2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册3.1.1函数的概念 教学设计-

人教A版必修第一册《函数的概念》教学设计
一、教材分析
函数概念是数学的核心概念，它孕育于小学阶段，引入形成、巩固应用于初中阶段，深入研究始于高中阶段。从初中的“变量说”到高中阶段的“对应说”是对函数本质特征的进一步认识，也是学生认识上的一次飞跃。函数内容是高中数学学习的一条主线，是沟通代数、方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的桥梁，同时也是今后进一步学习高等数学的基础。
本节作为起始课，是一节概念课。本节的重点是体会函数是描述变量之间的依赖关系的主要数学模型以及正确理解函数的概念，难点是函数概念及符号的理解。本节内容所涉及的主要核心素养有数学抽象、直观想象、数学建模、逻辑推理、数学运算。
二、学情分析
通过初中对函数知识的学习，学生在知识上已经具备了一定的知识经验和基础。在能力上，已经初步具备了运用数形结合思想解决问题的能力，但数形结合的意识和思维的深刻性还有待进一步加强。在情感方面，多数学生对本节新内容的学习，有相当的学习兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不均衡。总之，尽管本阶段的学生已经具备了一定的分析能力以及逻辑推理能力，但用两个集合间的对应来描述函数概念，是一个抽象过程,要求学生的抽象、分析、概括的能力比较高，学生学起来有一定的难度。
三、教学目标
1. 通过具体数学实例，在体会两个变量之间依赖关系的基础上，引导学生运用集合思想与对应的语言刻画函数概念。
2. 能够指出现实情境问题中的函数的定义域和值域。
3. 给出一个函数解析式，能够举出它所对应的问题情境。
四、教学重难点
教学重点：
1. 函数的概念。
2. 函数的三要素。
教学难点：
给定函数解析式，如何给出与其对应的现实情境。
五、教学过程设计
新课引入
问题1 初中学过的函数概念是什么？学习过哪几类函数？
师生活动：生：回忆初中学习的函数概念及类型，回答教师的问题。
师：初中学习的函数概念：在一变化过程中有两个变量，，如果对于在某一个范围的每一个值有，都有唯一一个值与它对应，那么就称是的函数。在初中的学习阶段我们学习了一次函数、二次函数以及反比例函数。
问题2 分析教材第60页问题1，思考:有人说“根据对应关系，这趟列车加速到350后，运行1就前进了350”你认为这个说法正确吗？
师生活动：师生讨论后得出：不能判断列车以350运行半小时后的情况，因为没有关注到的变化范围。
【设计意图】通过回顾初中学习的函数概念，结合问题1的思考题，引起学生的学习兴趣，同时给学生一种潜意识：函数问题首先要考虑自变量的取值范围(即定义域)，为下面进一步认识函数的概念做铺垫。
问题3 对于教材第60页问题1，如何表述与的对应关系才能更精确？和的变化范围是什么？能用集合的形式表示出来吗？
师生活动：师：你能用集合与对应的语言来表示问题1中S与的对应关系吗？
生：思考、尝试回答。
师生：的变化范围是数集, 的变化范围是数集。对于数集中的任意时刻，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的路程和它对应。
（二）合作探究
问题4 教材第61页问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资(单位:元)是他工作天数的函数吗？
师生活动：师：分析问题，引导学生用集合和对应的语言来描述和之间的依赖关系。
生：工资与一周工作天数的对应关系是。其中，的变化范围是数集. 的变化范围是数集.对于数集中的任一个工作天数，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的工资和它对应。
问题5 问题1和问题2中的函数有什么异同点？你认为它们是同一个函数吗？为什么？
师生活动：师生：画出函数图象并观察。相同的对应关系，但两个变量的范围不一样。这两个不是同一个函数，因为相应的变量的范围不一样。
【设计意图】引导学生发现在相同的对应关系下，自变量不同时，因变量的值也不同，函数图象也不一样。
问题6 通过对上述两个问题中函数的观察，你能说出这两个函数有什么共同特征吗
师生活动：生：认真思考并口答教师提出的问题，在教师的启发、点拨下找出共同特征。
师：板书共同特征：①都有两个非空的实数集，记作。②都有一种确定的对应关系。③对于数集中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在数集中都有唯一确定的数和它对应。
【设计意图】通过具体数学实例，提高学生的参与程度，着重向学生渗透集合与对应的观点，启发学生用集合和对应的语言描述两个变量之间的依赖关系，突破难点，提升学生数学抽象素养。
概念形成
问题7 通过对前面两个问题的函数的共同特征的分析，我们能不能把函数看作是两个集合之间的一种对应关系呢？
师生活动： 生：认真体会三点共同特征，并与同学进行交流。
师：（1）板书函数的定义：设、是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称 →为从集合到集合的一个函数，记作. 其中，叫做自变量, 的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）指出函数的三要素并板书：函数三要素分别为定义域、对应关系、值域。其中的取值范围叫做函数的定义域，例如在问题1，2中的定义域分别是和。
问题8 对应关系是不是只有解析式这一种表示方式呢？
师生活动：师：指出教材中所给的四个问题中问题1、2是用解析式刻画两变量之间的对应关系，问题3是用图象刻画变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画变量之间的对应关系。所以引进符号统一表示对应关系。
师：函数值的集合叫做函数的值域。显然，值域是数集的子集。对函数的概念做出强调：①定义中、是非空的实数集。②对于的每一个值，按照某种确定的对应关系，都有唯一的值和它对应。③表示对应的函数值，而不是乘以。
【设计意图】利用前面的分析，进行必要的抽象概括，得到函数的定义，培养学生的归纳、概括能力，提升数学抽象素养。同时剖析概念，使学生抓住概念本质，便于理解记忆。
应用举例
问题9 初中我们学习过一次函数、二次函数和反比例函数，你能根据函数的概念说出这三个函数的定义域、值域和对应关系分别是什么吗？
师生活动：师：提出问题并板书以下表格
函数 定义域 对应关系 值域
生：思考问题并回答，完成教师所给出的表格。
【设计意图】引导学生用函数的定义去理解学过的一次函数、二次函数和反比例函数，比较描述性定义与对应语言刻画的定义，加深对函数概念的理解。
问题10 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反应的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律。试构造一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述。
师生活动：生：思考问题并回答。
师：如果再对的取值范围作出限制，比如呢
生：尝试构建一些问题情境，然后相互交流讨论。
师：针对学生的回答进行点评。
【设计意图】引导学生探讨从具体问题情境中抽象出数学模型,以及通过函数解析式去构建问题情境，加深对函数概念的理解.提升学生数学抽象及数学建模素养。
课堂小结
小结 本节课学习了哪些内容？
师生活动：生：思考并回答，其他同学补充。
师：记录并点评，最后总结函数的概念和函数的三要素。
【设计意图】回顾本节课要点，实现教育过渡。让学生进行内容总结可培养学生的逻辑思维以及总结能力，并检验学习效果。
布置作业
教材第63-64页练习 1-4题
预习教材第64-66内容
【设计意图】巩固本节课所学知识，预习培养学生的自学能力。
六、板书设计
3.1.1函数的概念 共同特征 问题1 例 作业 函数概念 问题2 函数的三要素 问题3 问题4