圆心角,弧,弦和弦心距的关系[下学期]
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文档简介
16．2圆心角、弧、弦与弦心距的关系
知识技能目标
1.理解弦及弦心距的概念和特征；
2.通过实践操作，理解并掌握同圆中圆心角、弧、弦和弦心距的关系；
3.利用同圆中圆心角、弧、弦和弦心距的关系解答有关几何问题．
情感态度目标
1. 通过圆的对称性研究同圆中圆心角、弧、弦和弦心距的关系，感受分类讨论及由特殊到一般研究几何图形性质的思想方法；
2.创设具体生动的教学情境,体验数学是充满探索性和创造性的．
重点和难点
重点：同圆中圆心角、弧、弦和弦心距的关系特征;
难点：同圆中，四组量中只要一组量相等，其余三组量也相等
教学过程
一、导入新课：
1、圆是一个旋转图形：
圆可以看成是一个点绕着圆心旋转360度后所形成的曲线
2、圆的性质：同圆的半径相等
二、新课讲解：
1、认识圆心角、弧、弦和弦心距的概念
（1）半径：圆心到圆上任意一点之间的线段
直径：通过圆心且两个端点在圆上的线段
弦：连结圆上任意两点的线段
* 直径是圆中最长的弦
（2）弧：圆上任意两点之间的部分
半圆：圆上任意一条直径的两个端点分成的两条弧
优弧：大于半圆的弧，用三个大写字母表示
劣弧：小于半圆的弧，用两个大写字母表示
（3）圆心角：顶点在圆心的角
圆周角：顶点在圆周上的角
* 同圆中，同弧所对圆心角的度数是圆周角度数的2倍
* 直径所对的圆周角的度数是90度
（4）弦心距：圆心到弦的距离
所对的弦是________________
∠AOD所对的弧是________________
所对的圆心角是________________
OE是弦__________所对的____________。
弦CD所对的弧是____________________。
练习：
如图，⊙O中，OE⊥ AB，OF⊥ CD
1）至少写出两条优弧，两条劣弧
2）写出弦AB、CD所对的弦心距
3）∠ AOB的顶点在什么位置，它所对的弧
是什么？所对的弦？
2、等圆的概念：半径相等的圆
3、圆的性质：
（1）圆是轴对称图形
任意过圆心的直线（任意一条直径所在的直线）是圆的对称轴
（2）同圆的半径相等
（3）圆的旋转不变性
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合
创设情境
我们都知道，圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心．
请同学们做一做：
画⊙O和扇形OAB，把扇形OAB绕点O逆时针旋转一个角度，得到扇形OA B ，用剪刀把两个扇形裁下来，观察，比较，请同学们说说，你发现了什么？
探究归纳
我们发现，扇形OAB和扇形OA B 能互相重合，实际上，扇形OAB在旋转过程中，∠AOB＝∠A OB ，＝，AB＝A B ．
在上图中，圆心角∠AOB（或，或弦AB）确定了扇形AOB的大小，由此可知：
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等．
即：因为∠AOB＝∠A OB ，所以＝，AB＝A B ．
同样可得：
在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦相等．
即：因为＝ ，所以∠AOB＝∠A OB ，AB＝A B ．
（4）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，圆心角所对的弧相等．
即：因为AB＝A B ，所以∠AOB＝∠A OB ，＝．
上述圆心角、弧、弦三者的关系也可这样叙述：
在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．
例1、已知：在⊙O中，AB=CD，OE、
OF分别是AB、AC的弦心距
求证：1）
2）OE=OF
例2、已知：⊙O中，
求证：∠B=∠C
例3、已知：⊙O中，
OE、OF分别是弦AB、CD的弦心距
求证：1）AB=CD
2）OE=OF
例4、已知：在⊙O中，AB是直径，弦BC、BD的弦心距分别是OE、OF，弦AC、AD的弦心距分别为OG、OH
1）若OE=OF，求证 ：
2）若OE=OF，求证：OG=OH
3）若∠1=∠2，求证∠3=∠4
例5、如图，是圆O的三条劣弧，如果
那么弦AB+CD与弦EF的关系是什么？
思维训练：
下面的说法正确吗 为什么
如图,因为
根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理可知
解：不正确，没有强调在同圆或等圆中，如同心圆中，同一个圆心角所对的弧不相等。
小结：
利用圆的旋转不变性得到圆的一个重要性质：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧
（或优弧）两条弦或两条弦的弦心距这四组量中
存在一组量相等，那么它们所对应的其余三组也相等
作业：A册 P48～ P49 1～ 4
一课一练
同步 P105～ P107 1～ 7
思考：
已知：AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，过圆心O作OD//AC，交⊙O于点D，
求证：
B
4
3
1
2
C
D
B
O
A
知识技能目标
1.理解弦及弦心距的概念和特征；
2.通过实践操作，理解并掌握同圆中圆心角、弧、弦和弦心距的关系；
3.利用同圆中圆心角、弧、弦和弦心距的关系解答有关几何问题．
情感态度目标
1. 通过圆的对称性研究同圆中圆心角、弧、弦和弦心距的关系，感受分类讨论及由特殊到一般研究几何图形性质的思想方法；
2.创设具体生动的教学情境,体验数学是充满探索性和创造性的．
重点和难点
重点：同圆中圆心角、弧、弦和弦心距的关系特征;
难点：同圆中，四组量中只要一组量相等，其余三组量也相等
教学过程
一、导入新课：
1、圆是一个旋转图形：
圆可以看成是一个点绕着圆心旋转360度后所形成的曲线
2、圆的性质：同圆的半径相等
二、新课讲解：
1、认识圆心角、弧、弦和弦心距的概念
（1）半径：圆心到圆上任意一点之间的线段
直径：通过圆心且两个端点在圆上的线段
弦：连结圆上任意两点的线段
* 直径是圆中最长的弦
（2）弧：圆上任意两点之间的部分
半圆：圆上任意一条直径的两个端点分成的两条弧
优弧：大于半圆的弧，用三个大写字母表示
劣弧：小于半圆的弧，用两个大写字母表示
（3）圆心角：顶点在圆心的角
圆周角：顶点在圆周上的角
* 同圆中，同弧所对圆心角的度数是圆周角度数的2倍
* 直径所对的圆周角的度数是90度
（4）弦心距：圆心到弦的距离
所对的弦是________________
∠AOD所对的弧是________________
所对的圆心角是________________
OE是弦__________所对的____________。
弦CD所对的弧是____________________。
练习：
如图，⊙O中，OE⊥ AB，OF⊥ CD
1）至少写出两条优弧，两条劣弧
2）写出弦AB、CD所对的弦心距
3）∠ AOB的顶点在什么位置，它所对的弧
是什么？所对的弦？
2、等圆的概念：半径相等的圆
3、圆的性质：
（1）圆是轴对称图形
任意过圆心的直线（任意一条直径所在的直线）是圆的对称轴
（2）同圆的半径相等
（3）圆的旋转不变性
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合
创设情境
我们都知道，圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心．
请同学们做一做：
画⊙O和扇形OAB，把扇形OAB绕点O逆时针旋转一个角度，得到扇形OA B ，用剪刀把两个扇形裁下来，观察，比较，请同学们说说，你发现了什么？
探究归纳
我们发现，扇形OAB和扇形OA B 能互相重合，实际上，扇形OAB在旋转过程中，∠AOB＝∠A OB ，＝，AB＝A B ．
在上图中，圆心角∠AOB（或，或弦AB）确定了扇形AOB的大小，由此可知：
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等．
即：因为∠AOB＝∠A OB ，所以＝，AB＝A B ．
同样可得：
在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦相等．
即：因为＝ ，所以∠AOB＝∠A OB ，AB＝A B ．
（4）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，圆心角所对的弧相等．
即：因为AB＝A B ，所以∠AOB＝∠A OB ，＝．
上述圆心角、弧、弦三者的关系也可这样叙述：
在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．
例1、已知：在⊙O中，AB=CD，OE、
OF分别是AB、AC的弦心距
求证：1）
2）OE=OF
例2、已知：⊙O中，
求证：∠B=∠C
例3、已知：⊙O中，
OE、OF分别是弦AB、CD的弦心距
求证：1）AB=CD
2）OE=OF
例4、已知：在⊙O中，AB是直径，弦BC、BD的弦心距分别是OE、OF，弦AC、AD的弦心距分别为OG、OH
1）若OE=OF，求证 ：
2）若OE=OF，求证：OG=OH
3）若∠1=∠2，求证∠3=∠4
例5、如图，是圆O的三条劣弧，如果
那么弦AB+CD与弦EF的关系是什么？
思维训练：
下面的说法正确吗 为什么
如图,因为
根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理可知
解：不正确，没有强调在同圆或等圆中，如同心圆中，同一个圆心角所对的弧不相等。
小结：
利用圆的旋转不变性得到圆的一个重要性质：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧
（或优弧）两条弦或两条弦的弦心距这四组量中
存在一组量相等，那么它们所对应的其余三组也相等
作业：A册 P48～ P49 1～ 4
一课一练
同步 P105～ P107 1～ 7
思考：
已知：AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，过圆心O作OD//AC，交⊙O于点D，
求证：
B
4
3
1
2
C
D
B
O
A