第18章 平行四边形 单元测试（含答案）
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第18章 《平行四边形》单元测试
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一．选择题（每题3分，共30分）
1.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=100°，则∠D=（ ）
A.130° B.120° C.70° D.80°
2.现有长为5，5，7的三根木棍，要想钉一个平行四边形的木框，则选用的第四根木棍的长度为（ ）
A.5 B.7 C.2 D.12
3.如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（ ）
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
4. 如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为( )
A. 66° B. 104° C. 114° D. 124°
5. 从等腰三角形底边上任一点分别作两腰的平行线，所成的平行四边形的周长等于这个等腰三角形的 （ ）
A.周长 B.周长的一半 C.腰长 D.腰长的2倍
6．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是 （ ）
A. B.C. D.
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段OA、OB的中点，若AC+BD＝32cm，△OEF的周长为13cm，则CD的长为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
8，如图4，菱形花坛 ABCD的边长为 6m，∠B＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（ ）
A.12m B.20m C.22m D.24m
9. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图中阴影部分所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是
A. B.
C. D.
10. 如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ，，，若 ，则四边形 的周长为
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共30分）
11．在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝ 度．
12．平行四边形ABCD中，AB、BC长分别为12和26，边AD与BC之间的距离为8，则AB与CD间的距离为 ．
13．边长为a的正方形的对角线的长度为 ．
14，如图10，已知AB∥DC，AE⊥DC，AE＝12，BD＝15，AC＝20, 则梯形ABCD的面积为＿＿＿.150
15，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm ，AB＝10cm，按如图11方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝＿＿＿cm.
16，矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠AOB＝2∠BOC.若AC＝18cm,则AD＝＿＿＿cm.
17. 如图，过矩形 的对角线 上一点 ，分别作矩形两边的平行线 与 ，那么图中矩形 的面积 与矩形 的面积 的大小关系是 ．（填“”“”或“”）
18. 如图，四边形 是矩形纸片，．对折矩形纸片 ，使 与 重合，折痕为 ；展平后再过点 折叠矩形纸片，使点 落在 上的点 处，折痕 与 相交于点 ；再次展平，连接 ，，延长 交 于点 ．有如下结论：① ；② ；③ ；④ 是等边三角形；⑤ 为线段 上一动点， 是 的中点，则 的最小值是 ．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题(满分46分,19题6分，20、21、22、23、24题每题8分)
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC的中点，连接AE交DC延长线于点F．求证：DC＝CF．
20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且AE∥CF，求证：AE=CF。
21、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣3，﹣2），B（0，3），C（3，2），D（0，﹣3）．四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明．
22、如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是中点．求证：（1）DM=BM；（2）MN⊥BD 。
23．四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）求证：AM＝AD+MC．
（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM＝AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
24．已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）如图1，求证：AE＝EF；
（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．
参考答案与解析
一、选择题(每题3分,共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C D D D B D C
二、填空题(每题3分,共24分)
11．在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝ 120 度．
【分析】根据平行四边形的对边平行，对角相等，可得AD∥BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，易得∠C＝2∠D，∠C+∠D＝180°，解方程组即可求得．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，
∴∠C＝∠B+∠D＝2∠D，∠C+∠D＝180°，
∴∠A＝∠C＝120°，
故答案为：120．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行；平行四边形的对角相等．解题的关键是数形结合思想的应用．
12．平行四边形ABCD中，AB、BC长分别为12和26，边AD与BC之间的距离为8，则AB与CD间的距离为 ．
【分析】根据平行四边形的面积＝AE×BC＝CD×AF，即可求出AB与CD之间的距离．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于点F．
由题意得，S四边形ABCD＝AE×BC＝CD×AF，
∵AB＝12，BC＝26，AE＝8，
∴26×8＝12×AF，
∴AF＝，
即AB与CD间的距离为．
故答案是：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练平行四边形的面积公式．
13．边长为a的正方形的对角线的长度为 a ．
【分析】根据勾股定理即可求出边长为a的正方形的对角线的长度．
【解答】解：边长为a的正方形的对角线的长度为：
＝a．
故答案为：a．
14．4﹣2或3. 解析：①当A′D=DC时，如图1，连接ED，
∵点E是AB的中点，AB=4，BC=4，四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，∠A=90°，∴DE==6，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，∴A′E=AE=2，
∵A′D=DC=AB=4，∴DE=A′E+A′D=6，
∴点E，A′，D三点共线，
∵∠A=90°，∴∠FA′E=∠FA′D=90°，
设AF=x，则A′F=x，FD=4-x，
在Rt△FA′D中，42+x2=（4-x）2，
解得：x=，∴FD=3；
②当A′D=A′C时，如图2，
∵A′D=A′C，∴点A′在线段CD的垂直平分线上，
∴点A′在线段AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，∴EA′是AB的垂直平分线，∴∠AEA′=90°，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴∠A=∠EA′F=90°，AF=FA′，
∴四边形AEA′F是正方形，
∴AF=AE=2，∴DF=4-2，
故答案为：4-2或3．
14，150；
15，；
16，9；
17.
【解析】由矩形的特征可知，矩形的一条对角线把矩形分成面积相等的两个三角形，即 ，，，
所以 ．
18. ①④⑤
三、解答题(满分46分,19题6分，20、21、22、23、24题每题8分)
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE
∴AB=CF，
∵AB=DC
∴DC=CF
20．【答案】证明：∵AE∥CF，
∠AEF=∠CFE，
180°-∠AEF=180°-∠CFE，
即∠AEB=∠DFC
∵四边形ABCD是平行四边形，
DC∥AB，DC=AB，
CDF=∠ABE，
在△CDF和△ABE中，
△CDF≌△ABE（AAS），AE=CF
21、解：四边形ABCD是平行四边形．
理由：∵A（﹣3，﹣2），B（0，3），C（3，2），D（0，﹣3），
∴AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
22、
23．四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）求证：AM＝AD+MC．
（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM＝AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
【解答】解：（1）如图1，过点E作EF⊥AM于点F，连接EM，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠D＝∠AFE，∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠FAE，
AE＝AE，∴△ADE≌△AFE（AAS），∴AD＝AF，DE＝FE，∵E是CD边的中点，∴DE＝EC，
∴FE＝EC，EM＝EM，∴Rt△EFM≌Rt△ECM（HL），∴FM＝MC．∴AM＝AF+FM＝AD+MC．
（2）AM＝AD+MC成立，理由如下：如图2，过点E作EF⊥AM于点F，连接EM，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠D＝∠AFE，∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠FAE，
AE＝AE，∴△ADE≌△AFE（AAS），∴AD＝AF，DE＝FE，∵E是CD边的中点，∴DE＝EC，∴FE＝EC，
EM＝EM，∴Rt△EFM≌Rt△ECM（HL），∴FM＝MC．∴AM＝AF+FM＝AD+MC．所以AM＝AD+MC成立．
24．已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）如图1，求证：AE＝EF；
（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．
【解答】（1）证明：如图1，在AB上截取BM＝BE，连接ME，∵∠B＝90°，∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∴∠AME＝135°＝∠ECF，∵AB＝BC，BM＝BE，∴AM＝EC，在△AME和△ECF中，
∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；
（2）解：取AB中点M，连接EM，
∵AB＝BC，E为BC中点，M为AB中点，∴AM＝CE＝BE，∴∠BME＝∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°＝∠ECF，∵∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，在△AME和△ECF中，
∴△AME≌△ECF（ASA），∴EM＝CF，
∵AB＝2，点E是边BC的中点，∴BM＝BE＝1，∴CF＝ME＝．
图4
第18章 《平行四边形》单元测试
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一．选择题（每题3分，共30分）
1.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=100°，则∠D=（ ）
A.130° B.120° C.70° D.80°
2.现有长为5，5，7的三根木棍，要想钉一个平行四边形的木框，则选用的第四根木棍的长度为（ ）
A.5 B.7 C.2 D.12
3.如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（ ）
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
4. 如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为( )
A. 66° B. 104° C. 114° D. 124°
5. 从等腰三角形底边上任一点分别作两腰的平行线，所成的平行四边形的周长等于这个等腰三角形的 （ ）
A.周长 B.周长的一半 C.腰长 D.腰长的2倍
6．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是 （ ）
A. B.C. D.
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段OA、OB的中点，若AC+BD＝32cm，△OEF的周长为13cm，则CD的长为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
8，如图4，菱形花坛 ABCD的边长为 6m，∠B＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（ ）
A.12m B.20m C.22m D.24m
9. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图中阴影部分所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是
A. B.
C. D.
10. 如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ，，，若 ，则四边形 的周长为
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共30分）
11．在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝ 度．
12．平行四边形ABCD中，AB、BC长分别为12和26，边AD与BC之间的距离为8，则AB与CD间的距离为 ．
13．边长为a的正方形的对角线的长度为 ．
14，如图10，已知AB∥DC，AE⊥DC，AE＝12，BD＝15，AC＝20, 则梯形ABCD的面积为＿＿＿.150
15，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm ，AB＝10cm，按如图11方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝＿＿＿cm.
16，矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠AOB＝2∠BOC.若AC＝18cm,则AD＝＿＿＿cm.
17. 如图，过矩形 的对角线 上一点 ，分别作矩形两边的平行线 与 ，那么图中矩形 的面积 与矩形 的面积 的大小关系是 ．（填“”“”或“”）
18. 如图，四边形 是矩形纸片，．对折矩形纸片 ，使 与 重合，折痕为 ；展平后再过点 折叠矩形纸片，使点 落在 上的点 处，折痕 与 相交于点 ；再次展平，连接 ，，延长 交 于点 ．有如下结论：① ；② ；③ ；④ 是等边三角形；⑤ 为线段 上一动点， 是 的中点，则 的最小值是 ．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题(满分46分,19题6分，20、21、22、23、24题每题8分)
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC的中点，连接AE交DC延长线于点F．求证：DC＝CF．
20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且AE∥CF，求证：AE=CF。
21、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣3，﹣2），B（0，3），C（3，2），D（0，﹣3）．四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明．
22、如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是中点．求证：（1）DM=BM；（2）MN⊥BD 。
23．四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）求证：AM＝AD+MC．
（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM＝AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
24．已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）如图1，求证：AE＝EF；
（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．
参考答案与解析
一、选择题(每题3分,共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C D D D B D C
二、填空题(每题3分,共24分)
11．在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝ 120 度．
【分析】根据平行四边形的对边平行，对角相等，可得AD∥BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，易得∠C＝2∠D，∠C+∠D＝180°，解方程组即可求得．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，
∴∠C＝∠B+∠D＝2∠D，∠C+∠D＝180°，
∴∠A＝∠C＝120°，
故答案为：120．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行；平行四边形的对角相等．解题的关键是数形结合思想的应用．
12．平行四边形ABCD中，AB、BC长分别为12和26，边AD与BC之间的距离为8，则AB与CD间的距离为 ．
【分析】根据平行四边形的面积＝AE×BC＝CD×AF，即可求出AB与CD之间的距离．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于点F．
由题意得，S四边形ABCD＝AE×BC＝CD×AF，
∵AB＝12，BC＝26，AE＝8，
∴26×8＝12×AF，
∴AF＝，
即AB与CD间的距离为．
故答案是：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练平行四边形的面积公式．
13．边长为a的正方形的对角线的长度为 a ．
【分析】根据勾股定理即可求出边长为a的正方形的对角线的长度．
【解答】解：边长为a的正方形的对角线的长度为：
＝a．
故答案为：a．
14．4﹣2或3. 解析：①当A′D=DC时，如图1，连接ED，
∵点E是AB的中点，AB=4，BC=4，四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，∠A=90°，∴DE==6，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，∴A′E=AE=2，
∵A′D=DC=AB=4，∴DE=A′E+A′D=6，
∴点E，A′，D三点共线，
∵∠A=90°，∴∠FA′E=∠FA′D=90°，
设AF=x，则A′F=x，FD=4-x，
在Rt△FA′D中，42+x2=（4-x）2，
解得：x=，∴FD=3；
②当A′D=A′C时，如图2，
∵A′D=A′C，∴点A′在线段CD的垂直平分线上，
∴点A′在线段AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，∴EA′是AB的垂直平分线，∴∠AEA′=90°，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴∠A=∠EA′F=90°，AF=FA′，
∴四边形AEA′F是正方形，
∴AF=AE=2，∴DF=4-2，
故答案为：4-2或3．
14，150；
15，；
16，9；
17.
【解析】由矩形的特征可知，矩形的一条对角线把矩形分成面积相等的两个三角形，即 ，，，
所以 ．
18. ①④⑤
三、解答题(满分46分,19题6分，20、21、22、23、24题每题8分)
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE
∴AB=CF，
∵AB=DC
∴DC=CF
20．【答案】证明：∵AE∥CF，
∠AEF=∠CFE，
180°-∠AEF=180°-∠CFE，
即∠AEB=∠DFC
∵四边形ABCD是平行四边形，
DC∥AB，DC=AB，
CDF=∠ABE，
在△CDF和△ABE中，
△CDF≌△ABE（AAS），AE=CF
21、解：四边形ABCD是平行四边形．
理由：∵A（﹣3，﹣2），B（0，3），C（3，2），D（0，﹣3），
∴AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
22、
23．四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）求证：AM＝AD+MC．
（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM＝AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
【解答】解：（1）如图1，过点E作EF⊥AM于点F，连接EM，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠D＝∠AFE，∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠FAE，
AE＝AE，∴△ADE≌△AFE（AAS），∴AD＝AF，DE＝FE，∵E是CD边的中点，∴DE＝EC，
∴FE＝EC，EM＝EM，∴Rt△EFM≌Rt△ECM（HL），∴FM＝MC．∴AM＝AF+FM＝AD+MC．
（2）AM＝AD+MC成立，理由如下：如图2，过点E作EF⊥AM于点F，连接EM，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠D＝∠AFE，∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠FAE，
AE＝AE，∴△ADE≌△AFE（AAS），∴AD＝AF，DE＝FE，∵E是CD边的中点，∴DE＝EC，∴FE＝EC，
EM＝EM，∴Rt△EFM≌Rt△ECM（HL），∴FM＝MC．∴AM＝AF+FM＝AD+MC．所以AM＝AD+MC成立．
24．已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）如图1，求证：AE＝EF；
（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．
【解答】（1）证明：如图1，在AB上截取BM＝BE，连接ME，∵∠B＝90°，∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∴∠AME＝135°＝∠ECF，∵AB＝BC，BM＝BE，∴AM＝EC，在△AME和△ECF中，
∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；
（2）解：取AB中点M，连接EM，
∵AB＝BC，E为BC中点，M为AB中点，∴AM＝CE＝BE，∴∠BME＝∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°＝∠ECF，∵∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，在△AME和△ECF中，
∴△AME≌△ECF（ASA），∴EM＝CF，
∵AB＝2，点E是边BC的中点，∴BM＝BE＝1，∴CF＝ME＝．
图4