2023届河南省创新发展联盟大联考仿真模拟预测数学（文科）试题（含解析）

2023年普通高等学校招生全国统一考试预测卷
数学（文科）
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，其中i为虚数单位，则复数z的实部与虚部之和为（ ）
A． B． C． D．
2．已知全集，集合，则下列区间不是的子集的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．一组数据的平均数是5，方差是1.6，若将这组数据中的每一个数据都乘以2再加上1，得到一组新数据，则这组新数据的平均数和方差分别是（ ）
A．8，6.4 B．5，6.4 C．11，3.2 D．11，6.4
5．根据近五年的资料显示，某村庄月光照量X（小时）的统计数据（注：月光照量指的是当月的阳光照射总时长）以及在适合温度下，月光照量与草莓花芽分化的概率的关系，表格如下：
X（小时）
月份数 27 18 15
草莓花芽分化的概率 0.90 0.95 0.80
该村庄现有一批草莓，根据上表，试估计在适合温度下，草莓花芽分化的概率为（ ）
A．0.85 B．0.89 C．0.91 D．0.95
6．清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm，碗盖口直径为8cm，碗体口直径为10cm，碗体深6.25cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8.25cm
7．将一个圆柱截去一部分后得到一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积和截面图形的离心率分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．已知，，则（ ）
A．-2 B．-1 C． D．1
9．如图1，在中，，，，，沿将折起，使得二面角为60°，得到三棱锥，如图2，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D为BC上一点，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知定义在R上的函数与一组半径均不相等的圆，则函数的图象与这组圆O的所有交点的纵坐标之和为（ ）
A．0 B．1012 C．2024 D．4048
12．已知点P在抛物线上，直线与抛物线C交于A，B两点（均不与P重合），且直线PA，PB的倾斜角互补，设抛物线C的焦点为F，则以PF为直径的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知正六边形的边长为1，P为边的中点，O为正六边形的中心，则______．
14．已知函数在区间上单调递减，且为偶函数，则
______．
15．已知O为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线l与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），P是AB的中点，若是等边三角形，则直线OP的斜率为______．
16．已知正数x，y满足，若函数有且仅有一个极值点，则实数m的最大值为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
已知和是各项均为正整数的无穷数列，若和都是递增数列，且中任意两个不同的项的和不是中的项，则称被屏蔽．已知数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若为首项与公比均为的等比数列，求数列的前n项和，并判断能否被屏蔽，请说明理由．
18．（12分）
某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业，产品主要应用于森林消防、物流运输、航空测绘、军事侦察等领域，获得市场和广大观众的一致好评，该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．该公司分别收集了甲、乙两种类型无人运输机在5个不同的地点测试的某项指标数，，数据如下表所示：
地点1 地点2 地点3 地点4 地点5
甲型无人运输机指标数x 2 4 5 6 8
乙型无人运输机指标数y 3 4 4 4 5
（Ⅰ）试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若，则线性相关程度很高）
（Ⅱ）从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数的概率．
附：相关公式及数据：，．
19．（12分）
如图，在正四棱台中，，，M，N为棱，的中点，棱AB上存在一点E，使得．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）当正四棱台的体积最大时，证明：．
20．（12分）
有一个半径为4的圆形纸片，设纸片上一定点F到纸片圆心E的距离为，将纸片折叠，使圆周上一点M与点F重合，以点F，E所在的直线为x轴，线段EF中点为原点O，建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）记折痕与ME的交点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程．
（Ⅱ）若直线与曲线C交于A，B两点．
（ⅰ）当k为何值时，为常数d，并求出d的值．
（ⅱ）以A，B为切点，作曲线C的两条切线，设其交点为Q，当时，证明：
21．（12分）
已知函数，．
（Ⅰ）若曲线在处的切线与曲线相交于不同的两点，，曲线在A，B点处的切线交于点，求的值；
（Ⅱ）当曲线在处的切线与曲线相切时，若，恒成立，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，的普通方程为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为．
（Ⅰ）写出的一个参数方程及直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M为C上的动点，点P满足，记点P的轨迹为曲线，求曲线截直线l所得的弦长．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数的零点为，且，其中．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）证明：．
2023年普通高等学校招生全国统一考试预测卷
数学（文科）答案解析
1．参考答案 C
◎考查目标 本题考查复数的运算与概念，考查数学运算的核心素养．
◎思路点拨 由题意得，，所以实部为，虚部为，实部与虚部之和为．
2．参考答案 C
◎考查目标 本题考查集合的运算、不等式的解法，考查数学运算的核心素养．
◎思路点拨 因为，且，所以，故不是的子集，故选C．
3．参考答案 A
◎考查目标 本题考查指数、对数的运算，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
◎思路点拨 由题意知，，，所以，故，故选A．
4．参考答案 D
◎考查目标 本题考查样本的数字特征，考查数据处理、逻辑推理的核心素养．
◎思路点拨 设这组数据分别为，变化后的数据为，，则平均数，方差，故选D．
5．参考答案 B
◎考查目标 本题考查图表信息的识别、概率的计算公式，考查数学建模、数据分析、逻辑推理、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 根据题意，草莓花芽分化的概率为，故选B．
6．参考答案 C
◎考查目标 本题考查抛物线的图象与性质，考查数学建模、直观想象、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴，建立直角坐标系，如图所示．
设碗体的抛物线方程为，将点代入，得，则，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h，则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得．
7．参考答案 D
◎考查目标 本题考查空间几何体的结构和三视图，考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 由图可知，该截面是一个长轴长为、短轴长为2的椭圆，故其离心率为．根据图形特点，将该几何体补成一个高为2的圆柱，该圆柱的体积，则该几何体的体积为．
8．参考答案 B
◎考查目标 本题考查三角变换的应用，考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 由题意得，，因为，所以，所以，即，所以，故选B．
9．参考答案 A
◎考查目标 本题考查空间几何体与外接球的关系，考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 因为，，，，，所以．
又，则，因为，，所以．又，，所以．又，所以，即90°．因为为60°，所以60°，在中，，可得，．易知，的四个顶点可以与一个长方体的四个顶点重合，如图所示，则该长方体的外接球即为的外接球，球心PC的中点，，表面积为，故A正确．
10．参考答案 D
◎考查目标 本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 在中，由，得．又，即，代入整理得，，即．①在中，由余弦定理得，，②由①②式，解得．由，得，将其代入②式，得，解得，故的面积．
11．参考答案 D
◎考查目标 本题考查函数的性质、利用导数解不等式，考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 根据题意，，所以的图象关于点对称，因为，其中，当且仅当时等号成立，而，所以，所以在R上单调递增．因为这组圆O的圆心为，故交点有1012对，且关于对称，故所有交点的纵坐标之和为．
12．参考答案 C
◎考查目标 本题考查直线与抛物线的位置关系、圆的方程，考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 设，，，所以，，
由题意得，，即．
由消去x，可得，由，得，所以，，所以，，即．又，所以圆的方程为，故选C．
13．参考答案
◎考查目标 本题考查平面向量数量积的计算，考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 根据题意得，．
14．参考答案
◎考查目标 本题考查三角函数的图象与性质，考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 当时，，由在区间上单调递减，得，解得，因为，所以．因为，所以，，解得，，所以．
15．参考答案
◎考查目标 本题考查双曲线的几何性质，考查逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 设双曲线E的半焦距为c，，根据题意得．
又，∴．
在中，由余弦定理得，，
即，解得，．
设，，则，，
两式相减可得，所以．
设，因为P是线段AB的中点，所以，，
又，所以．
16．参考答案 0
◎考查目标 本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 因为，即，所以，所以．
令，则，所以在上单调递增，
所以，即，所以，故．
若函数有且仅有一个极值点，则在上有且仅有一个变号零点，
令，，则问题转化为函数与的图象在上只有一个交点，且交点左右的符号不同．
①当时，，
令，得；令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，符合题意；
②当时，若函数，的图象在上只有一个交点，则函数，的图象相切，
作出函数和的大致图象，如图1所示，数形结合可得交点左右的符号相同，不符合题意；
③当时，无论m为何值，函数和的图象在上都有且只有一个交点，
作出函数和的大致图象，如图2所示，数形结合可得交点左右的符号不同，符合题意．
综上，m的最大值为0．
17．◎考查目标 本题考查新定义、数列的递推关系以及错位相减法求和，考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 （Ⅰ）利用作差法即可求得．（Ⅱ）利用错位相减法求和，再根据题干定义判断即可．
参考答案 （Ⅰ）由，令，可得，
当时，，，
上述两式作差可得，
由，可知．
（Ⅱ）因为，所以，
所以，
，
，
作差得，
，
所以．
显然是递增数列，且各项均为偶数，
而递增数列的各项均为奇数，所以中的任意两项的和均不是中的项，
所以能被屏蔽．
18．◎考查目标 本题考查线性相关关系、古典概型的概率，考查数学建模、数据处理、逻辑推理、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 （Ⅰ）利用相关系数的公式计算求解，判断即可．（Ⅱ）利用古典概型求概率．
参考答案 （Ⅰ），，，
相关系数，
因为，所以y与x具有较强的线性相关关系．
（Ⅱ）将地点1，2，3，4，5分别记为A，B，C，D，E，任抽2个地点的可能情况有，，，，，，，，，，共10种情况，
其中在地点3，4，5，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数，即，，3种情况，
故所求概率为．
19．◎考查目标 本题考查线面位置关系以及体积的最值，考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 （Ⅰ）取点构造，再由比例关系证明求值．（Ⅱ）设，将体积表示为x的函数，求出棱台的体积最大时x的值，再添加辅助线，证明即可证得结论．
参考答案 （Ⅰ）如图所示，作交AB于F，再作交BD于C，连接MG．
因为，所以．
又，
所以．
又因为，所以是平行四边形，
所以，即F为棱AB的四等分点，
故E也为棱AB的四等分点，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）易知G为BD的四等分点，所以点在点G的正上方，所以．
设，则，所以，
所以该四棱台的体积，
而．
当且仅当，即时取等号，此时，．
作交BC于H，则H为BC的四等分点．
连接GH，在中，，
而，所以，即．
在中，，，，
所以，即．
而，，且，
所以，故．
20．◎考查目标 本题考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系，考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 （Ⅰ）利用椭圆的定义判断轨迹，即可求出方程．（Ⅱ）（ⅰ）联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出，写出关于k的表达式分析可得．（ⅱ）分情况讨论，当切线斜率存在时，根据切线与椭圆只有一个切点，利用以及根与系数的关系，得到QA，QB的斜率关系，即可证得．
参考答案 （Ⅰ）由题意可知，，
所以P点轨迹是以F，E为焦点，4为长轴长的椭圆，
所以曲线C的方程，即椭圆方程为．
（Ⅱ）（ⅰ）由消元得，，
由，得，
设，，则，，
所以
，
当为常数d时，即与无关，
令，得，此时恒成立，
即当时，．
（ii）证明：设，则
当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与x轴垂直时，切线方程为，
即，得，
所以另一条切线方程为，即与x轴平行，
显然，两切线垂直，即．
当斜率存在时，，设切线方程为，
由
消去y，得，
由，
化简得．
设两条切线的斜率分别为，，
因为，所以，
所以两条切线相互垂直，即．
综上，．
21．◎考查目标 本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，证明不等式，考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 （Ⅰ）利用导数的几何意义，求曲线在A，B两点处的切线方程，求两线的交点即可得到关系．（Ⅱ）构造函数，利用导数符号，判断单调性求最值．
参考答案 （Ⅰ）因为，所以，
所以曲线在处的切线方程为．
由已知得，，不妨设，
又曲线在点A处的切线方程为，
在点B处的切线方程为，
两式相减得，
将，，
代入得，
化简得，
显然，所以，所以，又，所以．
（Ⅱ）当直线与曲线相切时，设切点为，
则切线方程为，将点代入，解得，此时，，
根据题意得，，，
即恒成立．
令，则，，令，则，
易知在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以．
若，则，即在上单调递增，
则，所以在上恒成立，符合题意；
若，则．
又，
所以存在，使得，
当时，，单调递减，即，
所以此时存在，使得，不符合题意．
综上可得，a的取值范围为．
22．◎考查目标 考查目标本题考查直角坐标方程与参数方程、极坐标方程的互化以及应用，考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 （Ⅰ）利用同角的平方关系，写出的参数方程，利用，即可得到直线l的直角坐标方程．（Ⅱ）利用相关点法求解轨迹方程，再利用几何法求弦长．
参考答案 （Ⅰ）由题意，的参数方程为（为参数）．
由，以及，可得，
直线l的直角坐标方程为．
（Ⅱ）由题意，点A的直角坐标为．设，，
∵，∴，
则即
故曲线的参数方程为（为参数）．
即曲线为圆心为，半径为2的圆，圆心到直线l的距离为，
∴曲线截直线l所得的弦长为．
23．◎考查目标 本题考查绝对值函数、基本不等式的应用，考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
◎思路点拨 （Ⅰ）先求零点，再构造基本不等式的使用形式即可求得最小值．（Ⅱ）添项构造基本不等式形式，然后同向不等式相加即可证得．
参考答案 （Ⅰ）由题意，，解得．
∵a，b，c都是正数，且，
∴，
∴，
当且仅当，即（舍去）时等号成立，∴的最小值为．
（Ⅱ）∵，∴，
当且仅当，即时等号成立，
同理可得，当且仅当时等号成立，
同理可得，当且仅当时等号成立，
上面三式相加可得，
即，
当且仅当，，，即时等号成立．