江西省赣州市寻乌县2022-2023学年高一下学期6月阶段性测试数学试题（含解析）

寻乌县2022-2023学年高一下学期6月阶段性测试
数学试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知为虚数单位，则复数的虚部是
A． B．1 C． D．
2．的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，角所对的边分别为，若，，，则等于（ ）
A．4 B． C． D．
4．已知向量，满足，，且，则，的夹角大小为（ ）．
A． B． C． D．
5．在中，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，则等于
A． B． C． D．
7．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到.若方程在上恰有6个根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．下列说法中正确的是（ ）
A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．零向量的长度为0 D．方向相反的两个非零向量必不相等
10．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的共轭复数是
B．的虚部是
C．
D．若复数满足，则的最大值是
11．已知正方形的边长为1，，，，下列说法正确的是（ ）
A． B．在上的投影向量为
C． D．
12．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．在区间上有2个零点
C． D．为图象的一条对称轴
三、填空题（共20分）
13．已知都是单位向量，且与的夹角是，=_________________.
14．设是定义在上的周期为2的函数，当时，则______．
15．已知的三个内角的余弦值分别与的三个内角的正弦值相等，则的最小角为__________度．
16．已知，且，则________.
四、解答题（共70分）
17．知sinα＋cosα＝，且∈(0，π)．
（1）求tan2α的值；
（2）求2sin2－sin．
18．已知复数，，.
(1)若为纯虚数，求实数的值；
(2)在复平面内，若对应的点在第四象限，对应的点在第二象限，求实数的取值范围.
19．在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足．
(1)求证：；
(2)求的最大值．
20．已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求时，函数的解析式；
（2）已知f(－α)＝，f(＋β)＝－，α∈(，)，β∈(0，)，求的值.
21．如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，．

(1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；
(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
22．在△中，已知，，，设点为边上一点，点为线段延长线上的一点，且.
(1)当且是边上的中点时，设与交于点，求线段的长；
(2)若，求的最小值.
1．A
根据题意，由于为虚数单位，则复数，因此可知其虚部为-1，故答案为A.
2．D
解：原式
.
故选：D.
3．B
由正弦定理，得：
，即，
即：
解得：
选B．
4．C
由题意，向量，满足，，
因为，可得，解得，
设，的夹角大小为，所以，
因为，所以．
故选：C.
5．D
在中，因为，
可得，解得，所以，
所以.
故选：D.
6．B
依题意，由及，解得，故，故选B.
7．C
(当且仅当时取等号)
由，可得
， 其中 ，当且仅当时取得等号,
所以
故选：C
8．A
由题意，由，得，
，，
中正数依次为，，，，，，，…，
在上恰有6个根，则，解得．
故选：A．
9．ACD
解：零向量与任一向量平行，零向量的方向不确定，但模确定为0，故A与C都是正确的；根据共线向量的定义，方向相反的两个非零向量一定共线，故B错误；对于D，因为向量相等的定义是长度相等且方向相同的向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故D正确．
故选：ACD．
10．AD
对于A选项，因为，则，A对；
对于B选项，复数的虚部为，B错；
对于C选项，，C错；
对于D选项，令，则，
即在圆心为半径为1的圆上，而表示圆上点到原点的距离，
由圆心到原点的距离为，结合圆上点到定点距离范围易知：的最大值为，D对.
故选：AD.
11．ABD
如图，可知，故A正确；
由图可知在上的投影向量为，故B正确；
因为，所以，所以，又，
所以，所以，故C错误；
因为，故D正确.
故选：ABD
12．BCD
解：，，
对于，的最小正周期为，此选项错误；
对于B，当，，即，，
所以当时，；当时，；所以在区间上有2个零点，此选项正确.
对于C，因为，所以，此选项正确.
对于D，当时， ，所以为图象的一条对称轴，此选项正确.
故选：BCD.
13．
故答案为：
14．1
的周期为2，,
又时,
,
，
故答案为1.
15．
解：因为的三个内角的正弦值均大于0，所以的三个内角的余弦值也均大于0，
则是锐角三角形．
若是锐角三角形，则：，
，，
得：，，．那么，
这与三角形内角和是相矛盾；
若是直角三角形，不妨设，
则，所以在范围内无值．
所以是钝角三角形．
锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，
不妨设：，，，
不妨设为钝角，则，为锐角，
结合诱导公式可知：，，，
由三角形内角和定理可得：，则又，解得．是锐角三角形，所以，大于；
故答案为：45
16．或
因为，
所以，
由②解得或，
当时，，解得，
又因，所以或，
当时，，解得，
又，所以不存在这样的，
综上所述，或.
故答案为：或.
17．（1）；（2）．
解：（1）因为，所以，即，
所以
，，，
，
解得：，，
，
则；
（2），
．
18．(1)
(2)
（1）∵为纯虚数，∴，解得.
（2）∵对应的点在第四象限，∴，解得：.
∵对应的点在第二象限，∴，解得：.
综上得，实数的取值范围为
19．(1)证明见解析
(2)
（1）∵，
∴，
∴，
∴．
（2）由（1）可得：，且C为钝角，
即，
即，，
，
当且仅当，即时取等号．
故的最大值为．
20．（1）；（2）.
解：（1）设，则，
故，
又是定义在上的偶函数，
当时，.
（2），，
，，，
，化简得，则.
，化简得，则.
．
21．(1)作图见解析，4
(2)；．
（1）解：在直观图中，，．
所以在平面图形中，，，
所以，
所以平面四边形的平面图形如下图所示：

由上图可知，平面四边形为直角梯形，
所以面积为．
（2）旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；
圆锥的高为，母线长为
所以体积；
所以表面积．
22．(1)；
(2).
（1）设，，当，是的中点时，则是△的重心，
,
.
（2）设，则，
，
由，得：.
∴，因为，，
所以，，
令，则
当且仅当时取到等号，所以的最大值是
又，在上单调递减，
所以
.
故的最小值为.