山东省济宁市微山县第二中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（含解析）

微山县第二中学2022-2023学年高一下学期6月月考
数学试题
试卷满分：150分；考试时间：120分钟；
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（共60分）
1．已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为，与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图所示，长方体中，给出以下判断，其中正确的是（ ）
A．直线AC与相交 B．直线与是异面直线
C．直线与有公共点 D．
3．直线l与平面不平行，则（ ）
A．l与相交 B．
C．l与相交或 D．以上结论都不对
4．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．3 B． C． D．
5．如图，一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是平行四边形，且，，，则平面图形OABC的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
6．如果直线平面，直线平面，且，则a与b的位置关系为（ ）
A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面
7．已知两条不同的直线l，m及三个不同的平面，，，下列条件中能推出的是（ ）
A．l与，所成角相等 B．，
C．，， D．，，
8．在正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
9．若m，n是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（ ）
A．若，，那么 B．若，，那么
C．若，，那么 D．若，，那么
10．如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为4的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则：
①若，，且，则； ②若，，且，则；
③若，，，则； ④若，，且，则；
其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，则点到平面EBD的距离为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（共20分）
13．（本题5分），是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：
①；②；③；④．
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______．
14．（本题5分）下列三个说法：
①若直线a在平面外，则；
②若直线，直线，，则；
③若，，则a与内任意直线平行．
其中正确的有______．
15．（本题5分）已知∠BAC＝30°，，，则______．
16．（本题5分）若圆柱的高为10，底面积为，则这个圆柱的侧面积为______．（结果保留）
三、解答题（共70分）
17．（本题12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，，PA＝PD＝AD＝DC＝2，AB＝4，∠DAB＝60°．证明：BD⊥PA
18．（本题12分）如图，在直三棱柱中，已知，AB⊥BC，D为AB的中点．求证：平面．
19．（本题10分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，，PA＝PB．证明AD⊥平面PAB；
20．（本题12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
（1）求证：平面PAD；
（2）记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．
21．（本题12分）如图，在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，PA＝4，M是PB上的点且PM＝2MB，N是PD的中点．求：
（1）四棱锥P－ABCD的表面积；
（2）三棱锥N－MCD的体积．
22．（本题12分）如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD．
微山县第二中学2022-2023学年高一下学期6月月考
数学试题答案
1．C【详解】由题意得，所以，
所以，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误；
2．D【详解】
对于A，面，面，且B不在AC上，
根据异面直线的定义得，直线与是异面直线，故A选项错误；
对于B，，，
四边形为平行四边形，
，即直线与平行直线，故B选项错误；
对于C，面，面，，
根据异面直线的定义得，直线与是异面直线，故C选项错误；
对于D，，，
四边形为平行四边形，
，故D选项正确；
3．C【详解】由直线与平面的位置关系概念，可得直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交三种位置关系，因为直线与平面不平行，所以与相交或.
4．A【详解】设底面半径为r，侧面展开是半圆，圆心角为，所以母线长
则圆锥的表面积：，
.
5．B【详解】根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如下图所示，且长，宽.
故平面图形的面积为.
6．D【详解】因为直线平面，直线平面，且，
所以直线与的位置关系为：平行或异面，
7．C【详解】对于A，正方体中，设边长为，连接，则为与平面所成角，
由勾股定理得到，故，
同理可得和所成角的正弦值为，故与平面和所成角大小相等，
但平面与平面不平行，故A错误；
B选项，平面⊥平面，平面⊥平面，但平面与平面不平行，故B错误；
对于C，由，得，又，所以，故C正确；
对于D，l与m可同时平行于α与β的交线，故D错误．
8．D【详解】取的中点，连接，
因为//，且，则为平行四边形，可得//，
又因为分别为的中点，则//，
所以//，
故异面直线DE与AC所成角为（或的补角），
设正方体的棱长为2，则，
在中，由余弦定理，
所以异面直线DE与AC所成角的余弦值是.
9．D【详解】当，时，可以相交，故选项A不正确；
当，时，，可以是异面直线，因此选项B不正确；
当，时，存在这一情况，所以选项C不正确；
根据面面平行的性质可知选项D正确，
10．A【详解】解：依题意可得圆柱的底面半径，高
将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形，其中，，
问题转化为在上找一点，使最短，
作关于的对称点，连接，令与交于点，
则得的最小值就是为．
11．B【详解】由且，可得，
而垂直同一个平面的两条直线相互平行，即，故①正确；
由于，，所以，又因为，所以，故②正确；
若，，，则直线与平行或异面，故③错误；
设，在平面内作直线，
因为，则，又，所以，
又因为，所以，从而有，故④正确；
因此，真命题的个数是，
12．D【详解】，
，，则.
在中，由题意及图形结合勾股定理可得，，
则由余弦定理可得，
则.则.
设到平面EBD的距离为，则.
又，则.
填空
13．①③④②或②③④①
【详解】选择①③④为条件，②为结论：
m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，
∵n⊥β，m⊥α，∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，
从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.
选择②③④为条件，①为结论：
若两个平面垂直，显然与它们分别垂直的两条直线垂直，
即α⊥β，n⊥β，m⊥α，能得出m⊥n.
选择①②③为条件，④为结论：
若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则可能与平行或相交，不能得出m⊥α.
选择①②④为条件，③为结论：
若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则可能与平行或相交，不能得出n⊥β.
14．②【详解】对于①，若直线a在平面α外，可能与平面相交，不一定平行．故①不正确；
对于②，由直线与平面平行的判定定理可知②正确；
对于③，a与平面α内的直线可能平行，相交或异面，故③错误．
15．或【详解】，由等角定理知，与相等或互补，
所以或.
16．【详解】设圆柱的底面半径为，则，解得，
故这个圆柱的侧面积为.
三解答
17．【详解】证明：在四边形中，因为，，，，
由余弦定理得，，
解得，
所以，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以．
18．【详解】连接与交于点，则是的中点，连接OD，如图，
因为D是AB的中点，所以，平面，平面，
平面.
19．【详解】∵ABCD为矩形
∴
∵PA=2，AD=2，
∴
∴
又∵ ，平面PAB
∴AD⊥平面PAB.
20．【详解】（1）证明：∵底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
∴QN∥BC，BC∥AD，∴QN∥AD，
∵QN平面PAD，AD 平面PAD，
∴QN∥平面PAD；
（2）直线l与平面PBD平行，证明如下：
∵M，N分别为PD，PB的中点，
∴MN∥BD，
∵BD 平面ABCD，MN平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD，
∵平面CMN与底面ABCD的交线为l，
∴由线面平行的性质得MN∥l，
∵MN∥BD，∴BD∥l，
∵，且BD 平面PBD，平面PBD，
∴l∥平面PBD．
21．【详解】（1）作，垂足为E，
由正四棱锥性质可知，E为BC中点，所以
所以；
（2）作平面ABCD，由正四棱锥性质可知O为BD的中点
因为
所以
又是的中点，
所以
．
22．【详解】
连接，，∵AB＝BC，G为AC中点，所以AC⊥BG，又由CD＝DA，
同理可证AC⊥DG，又∵BG∩DG＝G，BG，DG平面BGD
∴AC⊥平面BGD．
∵E，F分别为CD，DA的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．
又∵EF 平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．