3.2.1单调性与最大（小）值（第一课时+函数的单调性）教学设计-

《函数的单调性》教学设计
1教材分析
《函数的单调性》是人教A版高中数学必修第一册第三章第二节“单调性及最大（小）值”的第一课时。单调性是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质，它既是学习函数概念、图象、表示方法等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、幂函数等各类函数的基础。同时，单调性在比较大小、解不等式、证明不等式、数列的性质以及其它知识的综合应用中发挥着重要作用，所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。
函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材，同时是一节具有奠基意义的数学方法课。
2学情分析
2.1知识与能力层面
从学生知识层面看，在初中阶段，学生已经能通过次、二次函数和反比例函数的图象说出当自变量在定义域中增大时，因变量的变化趋势，对单调性有了直观的认识，但缺少严格的定义。在第一章集合与常用逻辑用语中的学习中，学生学会了用集合区间表示数集。理解含有存在、任意量词的命题，会对有关命题判断对错。在第二章的学习中，学习了做差比较大小，解不等式的方法。在第三章函数的学习中，已经对与的对应关系有了初步的认识。
从学生能力层面看，学生已具有一定的抽象概括、类比归纳和符号表示的能力。
2.2认知障碍分析
如何“定性”“定量”的描述函数单调性是学习的重难点问题，函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，但是如何运用数学符号将自然语言的描述转化为形式化的定义,学生接受起来还比较困难。在教学中要多引导，让学生真正的理解函数单调性的定义。
3教学目标
将《普通高中数学课程标准（2017年版）》与教材分析、学情分析相结合，制定了如下教学目标：
1、让学生从数与形两个方面理解函数单调性的概念，掌握利用函数图象和单调性定义判断函数单调性的方法。
2、通过探索函数单调性的符号语言表述，体会数形结合、特殊与一般、无限与有限、等价转化等数学思想。
3、通过知识的探究过程培养学生观察、归纳、抽象的能力，让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程。
4 教学重难点
教学重点：掌握函数单调性的概念。
教学难点：归纳函数单调性的定义。
5 教法与学法
教法分析：根据本节课的教学内容和教学重难点，本节课采用从具体到抽象，从特殊到一般的方法形成增函数的定义，再引导学生通过类比归纳的方法形成减函数的定义。
学法分析：充分发挥学生的主体性，学生利用数形结合、归纳、类比等方法来获取知识，从而使学生形成自己对知识的理解和有效的学习策略。让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。通过巩固训练环节加强基础知识，实现教学目标。
6教学过程
（1）创设情境，引入课题
问题1 观察下列两个函数的图象，回答问题：
（1）从左往右看，图象有什么样的“上升、下降”的趋势？
（2）图象这样“上升、下降”的趋势，反映了当自变量变化时，函数值是如何变化的？
对于函数，在其定义域 上，图象呈上升趋势，函数值 ( )随着自变量 的增大而增大。
对于函数，在区间上，图象呈上升趋势，函数值 ( )随着自变量 的增大而增大，在区间上，图象呈下降趋势，函数值 ( )随着自变量 的增大而减小。
师：以函数为例，强调函数的单调性是对定义域内某个区间而言,是函数的局部性质。
师：在某个区间上，当函数图象呈上升趋势时， ( )随着 的增大而增大，则函数在该区间上为增函数。当函数图象呈下降趋势时， ( )随着 的增大而减小，则函数在该区间上为减函数。函数的这种性质称为函数的单调性。
【设计意图】学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的学习。对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述性定义，并在此基础上进行概念的符合化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。
（2）探究建构，形成概念
问题2 如图，你能根据函数图象，说出它在哪个区间上是增函数、减函数吗？
【设计意图】让学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但是缺乏精确性，需要结合解析式，用数量关系进行严密化、精确化的研究。借此认知冲突，让学生由“形”转“数”，由“感性”转“理性”，尝试从函数解析式和不等关系的角度寻找出路判断单调性，意识到学习符号化定义的必要性。
问题3 以函数 ( )为例，尝试用数学符号语言描述“在区间[0,+∞)上， ( )随着 的增大而增大”。
第一步：将“ 增大”符号化，类比“ 增大”得到“ ( )增大”： ， 。
第二步：将“随”字符号化：当 时，有 。
第三步：将区间符号化：取，[0,+∞)，当 时，有 。
问题4 在区间上的 ，当 时，有 ，一定能保证函数在上是增函数吗？
不能，教师展示反例。
问题5 在区间上 有无数个值，这无数个值都要满足当 时，有 。那就有无数个不等式，而数学追求简洁，如何简洁地刻画这无数个不等式？
所有的 ，都满足 ，其中，代表上任意变化的两个数，也就是：对任意的，都有 ，用符号语言表示就是，当时，都有。
【设计意图】让学生以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗疏到严密的，让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则。
问题6 能否把结论放到一般的函数
增函数的定义：一般地，设函数的定义域为，区间，如果，，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增。区间称为单调增区间。
【设计意图】把二次函数推广到一般函数，并把讨论区间一般化，由特殊到一般，具体到抽象，生成规范准确的符号语言。
问题7 能否根据增函数的定义类比得到减函数的定义？
减函数的定义：设函数的定义域为，区间，如果，，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减。区间称为单调减区间。
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在区间上具有单调性。单调增区间和单调减区间称为单调区间。
【设计意图】学生结合图象和单调增函数的定义，通过类比的方法，由学生自己得到单调减函数的概念，在这个过程中，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的。
（3）例题讲解，概念巩固
练习 写出反比例函数 的单调区间。
解析：是函数 的两个单调减区间。
追问：思考：能不能写成是函数 的单调减区间？
不能，例如当取，时， 则时，，不符合单调减区间的定义。
师：多个单调增（减）区间用“，”或者“和”连接。
【设计意图】练习巩固概念，让学生并能根据函数的图象指出函数的单调性、写出单调区间。并且认识到要说明一个函数不具有单调性只要举反例否定“任意”即可。另外，多个单调增（减）区间要用“，”或者“和”连接。
（4）课堂小结
师：现在我们回顾一下本节课所学习的内容：
1、单调性的定义，并完成了三种语言(图象、自然语言、数学符号)的表述,同时体会到使用数学符号的优点。
2、函数的单调性描述的是函数的区间性质，所以是局部性质。
3、本节课体现了数形结合、类比的数学思想，对函数的单调性的学习经历了由图象直观感知到自然语言描述,再到数学符号语言描述的过程。
【设计意图】总结这节课所学的知识，帮助学生系统的回顾本节课的知识脉络，有利于在头脑中逐步形成知识结构。
（5）课后作业
1、画出下列函数的图象,并根据图象说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性。
（1）; （2）
2、（1）函数在区间上任意两个，，总有，则在区间上是增函数还是减函数？
（2）函数在区间上任意两个，，总有，则在区间上是增函数还是减函数？
【设计意图】分层作业设置，让基础强的学生勇于挑战，基础稍弱的学生也可以练习。
7板书设计
函数的单调性 定义 在区间[0,+∞)上， ( )随着 的增大而增大 设的定义域为，， ， ，当 时， 若，，当时， 都有 都有 则称在区间上为增(减)函数