探索规律[下学期]
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二、填空题
14、（2005深圳市课改实验区）已知：，，，……，若（a、b都是正整数），则a+b的最小值是___19____。
1 8 2005甘肃省课改实验区．用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图6所示的规律，拼成如下若干地板图案：则第n个图案中，白色的地板砖有 4n+2 块．
16. 2005资阳市课改实验区已知n(n≥2)个点P1，P2，P3，…，Pn在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上. 设Sn表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S2=1，S3=3，S4=6，S5=10，…，由此推断，Sn=______________.
16．（2005江苏省淮安市金湖实验区）已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成下列形式：
第1行 1
第2行 －2 3
第3行 －4 5 －6
第4行 7 －8 9 －10
第5行 11 －12 13 －14 15
… …
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于 -50 ．
1、（2005福建漳州）14.观察分析下列数据，按规律填空：，2，，2，，…， (第n个数)。
15. 扑克牌游戏
小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步 分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，
且各堆牌现有的张数相同；
第二步 从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步 从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步 左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌现有的张数是 5 .
16.（2005山东枣庄课改实验区）100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和， 如果这100个数的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“0”的个数为 __ 33 _个．
15、（2005广东茂名市课改实验区）用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子 4n+4[或填4（n+1）或4（n+2）－4或（n+2）2－n2也给满分]
枚（用含有n的代数式表示）
12.（2005福建泉州市课改实验区）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《祥解九章算法》中提出右表，此 表揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律。例如：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1；
，它有三项，系数分别为1，2，1；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
……
根据以上规律，展开式共有五项，系数分别为 1，4，6，4，1 。
三．解答题
观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式.
18. 答：（1）④1+3+5+7=42；⑤1+3+5+7+9=52. ……………………………………4分
（2）1+3+5+…+(2n-1)=n2 ………………………………………………6分
16、（2005山东济南课改实验区）把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、……，则第10个数为________。
操作与探究
22. （本小题满分8分）
探索下列问题：
（1）在图12—1给出的四个正方形中，各画出一
条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方
向的直线、与水平方向成45°角的直线和
任意的直线），将每个正方形都分割成面积
相等的两部分；
（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，
在由左向右平移的过程中，将正六边形分成
左右两部分，其面积分别记为S1和S2.
①请你在图12—2中相应图形下方的横线上
分别填写S1与S2的数量关系式（用“<”，
“=”，“>”连接）；
②请你在图12—3中分别画出反映S1与S2
三种大小关系的直线n，并在相应图形下
方的横线上分别填写S1与S2的数量关系
式（用“<”，“=”，“>”连接）.
（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图
形（如图12—4）分割成面积相等的两部
分，请简略说出理由.
22. （1）
（2）① ……………………………………………………2分
②
………………………………………………………6分
（3）存在.
对于任意一条直线l ,在直线l从平面图形的一侧向另一侧平移的过程中，当图形被直线l分割后，设直线l两侧图形的面积分别为S1，S2.两侧图形的面积由S1S2）的情形，逐渐变为S1>S2（或S125. （本小题满分12分）
如图15—1和15—2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，
Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速
度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右
平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间
为x秒，△QAC的面积为y.
（1）如图15—1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，
请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；
（2）如图15—2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与
x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和
最小值？最大值和最小值分别是多少？
（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y
取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？
（说明：在（3）中，将视你解答方法的创新程度，给予1~4分的加分）
25. 解：（1）如图1，△A2B2C2是△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形. …………2分
（2）当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），则有：
MA=x，MB=x+4，MQ=20，
y=S梯形QMBC-S△AMQ-S△ABC
=
=2x+40(0≤x≤16). ……………………………………………………6分
由一次函数的性质可知：
当x=0时，y取得最小值，且y最小=40；
当x=16时，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72.………………………………8分
（3）解法一：
当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，此时16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x,
∴y=S梯形BAQP-S△CPQ-S△ABC
=-2x+104(16≤x≤32). ………………………………………………10分
由一次函数的性质可知：
当x=32时，y取得最小值，且y最小=-2×32+104=40；
当x=16时，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72.……………………12分
解法二：
在△ABC自左向右平移的过程中，△QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中△QAC某一时刻的位置.使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称.
因此，根据轴对称的性质，只需考察△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况.
当x=16时，y取得最大值，且y最大=72；
当x=32时，y取得最小值，且y最小=40.……………………12分（再加2分）
说明：（1）本题解法较多，对于其他正确解法，请参照评分标准按步骤给分；
（2）对于（3），如果学生按照解法一的方法求解，不加分；如果按照解法二利用图形变换的方法说明，可考虑加1~4分.
21.（2005广东省佛山市课改实验区）如图，在水平桌面上的两个“E”，当点在一条直线上时，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力效果相同.
（1）图中满足怎样的关系式？
（2）若①号“E”的测量距离，要使得测得的视力相同，则②号“E”的测量距离应为多少？
23（2005年恩施自治州课改实验区）．下图的数阵是由全体奇数排成
（1）图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？
（2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由；
（3）这九个数之和能等于1998吗？2005，1017呢？若能，请写出这九个数中最小的一个，若不能，请说出理由。
23.(1) 平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍 ( 2分)
(2) 任意作一类似（1）中的平行四边形框,规律仍然成立.
不仿设框中间的数为n,这九个数按大小顺序依次为:
(n-18),(n-16),(n-14),(n-2),n,(n+2),(n+14),(n+16),(n+18).
显然,其和为9n ( 6分)
(3) 这九个数之和不能为1998
若和为1998,则9n=1998,n=222,是偶数,
显然不在数阵中. ( 7分)
这九个数之和也不能为2005
因为2005不能被9整除; (8分)
观察表中规律,框中间数不能在前面两列、也不能在后面两列,各列与18相除余数分别为1,3,5,7,9,11,13,15,17.
若和为1017,则中间数可能为113,而除以18的余数为3,
满足条件,其最小的数为95. ( 10分)
19．（2005河南课改实验区）在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图7－1所示的几何图形。
（1）请你利用这个几何图形求
的值为__________。
（2）请你利用图7－2，再设计一个能求
的值的几何图形。
19．解：（1）。………………………………………………………………………4分
（2）如图1－1或如图1－2或如图1－3或如图1－4等，图形正确。……10分
归纳与猜想
18、（2005河北课改实验区）（本小题满分7分）
观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，控究其中的规律：
①
②
③
④
……
⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：
⑵猜想并写出与第n个图形相对应的等式。
18、解：⑴ ……………………………………………………2分
…………………………………………4分
⑵……………………………………………………7分
21. （2005安徽课改实验区）下图中, 图(1)是一个扇形AOB,将其作如下划分:
第一次划分: 如图(2)所示,以OA的一半OA1为半径画弧,再作∠AOB的平分线, 得到扇形的总数为6个, 分别为: 扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB1、扇形A1OC1、扇形C1OB1;
第二次划分: 如图(3)所示, 在扇形C1OB1中, 按上述划分方式继续划分, 可以得到扇形的总数为11个;
第三次划分: 如图(4)所示;
……
依次划分下去.
图(1) 图(2)第一次划分 图(3)第二次划分 图(4)第三次划分
(1) 根据题意, 完成下表:
划分次数 扇形总个数
1 6
2 11
3
4
… …
n
(2) 根据上表, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为2005个 为什么
【解】
六、探索规律（本题满分12分）
划分次数 扇形总个数
1 6
2 11
3 16
4 21
21．（1）
9分
（2）不能够得到2005个扇形，因为满足的正整数不存在． 12分
④ ；
③1+2+5=32；
②1+3=22；
①1=12；
……
……
⑤ ；
我们知道：由于圆是中心对称图形，所以过圆心的任何一条直线都可以将圆分割成面积相等的两部分.
图12—1
m
m
m
m
图12—2
n
图12—3
图12—4
O
N
P
Q
M
C
C1
B1
A1
A
B
图15—1
O
N
P
Q
M
C
A
B
图15—2
你能行，加
油呀！
S1S1=S2
S1>S2
S1S1=S2
S1>S2
O
N
P
Q
M
C1
C2
B1
A1
A2
B2
图1
O
N
P
Q
M
C
A
B
C
A
B
图2
图中有规律哟！
图7-2
图7-1
14、（2005深圳市课改实验区）已知：，，，……，若（a、b都是正整数），则a+b的最小值是___19____。
1 8 2005甘肃省课改实验区．用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图6所示的规律，拼成如下若干地板图案：则第n个图案中，白色的地板砖有 4n+2 块．
16. 2005资阳市课改实验区已知n(n≥2)个点P1，P2，P3，…，Pn在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上. 设Sn表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S2=1，S3=3，S4=6，S5=10，…，由此推断，Sn=______________.
16．（2005江苏省淮安市金湖实验区）已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成下列形式：
第1行 1
第2行 －2 3
第3行 －4 5 －6
第4行 7 －8 9 －10
第5行 11 －12 13 －14 15
… …
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于 -50 ．
1、（2005福建漳州）14.观察分析下列数据，按规律填空：，2，，2，，…， (第n个数)。
15. 扑克牌游戏
小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步 分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，
且各堆牌现有的张数相同；
第二步 从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步 从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步 左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌现有的张数是 5 .
16.（2005山东枣庄课改实验区）100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和， 如果这100个数的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“0”的个数为 __ 33 _个．
15、（2005广东茂名市课改实验区）用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子 4n+4[或填4（n+1）或4（n+2）－4或（n+2）2－n2也给满分]
枚（用含有n的代数式表示）
12.（2005福建泉州市课改实验区）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《祥解九章算法》中提出右表，此 表揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律。例如：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1；
，它有三项，系数分别为1，2，1；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
……
根据以上规律，展开式共有五项，系数分别为 1，4，6，4，1 。
三．解答题
观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式.
18. 答：（1）④1+3+5+7=42；⑤1+3+5+7+9=52. ……………………………………4分
（2）1+3+5+…+(2n-1)=n2 ………………………………………………6分
16、（2005山东济南课改实验区）把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、……，则第10个数为________。
操作与探究
22. （本小题满分8分）
探索下列问题：
（1）在图12—1给出的四个正方形中，各画出一
条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方
向的直线、与水平方向成45°角的直线和
任意的直线），将每个正方形都分割成面积
相等的两部分；
（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，
在由左向右平移的过程中，将正六边形分成
左右两部分，其面积分别记为S1和S2.
①请你在图12—2中相应图形下方的横线上
分别填写S1与S2的数量关系式（用“<”，
“=”，“>”连接）；
②请你在图12—3中分别画出反映S1与S2
三种大小关系的直线n，并在相应图形下
方的横线上分别填写S1与S2的数量关系
式（用“<”，“=”，“>”连接）.
（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图
形（如图12—4）分割成面积相等的两部
分，请简略说出理由.
22. （1）
（2）① ……………………………………………………2分
②
………………………………………………………6分
（3）存在.
对于任意一条直线l ,在直线l从平面图形的一侧向另一侧平移的过程中，当图形被直线l分割后，设直线l两侧图形的面积分别为S1，S2.两侧图形的面积由S1
如图15—1和15—2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，
Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速
度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右
平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间
为x秒，△QAC的面积为y.
（1）如图15—1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，
请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；
（2）如图15—2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与
x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和
最小值？最大值和最小值分别是多少？
（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y
取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？
（说明：在（3）中，将视你解答方法的创新程度，给予1~4分的加分）
25. 解：（1）如图1，△A2B2C2是△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形. …………2分
（2）当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），则有：
MA=x，MB=x+4，MQ=20，
y=S梯形QMBC-S△AMQ-S△ABC
=
=2x+40(0≤x≤16). ……………………………………………………6分
由一次函数的性质可知：
当x=0时，y取得最小值，且y最小=40；
当x=16时，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72.………………………………8分
（3）解法一：
当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，此时16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x,
∴y=S梯形BAQP-S△CPQ-S△ABC
=-2x+104(16≤x≤32). ………………………………………………10分
由一次函数的性质可知：
当x=32时，y取得最小值，且y最小=-2×32+104=40；
当x=16时，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72.……………………12分
解法二：
在△ABC自左向右平移的过程中，△QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中△QAC某一时刻的位置.使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称.
因此，根据轴对称的性质，只需考察△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况.
当x=16时，y取得最大值，且y最大=72；
当x=32时，y取得最小值，且y最小=40.……………………12分（再加2分）
说明：（1）本题解法较多，对于其他正确解法，请参照评分标准按步骤给分；
（2）对于（3），如果学生按照解法一的方法求解，不加分；如果按照解法二利用图形变换的方法说明，可考虑加1~4分.
21.（2005广东省佛山市课改实验区）如图，在水平桌面上的两个“E”，当点在一条直线上时，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力效果相同.
（1）图中满足怎样的关系式？
（2）若①号“E”的测量距离，要使得测得的视力相同，则②号“E”的测量距离应为多少？
23（2005年恩施自治州课改实验区）．下图的数阵是由全体奇数排成
（1）图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？
（2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由；
（3）这九个数之和能等于1998吗？2005，1017呢？若能，请写出这九个数中最小的一个，若不能，请说出理由。
23.(1) 平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍 ( 2分)
(2) 任意作一类似（1）中的平行四边形框,规律仍然成立.
不仿设框中间的数为n,这九个数按大小顺序依次为:
(n-18),(n-16),(n-14),(n-2),n,(n+2),(n+14),(n+16),(n+18).
显然,其和为9n ( 6分)
(3) 这九个数之和不能为1998
若和为1998,则9n=1998,n=222,是偶数,
显然不在数阵中. ( 7分)
这九个数之和也不能为2005
因为2005不能被9整除; (8分)
观察表中规律,框中间数不能在前面两列、也不能在后面两列,各列与18相除余数分别为1,3,5,7,9,11,13,15,17.
若和为1017,则中间数可能为113,而除以18的余数为3,
满足条件,其最小的数为95. ( 10分)
19．（2005河南课改实验区）在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图7－1所示的几何图形。
（1）请你利用这个几何图形求
的值为__________。
（2）请你利用图7－2，再设计一个能求
的值的几何图形。
19．解：（1）。………………………………………………………………………4分
（2）如图1－1或如图1－2或如图1－3或如图1－4等，图形正确。……10分
归纳与猜想
18、（2005河北课改实验区）（本小题满分7分）
观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，控究其中的规律：
①
②
③
④
……
⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：
⑵猜想并写出与第n个图形相对应的等式。
18、解：⑴ ……………………………………………………2分
…………………………………………4分
⑵……………………………………………………7分
21. （2005安徽课改实验区）下图中, 图(1)是一个扇形AOB,将其作如下划分:
第一次划分: 如图(2)所示,以OA的一半OA1为半径画弧,再作∠AOB的平分线, 得到扇形的总数为6个, 分别为: 扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB1、扇形A1OC1、扇形C1OB1;
第二次划分: 如图(3)所示, 在扇形C1OB1中, 按上述划分方式继续划分, 可以得到扇形的总数为11个;
第三次划分: 如图(4)所示;
……
依次划分下去.
图(1) 图(2)第一次划分 图(3)第二次划分 图(4)第三次划分
(1) 根据题意, 完成下表:
划分次数 扇形总个数
1 6
2 11
3
4
… …
n
(2) 根据上表, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为2005个 为什么
【解】
六、探索规律（本题满分12分）
划分次数 扇形总个数
1 6
2 11
3 16
4 21
21．（1）
9分
（2）不能够得到2005个扇形，因为满足的正整数不存在． 12分
④ ；
③1+2+5=32；
②1+3=22；
①1=12；
……
……
⑤ ；
我们知道：由于圆是中心对称图形，所以过圆心的任何一条直线都可以将圆分割成面积相等的两部分.
图12—1
m
m
m
m
图12—2
n
图12—3
图12—4
O
N
P
Q
M
C
C1
B1
A1
A
B
图15—1
O
N
P
Q
M
C
A
B
图15—2
你能行，加
油呀！
S1
S1>S2
S1
S1>S2
O
N
P
Q
M
C1
C2
B1
A1
A2
B2
图1
O
N
P
Q
M
C
A
B
C
A
B
图2
图中有规律哟！
图7-2
图7-1