第18章 平行四边形 单元测试（含答案）

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第18章 《平行四边形》单元测试
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一．选择题（每题3分，共30分）
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E，∠AEB=25°，则∠A的大小为（　　)
A．100° B．120° C．130° D．150°
2．如图，已知平行四边形ABCD的面积为100，P为边CD上的任意一点，E，F分别是线段PA，PB的中点，则图中阴影部分的总面积为(　　)
A．30 B．25 C．22.5 D．50
3．如图所示，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（　　）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关
4. 如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　)
A. 66° B. 104° C. 114° D. 124°
5. 从等腰三角形底边上任一点分别作两腰的平行线，所成的平行四边形的周长等于这个等腰三角形的 （ ）
A.周长 B.周长的一半 C.腰长 D.腰长的2倍
6．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是 （ ）
A. B.C. D.
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段OA、OB的中点，若AC+BD＝32cm，△OEF的周长为13cm，则CD的长为（　　）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
8.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论①AB//CD；②AC=BD；③当AC=BD时，它是菱形；④当∠ABC=90°时，它是矩形.其中正确的是（ ）
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
9.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，AD=4，则AC的长为（ ）
A.5 B. C.2 D.
10.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
A.16 B.17 C.18 D.19
二、填空题（每题3分，共30分）
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝3，则AB的长度为　 　．
12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OB＝4，菱形ABCD的面积为24，则AC的长为　 　
13．正方形ABCD的边长为1，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥AD，PF⊥CD，垂足分别是E，F．则PE+PF＝　 　．
14，如图10，已知AB∥DC，AE⊥DC，AE＝12，BD＝15，AC＝20, 则梯形ABCD的面积为＿＿＿.150
15，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm ，AB＝10cm，按如图11方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝＿＿＿cm.　　
16，矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠AOB＝2∠BOC.若AC＝18cm,则AD＝＿＿＿cm.　　
17．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF，当AE为　 　时，△AEF的面积最大．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝3，E，F分别是边BC、AB上任意点，以线段EF为边，在EF上方作等边△EFG，取边EG的中点H，连接HC，则HC的最小值是　 　．
三、解答题(满分46分,19题6分，20、21、22、23、24题每题8分)
19．如图，正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，连接BE，CF交于点G，连接AG．
（1）求证：BE⊥CF．
（2）线段AB与线段AG相等吗？若相等，请证明，若不相等，请说明理由．
20．如图，在 ABCD中，AB＞AD，DE平分∠ADC，AF⊥BC于点F交DE于G点，延长BC至H使CH＝BF，连接DH．
（1）证明：四边形AFHD是矩形；
（2）当AE＝AF时，猜想线段AB、AG、BF的数量关系，并证明．
21、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣3，﹣2），B（0，3），C（3，2），D（0，﹣3）．四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明．
22、如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是中点．求证：（1）DM=BM；（2）MN⊥BD 。
23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，AC边的中点，连接DE并延长至点F，使得DE=EF，连接AF，CF.
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长.
24.两个长为2cm，宽为1cm的矩形摆放在直线上（如图①），CE=2cm，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转a角，将矩形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度.
（1）当旋转到顶点D，H重合时（如图②），连接AE，CG，求证：△AED≌△GCD；
（2）当a=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形.
参考答案与解析
一、选择题(每题3分,共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C D D D B D C
二、填空题(每题3分,共24分)
11． 6．
12． 6．
13． 1．
14．4﹣2或3. 解析：①当A′D=DC时，如图1，连接ED，
∵点E是AB的中点，AB=4，BC=4，四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，∠A=90°，∴DE==6，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，∴A′E=AE=2，
∵A′D=DC=AB=4，∴DE=A′E+A′D=6，
∴点E，A′，D三点共线，
∵∠A=90°，∴∠FA′E=∠FA′D=90°，
设AF=x，则A′F=x，FD=4-x，
在Rt△FA′D中，42+x2=（4-x）2，
解得：x=，∴FD=3；
②当A′D=A′C时，如图2，
∵A′D=A′C，∴点A′在线段CD的垂直平分线上，
∴点A′在线段AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，∴EA′是AB的垂直平分线，∴∠AEA′=90°，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴∠A=∠EA′F=90°，AF=FA′，
∴四边形AEA′F是正方形，
∴AF=AE=2，∴DF=4-2，
故答案为：4-2或3．
14，150；
15，；
16，9；
17． 2．
18． ．
三、解答题(满分46分,19题6分，20、21、22、23、24题每题8分)
19．如图，正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，连接BE，CF交于点G，连接AG．
（1）求证：BE⊥CF．
（2）线段AB与线段AG相等吗？若相等，请证明，若不相等，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵E、F是CD和AD的中点，∴CE＝CD，DF＝AD，∴CE＝DF，
在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF，
∵∠BCG+∠DCF＝90°，∴∠CBE+∠BCG＝90°，∴∠BGC＝90°，∴BE⊥CF；
（2）解：线段AB与线段AG相等；理由如下：延长CF交BA的延长线于点H，如图所示：
∵F是AD的中点，∴DF＝AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠D＝∠FAH＝90°，
在△CDF和△HAF中，，∴△CDF≌△HAF（ASA），∴CD＝AH，∴AB＝AH，
∴A是BH中点，由（1）得：BE⊥CF，∴∠BGH＝90°，∴AG＝AB．
20．如图，在 ABCD中，AB＞AD，DE平分∠ADC，AF⊥BC于点F交DE于G点，延长BC至H使CH＝BF，连接DH．
（1）证明：四边形AFHD是矩形；
（2）当AE＝AF时，猜想线段AB、AG、BF的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CH＝BF，∴FH＝BC，∴AD＝FH，∴四边形AFHD是平形四边形，
∵AF⊥BC，∴∠AFH＝90°，∴平行四边形AFHD是矩形；
（2）猜想：AB＝BF+AG，证明：如图，延长BF到M，使HM＝AG，连接DM，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠2，
∵DE平分∠ADC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝AD，
∵AE＝AF，∴AF＝AD，四边形AFHD是正方形，∴AD＝DH，∠GAD＝∠DHM＝90°，
在△DAG和△DHM中，∴△DAG≌△DHM（SAS），∴∠2＝∠3＝∠HDM，∠AGD＝∠M，
∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠HDG＝∠2+∠CDH＝∠MDH+∠CDH，∴∠M＝∠CDM，
∴CD＝CM＝CH+HM，∵BC＝AD＝FH，∴BC﹣CF＝FH﹣CF，∴BF＝CH，∵AB＝CD，HM＝AG，∴AB＝BF+AG．
21、解：四边形ABCD是平行四边形．
理由：∵A（﹣3，﹣2），B（0，3），C（3，2），D（0，﹣3），
∴AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
22、
23.（1）证明：∵点E是边AC的中点，
∴AE=EC.
又∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形.
又∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线.∴DE//BC.
又∵∠ACB=90°，∴∠AED=90°.
∴AC⊥DF.
∴四边形ADCF是菱形.
（2）解：∵四边形ADCF是菱形.
∴CD=CF=AF=AD.
在Rt△ABC中，
∴AD=AB=5.∴CF=AF=5.
∴周长为：10+8+5+5=28.
24.证明：（1）∵AD=CD，ED=CD，∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE.
∴∠ADE=∠GDC.
在△AED和△GCD中，
∴△AED≌△GCD.（SAS）
（2）∵a=45°，
∴∠NCE=∠NEC=45°，CN=NE.
∴∠CNE=90°，∴∠DNH=90°.
∵∠D=∠H=90°，
∴四边形MHND是矩形.
∵CN=NE，∴DC-CN=EH-NE，
即DN=NH
∴矩形MHND是正方形.
25.解：（1）∵AB=10，PA=2t，∴BP=10-2t，
故答案为10-2t.
（2）当PB=DE时，四边形PDEB是平行四边形，
∴10-2t=5，∴t=2.5，
答：当t=2.5s时，四边形PDEB是平行四边形.
（3）存在.
①当EP=ED=5时，可得四边形DEPQ，四边形DEP'Q'是菱形，
作EH⊥AB于H.
在Rt△PEH中，∵PE=5，EH=BC=3，
∴，∴AP=1或AP'=9，
∴t=s或s时，可得四边形DEPQ，
四边形DEP'Q'是菱形.
②当DP"=DE时，可得四边形DEQ"P"是菱形，易知AP"=4，∴t=2，
综上所述，满足条件的1的值为s或2s或