山东省聊城市第四中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题（含答案）

聊城市第四中学2022-2023学年高一下学期5月月考
数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分.考试用时120分钟
一 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.四边形的周长为
D.四边形的面积为
2.已知为虚部单位，复数为纯虚数，则的虚部为（ ）
A. B.1 C. D.-1
3.已知为虚数单位，，则复数在复平面上所对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.若复数满足，则（ ）
A. B.5 C. D.6
5.若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A. B. C. D.
6.《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为，则该方亭的表面积约为（ ），）
A. B. C. D.
7.已知为不同的两条直线，为不同的两个平面，则的一个充分条件是（ ）
A. B.
C.且 D.
8.在直四棱柱中中，为中点，点满足.下列结论不正确的是（ ）
A.若，则四面体的体积为定值
B.若平面，则的最小值为
C.若的外心为，则为定值2
D.若，则点的轨迹长度为
二 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.如图所示，一个平面图形的直观图为，其中，则下列说法中正确的是（ ）
A.该平面图形是一个平行四边形但不是正方形
B.该平面图形的面积是8
C.该平面图形绕着直线旋转半周形成的几何体的体积是
D.以该平面图形为底，高为3的直棱柱的体对角线长为
10.已知复数，复数满足，则（ ）
A.
B.
C.复数在复平面内所对应的点的坐标是
D.复数在复平面内所对应的点为，则
11.下列有关复数的叙述正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则的虚部为
C.若，则不可能为纯虚数
D.若复数满足，则
12.已知正方体的棱长为分别是的中点，则（ ）
A.
B.平面截此正方体所得截面的周长为
C.三棱锥的表面积为
D.三棱锥的体积为1
三 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知复数是关于的方程的一个根，则__________.
14.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的中点.当底面水平放置时，液面高为__________.
15.2022年北京冬奥会理念包括有：绿色 共享 开放 廉洁.“绿色奥运”也是本届奥运最主要的理念，学校为助力冬奥会开展模型设计大赛，某同学设计的模型三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________.
16.米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓 粮栈 米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为4和2.侧棱长为.则其外接球的表面积为____.
四 解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
17.已知复数，，其中为非零实数.
（1）若是实数，求的值；
（2）若，复数为纯虚数，求实数的值；
18.（1）计算；
（2）若实数x，y满足求x，y的值.
19.如图：在正方体中，为的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：平面；
（3）若为的中点，求证：平面平面.
20.如图，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台上 下底面边长分别为2.5R和3R，斜高为0.6R，取
（1）求这个盖子的表面积和体积（用R表示，焊接处对面积影响忽略不计）
（2）若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1，计算100个这样的盖子涂色约需要涂料多少千克？（内部不涂色，结果精确到0.1千克）？
21.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，为中点.
（1）求证：平面；
（2）若分别是线段的中点，是直线上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的比值：若不存在，请说明理由.
22.如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点.
（1）求证：；
（2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明.
聊城市第四中学2022-2023学年高一下学期5月月考
数学试题参考答案
一 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.D 2.D 3.B 4.A 5.A 6.C 7.D 8.C
二 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.BC 10.AD 11.ACD 12.BD
三 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13. 14.12 15. 16.
四 解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
17.（1）∵为实数，
∴，
又∵为非零实数，
∴.
（2）∵，
∴，
∴为纯虚数，
∴
∴m的值为2.
18.【详解】（1）
；
（2），
即，
故，整理得，
所以，
解得.
19.（1）显然平面，于是.
（2）
设，连接，
在正方体中，四边形是正方形，是中点，
是的中点，，
平面平面
平面；
（2）为的中点，为的中点，
，
四边形为平行四边形，，
又平面平面平面，
由（2）知平面平面平面，
平面平面.
20.（1）因为球的半径为R，则该球的表面积为，该球的体积，
又四棱台的上 下底面边长分别为2.5R和3R，则四棱台的上 下底面积分别为和，
而正四棱台的斜高为0.6R，则四棱台的侧面积为，
正四棱台的高为上 下边长分别为2.5R和3R，腰长为0.6R的等腰梯形的高为，
正四棱台的体积，
所以容器盖子的表面积，
体积为（）.
（2）由（1）知，，当R=2cm时，（）
所以100个这样的盖子约需涂料为（）.
21.【详解】
（1）证明：连接交于，再连接，
因为四边形为平行四边形，
所以为的中点，
又为的中点，
所以在中，，
又平面，平面，
所以平面.
（2）存在点G，使得平面.
与的交点记为.
当为的中点时，
可知，
所以，
M，N分别是线段的中点，
所以，
又，且平面，平面，
所以平面平面，又平面，
所以当为的中点时，
即时，平面.
22.【详解】
（1）因为平面，平面，平面平面，所以；
（2）存在，且当点是的中点时，平面平面.
下面给出证明：
因为 分别是 的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
由（1）知，，又是的中点，
，所以，所以四边形是平行四边形，从
而，
又平面，平面，所以平面.
又因为，所以，平面平面