2022-2023学年河北省石家庄市部分重点高中高三（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄市部分重点高中高三（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3. 已知向量与向量共线，，，且向量与向量的夹角为锐角，则向量( )
A. B. C. D.
4. 已知有四个不同的小球，，，，准备放入四个不同的盒子之中，则小球，放入到同一个盒子中的概率为( )
A. B. C. D.
5. 已知函数在上有三个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 已知三棱锥中，，，则直线与平面所成角的大小为( )
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的右焦点为，直线过点且与该双曲线的渐近线分别交于点，，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数的图象关于直线对称，关于对称，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与该抛物线相交于，两点其中，则下面说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11. 已知各项均为正数的数列满足，，，数列的前项和为，则下面说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
12. 已知矩形中，，沿着折起使得形成二面角，设二面角的平面角为，则下面说法正确的是( )
A. 在翻折的过程中，、、、四点始终在一个球面上，且该外接球的表面积为
B. 存在，使得
C. 当时，
D. 当时，直线与直线的夹角为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知正项等差数列满足，则 ______ ．
14. 已知病毒在某溶液中的存活个数的概率满足，已知只要该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡，则该溶液能够导致生物死亡的概率为______ ．
15. 已知定义域为的函数且满足，函数，若函数有个零点，则的取值范围为______ ；若方程的解为、、、，则的取值范围为______ ．
16. 已知函数在上恒成立，则实数的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知的内角、、的对边分别为、、，且满足．
求角的大小；
若，的角平分线与边相交于点，且，求的面积．
18. 本小题分
由于人们对工业高度发达的负面影响预料不够，预防不利，导致了全球性的三大危机：资源短缺、环境污染、生态破坏环境污染指自然的或人为的破坏，向环境中添加某种物质而超过环境的自净能力而产生危害的行为或由于人为的因素，环境受到有害物质的污染，使生物的生长繁殖和人类的正常生活受到有害影响由于人为因素使环境的构成或状态发生变化，环境质量下降，从而扰乱和破坏了生态系统和人类的正常生产和生活条件的现象据研究，某种污染物具有极强的污染力，现在对这种污染物的污染力进行调查研究，通过实验调查，可以得到某地区该污染物到来后的污染时间小时与该污染物的污染面积平方米的一些数据如下：
通过分析可知，数据与之间存在很强的线性回归关系．
求出与之间的关系式；
根据中的关系式，该污染物到来后的污染时间是多少时，该污染物的污染面积的平均增长最慢？
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
19. 本小题分
已知等差数列满足，数列是公比为的等比数列，．
求数列和的通项公式；
数列和中的项由小到大组成新的数列，记数列的前项和为，求．
20. 本小题分
已知在三棱锥中，，为以为斜边的等腰直角三角形．
证明：平面平面；
设，存在该几何体外的一点，使得为等边三角形，平面与平面所成的锐二面角的正切值为，求的长．
21. 本小题分
已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，左、右端点分别为，，点是椭圆上不同于，的一点，且满足．
求椭圆的方程；
过椭圆的上焦点作两条互相垂直的直线，，，分别与椭圆交于点，和点，，，分别为，的中点，问直线是否过定点？如果过定点，求出该定点、如果不过定点，请说明理由．
22. 本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若函数在上有零点，且，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，，，，，．
故选：．
可求出集合，，然后进行交集和补集的运算求出，，，然后即可判断每个选项的正误．
本题考查了集合的描述法的定义，对数函数的单调性，交集和补集的运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则，
故，即，解得或舍去，
所以，即．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：向量与向量共线，设，
，，可得．
当时，，此时，且与不共线，符合题意；
当时，，此时，不合题意．
向量．
故选：．
设，再由求解值，然后分类分析得答案．
本题考查平面向量共线的坐标运算，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：基本事件总数，
小球，放入到同一个盒子中包含的基本事件个数，
则小球，放入到同一个盒子中的概率为．
故选：．
求出基本事件总数和小球，放入到同一个盒子中包含的基本事件数，求解即可．
本题考查分步计数原理的运用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：令，则有，若在上有三个零点，
则与的图象在上有三个交点，
令，，，
则有函数与的图象在上有三个交点，
如图可知：
，解得．
故选：．
将已知转化为与的图象在上有三个交点问题，利用整体代换法，结合图象即可得解．
本题考查函数零点问题，考查三角函数性质，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：设平面，为垂足，过分别作于，于，
连接，，，则为与平面所成的角，
平面，，又，，
平面，故AC，
同理可得，
不妨设，，，
又为公共边，≌，
，
，故，
．
直线与平面所成角的大小为．
故选：．
设平面，利用三角形全等证明在的平分线上，设，利用勾股定理计算，再计算．
本题考查了直线与平面所成角的计算，作出图形，寻找各线段的长度关系是关键，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：不妨设在第二象限，代入，可得，可知，
直线过点且与该双曲线的渐近线分别交于点，，，
所以，在双曲线的渐近线上，
可得，
解得，所以双曲线的离心率为．
故选：．
设出的位置，求解的坐标，代入渐近线方程，然后求解离心率．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：由函数，，
可得，
设，则，
令，即，解得，
当时，；
所以在区间上单调递增，，；
在区间上单调递减，
且，，，
若在上存在极值，则满足且，解得，
综上可得，当时，在上存在极值，
所以实数的取值范围为
故选：．
求得，设，得到，求得的单调性，结合，，，
根据题意，列出不等式，即可求解．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意得，，
故，，A正确，B错误，C正确；
所以，D正确．
故选：．
由已知结合函数的对称性及周期性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数对称性的判断，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线：，代入抛物线方程可得：，
直线与该抛物线相交于，两点其中，可得，所以A正确；
解得，，，，．
，
则，所以不正确；
设直线的方程为：，代入抛物线方程，可得，，可得，所以B正确；
，所以D正确；
故选：．
通过，求解焦点坐标，得到直线方程，与抛物线方程联立，结合抛物线的性质判断选项的正误即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，得，
，数列是以为首项，为公比的数列，
，，，故A正确，不正确；
，
，
令，
，
，，
，
，故C正确；
，
故D正确．
故选：．
由已知可求数列的通项公式可判断，；进而由分组求和与错位相减法可求，判断；由裂项相消法可求判断．
本题考查数列的应用，考查由递推式求通项公式，考查裂项相消法求数列的前项和，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：在矩形中，过，分别作的垂线，，
，，，
则，即，得，
则，则．
．
在翻折的过程中，，则是球的一条直径，则是球心，球半径，
则、、、四点始终在一个球面上，且该外接球的表面积为，故A错误．
B.，若，则只需要平面即可，
即，即可，则即可，
此时二面角是存在的，即存在，使得，故B正确．
C.，，，，
若时，则，即，，
，平方得
，，
即故C正确．
D.当，即，，由知，
，
则，，
则，，故D正确．
故选：．
A.矩形的圆心到四个顶点的距离相等，得球心是，求出球的表面积进行判断即可．
B.根据线面垂直的判定定理，只需要判断平面即可．
C.利用向量法表示出，然后平方进行计算即可．
D.求出向量数量积，利用向量法进行求解判断即可．
本题主要考查平面向量数量积的应用，根据向量夹角和二面角的关系，利用向量法进行求解证明是解决本题的关键，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，正项等差数列满足，变形可得，
又由数列各项为正，则，
又由，则．
故答案为：．
根据题意，由等差数列的性质分析可得，结合等差中项的性质可得答案．
本题考查等差数列的性质，涉及等差中项的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，病毒在某溶液中的存活个数的概率满足，
则，
若该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡，
则该溶液能够导致生物死亡的概率．
故答案为：．
根据题意，由的分布列可得的值，又由溶液能够导致生物死亡的概率，计算可得答案．
本题考查分布列的性质以及应用和概率的求法，涉及对立事件的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
是奇函数，
作出函数的图象如图：
若有个零点，
则等价为，即有个不同的根，
即与，两个图象有个交点，
是方程的一个根，则根据对称性知，当时，两个图象只要有个交点即可．
当时，，即，
当直线经过时，，得，
当直线在第一象限与在处相切时，，即，由判别式，得，
得，得，得或舍，
当时，要使与有个不同的交点，则．
即实数的取值范围是．
若方程的解为、、、，
设，
则由图象知，
且、、关于对称，即，
当时，，
则满足，，
得，，
得，，
则，，
则，
则在上为减函数，
则，，
则，
即的取值范围为．
故答案为：．
判断是奇函数，作出函数和的图象，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，利用函数与方程的关系转化为两个数交点个数问题，利用数形结合进行求解是解决本题的关键，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
在上单调递增，
在上的最小值为，
当，即时，，
在上单调递增，又，
在上恒成立，
满足题意；
，即时，又在上单调递增，
，使得时，，
在上单调递减，又，
当时，，不满足恒成立，
综合可得实数的取值范围为．
故答案为：．
先根据二阶导函数的符号，可得一阶导函数在上单调递增，再讨论一阶导函数的最小值的符号，从而可得导函数的符号，从而得原函的单调性，从而得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，恒成立问题的求解，化归转化思想，分类讨论思想，属中档题．
17.【答案】解：由正弦定理可得，
，
整理得：，
，
由于，
所以；
的角平分线与边相交于点，
，
，
在中，由余弦定理可得，
，解得或舍去．
的面积．
【解析】由正弦定理可得，进而利用余弦定理和三角函数的值的应用求出的值；
由已知可得，进而得，由余弦定理可得，进而可求的面积．
本题考查正弦定理和余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
18.【答案】解：令，则，．
，，
，．
，则，可得与之间的关系式为；
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
．
故该污染物到来后的污染时间是小时时，该污染物的污染面积的平均增长最慢．
【解析】令，利用最小二乘法求出与的关系，进一步可得与之间的关系式；
令，利用导数求最值得答案．
本题考查回归方程的求法，训练了利用导数求最值，是中档题．
19.【答案】解：，，，，
得：，
为等差数列，，，
，即，
，
数列是公比为的等比数列，，
，，
；
，
．
【解析】本题利用数列的递推公式求出的通项公式，再根据数列是公比为的等比数列，，求出的通项公式，再根据公式法求出数列的前项和．
本题考查数列递推公式和公式法求数列前项和，属于中档题．
20.【答案】证明：取的中点，连接，
为等边三角形，为的中点，
．
设，，，
在中，，，即，则，
即．
又，
平面．
平面，
平面平面．
解：为等边三角形，取的中点，则，
，，，
则，，
则的轨迹是以为圆心，半径为的圆上，
建立以为坐标原点，，为轴，为轴，垂直于平面的直线为轴的坐标系如图：
则，，，设，，
则，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，，
则，即，得，，
设，则，即，
则与平面所成的锐二面角为，
则，
设，，
则，
即，
则，，
即，
则，则．
【解析】利用面面垂直的判定定理进行证明即可；
建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查面面垂直的判断，以及二面角的应用，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
21.【答案】解：因为椭圆的焦点在轴上，
所以设椭圆的方程为，
因为焦距为，
所以，即，
又，
设，则，则，
又，，
所以，
又，
所以，
所以，
由，解得，，
所以椭圆的方程为．
由可知椭圆上焦点，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，得，
所以，
所以，
，
所以，
用代替，可得，即，
所以直线的方程为 ，
化简得，
所以直线恒过定点，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线的方程为，
则，，，，
所以的中点，中点，
所以直线的方程为，
所以直线也过点，
综上所述，直线恒过定点
【解析】根据题意可得设椭圆的方程为，则，又，设，则，，由，解得，，即可得出答案．
由可知椭圆上焦点，分两种情况：当直线的斜率存在时，当直线的斜率不存在时，写出直线，的方程，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，点坐标，写出直线的方程，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，
所以在上单调递减；
令，
解得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，
因为是开口向上的二次函数，且，
若，即时，，
所以；
若，
此时函数有两个根或，
若，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
若，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在和上单调递减；
在上单调递增
当时，函数在和上单调递增；
在上单调递减；
令，
解得，
不妨设，函数定义域为，
则在内有零点；
不妨设为在内的一个零点，
因为，，
所以在区间和上不可能单调；
不妨设，函数定义域为，
此时在区间和上均存在零点，
即在上至少有两个零点，
易知，，
当时，，在上单调递增，不可能有两个及以上零点；
当时，，在上单调递减，不可能有两个及以上零点；
当时，
令，
解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取得最小值，
若有两个零点，
需满足，，，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
此时恒成立，
又，，
可得，
当时，不妨设的两个零点分别为，，，
可得在上单调递增；在上单调递减；
在上单调递增，
所以，，
则在区间内有零点，
综上所述，实数的取值范围为．
【解析】由题意，对函数进行求导，对和这两种情况进行讨论，结合导数的几何意义和二次函数的性质进行求解即可；
令，构造函数，设为在内的一个零点，分析在零点附近区间的单调性，设，将问题转化成在上至少有两个零点，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，结合设，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，再设的两个零点分别为，，，利用单调性再求解即可．
本题考查导数的综合应用，考查了逻辑推理、转化思想、分类讨论和运算能力．
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