为平行四边形，∴AM∥BD∴EF∥BD.
∵BD 平面BC1D，EF 平面BC1D，∴EF∥平面BC1D.
（2）设AC上存在一点G，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15，则，
∵
∴，∴，∴AG=AC>AC.
所以符合要求的点G不存在.
18.（1）已知，由余弦定理可得，
即，又由正弦定理，得，
角A，B为△ABC中内角，所以.
（2）△ABC中，，D为BC的中点，如图所示，
（1）①②③
已知，，求证.
证明：，中，，
解得.
（2）①③②
已知，，求证.
证明：，所以中，.
（3）②③①
已知，，求证：.
证明：，在中，由余弦定理，
，所以
19.（1），且，
则，则，
∴，则
又，∴，又∵，∴.
（2）由，可得
又由，可得
联立，解之得或
又，则
因为，所以
所以
所以，即
20.【详解】（1）根据题意，由正弦定理得
又在中，有，所以，
所以，所以.
（2）结合（1）可得，
由，则根据正弦定理有，得，
根据余弦定理有，得，
所以
21.（1）当，重合时，
由余弦定理知，
所以，
因为，所以
因为，所以，
因为，所以，
∴在中，由正弦定理可知，，解得.
（2）易知到地面的距离，
所以，所以
又由余弦定理可知，，
当且仅当时“=”成立.
所以，解得.
答：（1）路灯在路面的照明宽度为；（2）照明宽度的最小值为.
22.（1）因为，则，
所以，则，所以为直角三角形，
所以.
（2），
所以，而，
所以设，
所以，
令，
又因为
所以，所以，
令，因为在上单调递增，
所以在上单调递减，所以.
所以的取值范围为
（2）的外接圆的半径为，，设，
则，其中，
所以，
而，
，
当且仅当取等.
所以的最小值为.