响水县中2022-2023学年高二下学期期末模拟考试
数 学 试 题
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共6页。
2.满分150分，考试试间为120分钟。
第 Ⅰ 卷 （选择题 共60分）
一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题意的。（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中。）
1. 设随机变量则( )
A． B. C. D.
2. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．68种 B．70种 C．72种 D．74种
3. 下列命题中不正确的命题是（ ）
A．线性回归直线必过样本数据的中心点；
B.当相关性系数时，两个变量正相关；
C．如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1；
D．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低；
4. 在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中不正确的是( )
A．成绩在[70,80)分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
5. 若多项式，则( )
A. 181 B. -181 C. 179 D. -179
6. 长时间玩手机可能会影响视力，据调查，某校大约有32%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机的时间超过1h，这些人的近视率约为40%．现从每天玩手机的时间不超过1h的学生中任意调查一名学生，则这名学生患近视的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知斜率存在的直线与椭圆交于两点，且与圆 切于点.若 为线段的中点，则直线的斜率为( )
A. B. C.或 D.或
8. 设，，，则( )
A． B． C． D．
二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共40分。在每题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9. 下列命题中正确是( )
A. 中位数就是第50百分位数
B. 已知随机变量X∽，若，则
C. 已知随机变量∽，且函数为偶函数，则
D. 已知采用分层抽样得到的高二年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为
10.一质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是( )
A． B．事件A和事件B互为对立事件
C． D．事件A和事件B相互独立
11. 在四棱锥中，侧棱长均相等，则下列说法中正确的是( )
A. 四条侧棱与底面所成的角均相等
B. 四棱锥体积最大时，其高与侧棱长之比为
C. 若各条棱长均为，其内切球半径为
D. 若各条棱长均为，不相邻的两个侧面的夹角余弦值为
12.设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点，且M为的中点．（ ）
A. 当时，的斜率为2 B. 当时，
C. 当时，符合条件的直线l有两条 D. 当时，符合条件的直线l有四条
第 Ⅱ 卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 某工厂月产品的总成本（单位：万元）与月长量（单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知与线性相关．如果回归方程是，那么表格中数据的值为______．
/万件 1 2 3 4
/万件 3.8 5.6 8.2
14. 已知圆柱的体积为，则该圆柱的表面积的最小值为 ．
15. 已知圆被直线截得的两条弦长分别为，则的最大值为 ．
16. 如图，在中，是边上一点，且，为直线上一点列，满足：，且，则 ，
设数列，则的通项公式为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本题10分）
有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为．
请完成上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析成绩是否与班级有关；
班级 成绩 合计
优秀 非优秀
甲班 20
乙班 60
合计 210
(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及均值．
附：
a 0.05 0.01
3.841 6.635
18.（本题12分）
已知正项数列满足.
(1)求数列的通项公式；
（2）记,求数列的前2023项的和。
19.（本题12分）
如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在线段上．
(1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求与平面所成角的正弦值的最大值．
20. （本题12分）
最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一场减压游戏，班主任吧颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个，现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从箱里摸出一球，若摸出的是绿色球，则再从箱里摸出两个球；若摸出的不是绿色球，则再从箱里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的计分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的计分之和.
（1）若第一次摸出的是绿色球，求甲获胜的概率；
（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望；
（3）第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.
21. （本题12分）
已知双曲线上点到两定点的距离分别为，，且满足．
求双曲线的方程；
设经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点在定直线上．
22. （本题12分）
已知是三次函数的极值点，且直线与曲线相切与点．
求实数，，的值；
若，，求的值；
若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围．响水县中2022-2023学年高二下学期期末模拟考试
数学参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 D B C D D A D B
二、多选题
题号 9 10 11 12
选项 ACD ACD ABD ABD
填空题
13、6.4 14、 15、 16、 （2分） （3分）
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.解：(1)由题知优秀的人数为（人），
所以列联表如下：
班级 成绩 合计
优秀 非优秀
甲班 20 90 110
乙班 40 60 100
合计 60 150 210
假设 ：成绩和班级无关，
则：>6.635,
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
故成绩与班级有关；------------5分
(2)因为，且 ，
所以的分布列为：
0 1 2 3
P
所以E()=0+1+2+3=.------------10分
18.【详解】
（1）时，利用叠加法可求，
也满足，. ------------6分
（2）
所以的前2023项的和为
------------12分
19. 解：（1）由题意可得：，平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
若为的中点，则，可得，
设异面直线与所成角，则.
故异面直线与所成角的余弦值为.------------5分
（2）若动点在线段上，设，
则，可得，解得，
即，则，
由题意可知：平面的法向量为，
设与平面所成角为，
则，
对于开口向上，对称轴为，
可得当时，取到最小值，
所以的最大值为，
注意到，则故与平面所成角的正弦最大值为.------------12分
20. 解：（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事件，
------------3分
------------7分
故比赛不公平. ------------12分
21. 解：在 中， ，所以 ，因为双曲线的焦点在 轴， ，
所以 ，则双曲线的方程为 ------------4分
证明：由题意可设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去 ，
并整理得 ，
设 ， ，则 ，
又设 ， ，
则得直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
两个方程相减得 ，
因为 ，
把它代入得 ，
所以 ，
因此直线 与 的交点在直线 上． ------------12分
22. 解：，在中令得，即，
所以，解得； ------------3分
由知，
，
或时，，时，，
在，上递增，在上递减，
极大值为，极小值为，
，，因此都是唯一的实数．
，
所以的图象关于对称，而，
又和都是图象上唯一的点，
所以，
； ------------7分
，当且仅当时，，
所以，且时，，
由恒成立，得，
又的图象关于点对称，所以，
所以不等式为，
所以，所以恒成立，
，所以． ------------12分
