2022-2023学年度高二年级第二学期期末调研考试
数学模拟卷参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. C 2. A 3. C 4. B
5. B 6. A 7. B 8. C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在
9. AD 10. AD 11. BC 12. AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 2e 14. 12 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17. 解：由题意可得： ，
则 ，
可得 ，
故数列 是以首项 ，公差 的等差数列.
由可得： ，
则 ，
，故 .
18. 解：由，
则，整理得：，
，，由，则，角C为；
由的面积S，，则，
整理得：
由正弦定理可知：，为外接圆半径，
则，解得：，，的值为
19. 解：由函数知，定义域为，，
当时，恒成立，在单调递减，
当时，，，
所以在单调递减，在单调递增;
，
，由条件，所以，
此时，
由于，故时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以时，取极小值成立，
此时设，，易知在单调递增，递减.
故，故
20. 证明：在正方体中，，E为的中点，F为的中点，
，，平面，四边形为矩形，
，，
又平面，，
平面，
四棱锥为阳马．
解：以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴为正方向，为z轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系．
则，，，，
，，
设平面NEF的法向量为，
则
，，
设平面NEF的法向量为，
则，
，
所以平面EFN与平面所成二面角为
21. 解：①甲在第一次中奖的概率为，
乙在第二次中奖的概率为
②设甲参加抽奖活动的次数为X，则，2，3，
；；，
X 1 2 3
P
证明：丙在第奇数次中奖的概率为，在第偶数次中奖的概率为
设丙参加抽奖活动的次数为Y，“丙中奖”为事件A，则，
令，N，则丙在第次中奖的概率
在第2m次中奖的概率，
即，
在丙中奖的条件下，在第，2m次中奖的概率为，
则丙参加活动次数的均值为：
，
设…，
则…，
，
，
所以
22. 解：由已知，直线AB的方程为，设，，
联立，可得，所以，
于是
，所以
故抛物线C的方程为
设，，，切线l的方程为，
则有，，
由M，F，P三点共线，可知，即，
因为，化简可得由可得，
因为直线l与抛物线相切，故，故
所以直线PN的方程为：，即，
点M到直线PN的距离为，
将代入可得，
联立消x可得，，所以，
所以，
，
故
，
当且仅当时，“=”成立，
此时，面积S的最小值为 2022-2023学年度高二年级第二学期期末调研考试
数 学
2023.06 模拟卷
(
试卷共
4
页，
22
小题，满分
150
分
.
考试用时
120
分钟
.
注意事项：
答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名
和准考证号
填写在答题卡上
.
作答选择题时，选出每小题答案后，用
2B
铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案
写
在试卷
、
草稿纸
上
一律无效
.
非选择题必须用
0.5mm
签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液
.
考生必须保持答题卡的整洁
.
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
.
)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
设，则曲线在点处的切线的倾斜角是( ).
A. B. C. D.
当且仅当时，等差数列的前n项和取最大值，若，则公差d的取值范围为( ).
A. B.
C. D.
已知，，且，则在上的投影向量为( ).
A. B. C. D.
已知一个竖直放在水平地面上的圆柱形容器中盛有20cm高的水，若将一半径与圆柱底面半径相同的实心钢球缓缓放入该容器中，最后水面恰好到达钢球顶部，则该钢球的表面积为( ).
B. C. D.
若为偶函数，则( ).
A. B. 0 C. D. 1
若，则( ).
A. B. C. D.
设，则“直线与直线平行”是“”的( ).
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
已知复数，则z的共轭复数( ).
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
一组数据，，，是公差为的等差数列，若去掉首末两项，后，则( ).
A. 平均数变大 B. 中位数没变 C. 方差变小 D. 极差没变
下列结论中，所有正确的结论是( ).
A. 若，则 B. 若实数a、b、，则
C. D. 若实数a，，，则
已知数列满足，，则下列结论中正确的是( ).
A. B. 为等比数列
C. D.
双曲线的离心率为e，若过点能作该双曲线的两条切线，则e可能取值为( ).
A. B. C. D. 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
设函数是R内的可导函数，且，则 ▲ .
在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 ▲ .
已知正项等比数列的公比为2，若，则的最小值等于 ▲ .
已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是 ▲ .
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.
（10分）
设，向量，，
（1）令，证明：数列为等差数列；
（2）求证：
（12分）
在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
（1）求C；
（2）若的面积为，求c．
（12分）
函数，
（1）讨论函数的单调性
（2）设，，若时，取极小值，证明：
（12分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知在正方体中，，E为的中点，F为的中点，
（1）证明：四棱锥为阳马；
（2）求平面NEF与平面所成二面角的大小．
（12分）
随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之前围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广.
（1）公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束.参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中.
①分别求出甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率;
②求甲参加抽奖活动的次数的分布列和数学期望.
（2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广，报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第次中奖的概率，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行次，已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这2n次抽奖活动中中奖了，在此条件下，证明：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于
（12分）
抛物线的焦点，过C的焦点F斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，的面积为
（1）求抛物线C的方程；
（2）若P为C上位于第一象限的任一点，直线l与C相切于点P，连接PF并延长交C于点M，过P点作l的垂线交C于另一点N，求面积S的最小值．
