2023年中考数学三轮冲刺专题复习测试卷：二次函数图像与系数的关系（含答案）

2023年中考数学三轮冲刺专题复习测试卷：二次函数图像与系数的关系
一、单选题(共12题；共24分)
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中结论正确的有（　　）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤
2．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图是二次函数y=ax2+bx+c=（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有（　　）
A．①③④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤
5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+a（a为常数，且a≠0）的图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
6．对于二次函数y=2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（　　）
A．图象的开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=﹣1
7．对于抛物线y=-（x-5）2+3，下列说法正确的是 （　　）
A．开口向下，顶点坐标（5，3）
B．开口向上，顶点坐标（5，3）
C．开口向下，顶点坐标（－5，3）
D．开口向上，顶点坐标（－5，3）
8．小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①c＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④2a-3b=0.你认为其中正确的信息的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+ 与反比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是x=1，下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＞0，其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为，其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c<0；②a-b+c>1；③ab>0；④4a-2b+c<0；⑤c-a>1.其中所有正确的个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(共6题；共6分)
13．请写出一个开口向下，对称轴为直线x=1，且与y轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的解析式　 　．
14．已知二次函数 的图象如图所示，它与 轴的两个交点的坐标分别为（﹣1，0）（2，0）．下列结论：① ；② ；③当 时， ；④当﹣1＜ ＜2时， ＜0．正确的有 　 　．（填正确结论的序号）．
15．已知抛物线 的对称轴是直线 ，其部分图象如图所示，下列说法中：① ；② ；③ ；④当 时， ，正确的是　 　（填写序号）．
16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2，其中正确的结论分别是　 　.
17．如图，抛物线 （ ）与 轴交于点 ，与 轴交于 ， 两点，其中点 的坐标为 ，抛物线的对称轴交 轴于点 ， ，并与抛物线的对称轴交于点 ．现有下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中所有正确结论的序号是　 　．
18．如图，抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，有下列结论：
①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y1）与点（﹣3，y2），则y1＞y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣ ，0）；⑤am2+bm+a≥0，其中所有正确的结论是　 　．
三、综合题(共6题；共70分)
19．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2－(2m+1)x+m－5的图象与x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围；
（2）若m取满足条件的最小的整数，
①写出这个二次函数的表达式；
②当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值；
③将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x－h)2 +k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
20．已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．
（1）求证：2a+b=0
（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．
21．已知抛物线经过点（4，3），且当 时， 有最小值 .
（1）求这条抛物线的解析式.
（2）写出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围.
22．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象交x轴于A、B两点，点A在B左边，交y轴于点C．
（1）将函数y＝﹣x2+6x﹣5的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，求△ABD的面积．
23．如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求该二次函数的表达式;
（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式;
（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：
①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值．
24．已知：抛物线y=x2+（b﹣1）x﹣5．
（1）写出抛物线的开口方向和它与y轴交点的坐标；
（2）若抛物线的对称轴为直线x=1，求b的值，并画出抛物线的草图（不必列表）；
（3）如图，若b＞3，过抛物线上一点P（﹣1，c）作直线PA⊥y轴，垂足为A，交抛物线于另一点B，且BP=2PA，求这条抛物线所对应的二次函数解析式．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】D
10．【答案】C
11．【答案】C
12．【答案】C
13．【答案】y=﹣x2+2x+2
14．【答案】①②③
15．【答案】①③④
16．【答案】②③⑤
17．【答案】②④
18．【答案】②④⑤
19．【答案】解： ∵该二次函数图象与x轴有两个交点∴解：①②函数对称轴是直线x=1.5因为在n≤x≤1范围内，x=n时y取到最大值 而当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n所以 得n=-2或n=4（不合题意）③由题意得a=1，图象经过原点，可得∵当x<2时，y随x的增大而减小 ∴则
（1）解：
∵该二次函数图象与x轴有两个交点
∴
（2）解：①
②函数对称轴是直线x=1.5
因为在n≤x≤1范围内，x=n时y取到最大值
而当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n
所以
得n=-2或n=4（不合题意）
③由题意得a=1，图象经过原点，可得
∵当x<2时，y随x的增大而减小
∴则
20．【答案】（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，
∴2a+b=0；
（2）解：∵ax2+bx﹣8=0的一个根为4，
∴16a+4b﹣8=0，
∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∴16a﹣8a﹣8=0，
解得：a=1，则b=﹣2，
∴ax2+bx﹣8=0为：x2﹣2x﹣8=0，
则（x﹣4）（x+2）=0，
解得：x1=4，x2=﹣2，
故方程的另一个根为：﹣2．
21．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：y=a(x-2)2-1，
把（4，3）代入，得4a-1=3,
∴a=1，
即y=(x-2)2-1 或y=x2-4x+3
（2）解：由y=(x-2)2-1知图形对称轴为x=2，且a=1>0，
∴ 随 的增大而减小的自变量 的取值范围是x<2.
22．【答案】（1）解：∵y＝﹣x2+6x﹣5，，
∴该函数图象的开口向下，对称轴为，顶点坐标为；
（2）解：
由y＝﹣x2+6x﹣5，令，
即，
解得，
，
，
令，则，
即，
点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，对称轴为，
，
．
23．【答案】（1）解：
由题意知：，
解得，
∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3
（2）解：
在y=﹣x2+2x+3中，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
∴B（3，0），
由已知条件得直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∵AD∥BC，
∴设直线AD的解析式为y=﹣x+b，
∴0=1+b，
∴b=﹣1，
∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1.
（3）解：①∵BC∥AD，∴∠DAB=∠CBA，∴只要当：或时，△PBC∽△ABD，解得D（4，﹣5），∴AD=，AB=4，BC=，设P的坐标为（x，0），
即或，
解得x=或x=﹣4.5，∴P（，0）或P（﹣4.5，0），②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中，∠BAF=45°，∴sin∠BAF=，∴BF=，BD=，∴sin∠ADB=，∵DM=5-t，DN=t，
又∵sin∠ADB=，NE=，
∴∴当t=时，S△MDN的最大值为
24．【答案】（1）解：∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，
当x=0时，y=02+（b﹣1）×0﹣5=﹣5，
∴它与y轴的交点坐标为（0，﹣5）
（2）解：抛物线的对称轴为x=1，
∴﹣ =﹣ =1，
解得b=﹣1，
故抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣5；
图象如下：
（3）解：∵b＞3，
∴抛物线的对称轴x=﹣ =﹣ ＜﹣1，
∴对称轴在点P的左侧，
∵直线PA⊥y轴，且P（﹣1，c），BP=2PA，
∴点B的坐标为（﹣3，c），
把点B（﹣3，c）、P（﹣1，c）代入抛物线解析式y=x2+（b﹣1）x﹣5得，
，
解得 ，
∴抛物线所对应的二次函数解析式为y=x2+4x﹣5；
[或：∵点B（﹣3，c）、P（﹣1，c），
∴BP的中点（﹣2，c）在抛物线的对称轴上，
∴﹣ =﹣ =﹣2，解得b=5．]